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geometría riemanniana

La geometría de Riemann es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades de Riemann , definidas como variedades suaves con una métrica de Riemann (un producto interno en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro). Esto proporciona, en particular, nociones locales de ángulo , longitud de curvas , área de superficie y volumen . A partir de ellos, se pueden derivar algunas otras cantidades globales integrando las contribuciones locales.

La geometría riemanniana se originó con la visión de Bernhard Riemann expresada en su conferencia inaugural " Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría"). [1] Es una generalización muy amplia y abstracta de la geometría diferencial de superficies en R 3 . El desarrollo de la geometría riemanniana resultó en la síntesis de diversos resultados sobre la geometría de las superficies y el comportamiento de las geodésicas sobre ellas, con técnicas que pueden aplicarse al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Permitió la formulación de la teoría general de la relatividad de Einstein , tuvo un profundo impacto en la teoría de grupos y la teoría de la representación , así como en el análisis , y estimuló el desarrollo de la topología algebraica y diferencial .

Introducción

Bernhard Riemann

La geometría riemanniana fue propuesta por primera vez en general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Se trata de una amplia gama de geometrías cuyas propiedades métricas varían de un punto a otro, incluidos los tipos estándar de geometría no euclidiana .

Toda variedad suave admite una métrica de Riemann , que a menudo ayuda a resolver problemas de topología diferencial . También sirve como nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-riemannianas , que (en cuatro dimensiones) son los principales objetos de la teoría de la relatividad general . Otras generalizaciones de la geometría de Riemann incluyen la geometría de Finsler .

Existe una estrecha analogía entre la geometría diferencial y la estructura matemática de los defectos en cristales regulares. Las dislocaciones y disclinaciones producen torsiones y curvaturas. [2] [3]

Los siguientes artículos proporcionan material introductorio útil:

Teoremas clásicos

Lo que sigue es una lista incompleta de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se realiza en función de su importancia y elegancia de formulación. La mayoría de los resultados se pueden encontrar en la monografía clásica de Jeff Cheeger y D. Ebin (ver más abajo).

Las formulaciones dadas están lejos de ser muy exactas o más generales. Esta lista está orientada a quienes ya conocen las definiciones básicas y quieren saber de qué tratan dichas definiciones.

Teoremas generales

  1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en una variedad de Riemann bidimensional compacta es igual a 2πχ( M ) donde χ( M ) denota la característica de Euler de M . Este teorema tiene una generalización a cualquier variedad de Riemann compacta de dimensión uniforme, ver teorema generalizado de Gauss-Bonnet .
  2. Teoremas de incrustación de Nash . Afirman que toda variedad de Riemann puede estar incrustada isométricamente en un espacio euclidiano R n .

Geometria en grande

En todos los siguientes teoremas asumimos algún comportamiento local del espacio (generalmente formulado usando el supuesto de curvatura) para derivar alguna información sobre la estructura global del espacio, incluyendo alguna información sobre el tipo topológico de la variedad o sobre el comportamiento de los puntos. a distancias "suficientemente grandes".

Curvatura seccional pellizcada

  1. Teorema de la esfera . Si M es una variedad de Riemann n -dimensional compacta simplemente conectadacon curvatura seccional estrictamente limitada entre 1/4 y 1, entonces M es difeomorfa a una esfera.
  2. Teorema de finitud de Cheeger. Dadas las constantes C , D y V , sólo hay un número finito (hasta el difeomorfismo) de variedades riemannianas compactas n -dimensionales con curvatura seccional | k | ≤ C , diámetro ≤ D y volumen ≥ V .
  3. Las variedades casi planas de Gromov . Existe un ε n > 0 tal que si una variedad de Riemann n -dimensional tiene una métrica con curvatura seccional | k | ≤ ε n y diámetro ≤ 1 entonces su cobertura finita es difeomorfa a una variedad nula .

Curvatura seccional limitada por debajo

  1. Teorema del alma de Cheeger-Gromoll . Si M es una variedad de Riemann de n dimensiones , curvada no negativamente, completa y no compacta , entonces M contiene una subvariedad S compacta y totalmente geodésica tal que M es difeomorfa del paquete normal de S ( S se llama alma de M ). En particular, si M tiene curvatura estrictamente positiva en todas partes, entonces es difeomorfo a R n . G. Perelman en 1994 dio una prueba sorprendentemente elegante y breve de la conjetura del alma: M es difeomorfo a R n si tiene curvatura positiva en un solo punto.
  2. Teorema del número de Betti de Gromov. Hay una constante C = C ( n ) tal que si M es una variedad de Riemann n -dimensional compacta y conectada con curvatura seccional positiva, entonces la suma de sus números de Betti es como máximo C .
  3. Teorema de finitud de Grove-Petersen. Dadas las constantes C , D y V , sólo hay un número finito de tipos de homotopía de variedades riemannianas n - dimensionales compactas con curvatura seccional K ≥ C , diámetro ≤ D y volumen ≥ V.

Curvatura seccional delimitada arriba

  1. El teorema de Cartan-Hadamard establece que una variedad de Riemann M completa simplemente conectada con curvatura seccional no positiva es difeomorfa al espacio euclidiano R n con n = dim M a través del mapa exponencial en cualquier punto. Implica que dos puntos cualesquiera de una variedad de Riemann completa simplemente conectada con curvatura seccional no positiva están unidos por una geodésica única.
  2. El flujo geodésico de cualquier variedad riemanniana compacta con curvatura seccional negativa es ergódico .
  3. Si M es una variedad de Riemann completa con curvatura seccional limitada arriba por una constante k estrictamente negativa , entonces es un espacio CAT( k ) . En consecuencia, su grupo fundamental Γ =  π 1 ( M ) es hiperbólico de Gromov . Esto tiene muchas implicaciones para la estructura del grupo fundamental:

Curvatura de Ricci limitada por debajo

  1. Teorema de Myers . Si una variedad de Riemann completa tiene curvatura de Ricci positiva, entonces su grupo fundamental es finito.
  2. La fórmula de Bochner . Si una variedad n de Riemann compacta tiene curvatura de Ricci no negativa, entonces su primer número de Betti es como máximo n , con igualdad si y solo si la variedad de Riemann es un toro plano.
  3. Teorema de división . Si una variedad Riemanniana completa de n dimensiones tiene una curvatura de Ricci no negativa y una línea recta (es decir, una geodésica que minimiza la distancia en cada intervalo), entonces es isométrica a un producto directo de la línea real y una variedad de Riemann de dimensiones completas ( n -1). colector que tiene curvatura de Ricci no negativa.
  4. Desigualdad de Bishop-Gromov . El volumen de una bola métrica de radio r en una variedad de Riemann n -dimensional completa con curvatura de Ricci positiva tiene un volumen como máximo el del volumen de una bola del mismo radio r en el espacio euclidiano.
  5. Teorema de compacidad de Gromov . El conjunto de todas las variedades de Riemann con curvatura de Ricci positiva y diámetro como máximo D es precompacto en la métrica de Gromov-Hausdorff .

Curvatura de Ricci negativa

  1. El grupo de isometría de una variedad de Riemann compacta con curvatura de Ricci negativa es discreto .
  2. Cualquier variedad suave de dimensión n ≥ 3 admite una métrica de Riemann con curvatura de Ricci negativa. [4] ( Esto no es cierto para las superficies ).

Curvatura escalar positiva

  1. El toro de n dimensiones no admite una métrica con curvatura escalar positiva.
  2. Si el radio de inyectividad de una variedad de Riemann n -dimensional compacta es ≥ π, entonces la curvatura escalar promedio es como máximo n ( n -1).

Ver también

Notas

  1. ^ matemáticas.tcd.ie
  2. ^ Kleinert, Hagen (1989). "Campos de calibre en materia condensada Vol II": 743–1440. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
  3. ^ Kleinert, Hagen (2008). Campos multivalores en materia condensada, electromagnetismo y gravitación (PDF) . págs. 1–496. Código Bib : 2008mfcm.book.......K.
  4. ^ Joachim Lohkamp ha demostrado (Annals of Mathematics, 1994) que cualquier variedad de dimensión mayor que dos admite una métrica de curvatura de Ricci negativa.

Referencias

Libros
Documentos

enlaces externos