Sistema de control basado en datos

Familia de sistemas de control

Los sistemas de control basados ​​en datos son una amplia familia de sistemas de control , en los que la identificación del modelo de proceso y/o el diseño del controlador se basan enteramente en datos experimentales recopilados de la planta. ^[1]

En muchas aplicaciones de control, intentar escribir un modelo matemático de la planta se considera una tarea difícil, que requiere esfuerzos y tiempo por parte de los ingenieros de control y de procesos. Este problema se supera con métodos basados ​​en datos , que ajustan un modelo de sistema a los datos experimentales recopilados, seleccionándolo en una clase de modelos específica. El ingeniero de control puede entonces explotar este modelo para diseñar un controlador adecuado para el sistema. Sin embargo, todavía es difícil encontrar un modelo simple pero confiable para un sistema físico, que incluya solo aquellas dinámicas del sistema que son de interés para las especificaciones de control. Los métodos basados ​​en datos directos permiten ajustar un controlador, que pertenece a una clase dada, sin la necesidad de un modelo identificado del sistema. De esta manera, también se puede simplemente ponderar la dinámica del proceso de interés dentro de la función de costo de control y excluir aquellas dinámicas que no son de interés.

Descripción general

El enfoque estándar para el diseño de sistemas de control se organiza en dos pasos:

1. La identificación de modelos tiene como objetivo estimar un modelo nominal del sistema , donde es el operador de retardo unitario (para la representación de funciones de transferencia en tiempo discreto) y es el vector de parámetros de identificados en un conjunto de datos. Luego, la validación consiste en construir el conjunto de incertidumbre que contiene el sistema verdadero en un cierto nivel de probabilidad. ${\displaystyle {\widehat {G}}=G\left(q;{\widehat {\theta }}_{N}\right)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{N}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{0}}$
2. El diseño del controlador tiene como objetivo encontrar un controlador que logre estabilidad de circuito cerrado y cumpla con el rendimiento requerido con . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Los objetivos típicos de la identificación de sistemas son tener un valor lo más cercano posible a , y lo más pequeño posible. Sin embargo, desde una perspectiva de identificación para el control , lo que realmente importa es el rendimiento alcanzado por el controlador, no la calidad intrínseca del modelo. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Una forma de lidiar con la incertidumbre es diseñar un controlador que tenga un rendimiento aceptable con todos los modelos en , incluido . Esta es la idea principal detrás del procedimiento de diseño de control robusto , que apunta a construir descripciones de incertidumbre del dominio de frecuencia del proceso. Sin embargo, al basarse en suposiciones del peor caso en lugar de en la idea de promediar el ruido, este enfoque generalmente conduce a conjuntos de incertidumbre conservadores . En cambio, las técnicas basadas en datos abordan la incertidumbre trabajando con datos experimentales y evitando un conservadurismo excesivo. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{0}}$

A continuación se presentan las principales clasificaciones de los sistemas de control basados ​​en datos.

Métodos indirectos y directos

Existen muchos métodos disponibles para controlar los sistemas. La distinción fundamental es entre los métodos de diseño de controladores indirectos y directos . El primer grupo de técnicas aún conserva el enfoque estándar de dos pasos, es decir , primero se identifica un modelo y luego se ajusta un controlador en función de dicho modelo. El problema principal al hacerlo es que el controlador se calcula a partir del modelo estimado (de acuerdo con el principio de equivalencia de certeza ), pero en la práctica . Para superar este problema, la idea detrás del último grupo de técnicas es mapear los datos experimentales directamente sobre el controlador, sin que se identifique ningún modelo en el medio. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}\neq G_{0}}$

Métodos iterativos y no iterativos

Otra distinción importante es entre métodos iterativos y no iterativos (o de una sola toma ). En el primer grupo, se necesitan iteraciones repetidas para estimar los parámetros del controlador, durante las cuales se realiza el problema de optimización en función de los resultados de la iteración anterior, y se espera que la estimación sea cada vez más precisa en cada iteración. Este enfoque también es propenso a implementaciones en línea (ver más abajo). En el último grupo, la parametrización (óptima) del controlador se proporciona con un solo problema de optimización. Esto es particularmente importante para aquellos sistemas en los que las iteraciones o repeticiones de experimentos de recopilación de datos son limitadas o incluso no se permiten (por ejemplo, debido a aspectos económicos). En tales casos, se debe seleccionar una técnica de diseño capaz de entregar un controlador en un solo conjunto de datos. Este enfoque a menudo se implementa fuera de línea (ver más abajo).

Métodos en línea y fuera de línea

Dado que, en aplicaciones industriales prácticas, los datos de bucle abierto o cerrado suelen estar disponibles de forma continua, las técnicas basadas en datos en línea utilizan esos datos para mejorar la calidad del modelo identificado o el rendimiento del controlador cada vez que se recopila nueva información en la planta. En cambio, los enfoques fuera de línea funcionan con lotes de datos, que pueden recopilarse solo una vez o varias veces en un intervalo de tiempo regular (pero bastante largo).

Ajuste de retroalimentación iterativo

El método de ajuste de retroalimentación iterativo (IFT) se introdujo en 1994, ^[2] a partir de la observación de que, en la identificación para el control, cada iteración se basa en el principio de equivalencia de certeza (incorrecto).

IFT es una técnica libre de modelos para la optimización iterativa directa de los parámetros de un controlador de orden fijo; dichos parámetros pueden actualizarse sucesivamente utilizando información proveniente de la operación del sistema estándar (de circuito cerrado).

Sea una salida deseada para la señal de referencia ; el error entre la respuesta obtenida y la deseada es . El objetivo de diseño de control se puede formular como la minimización de la función objetivo: ${\displaystyle y^{d}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}(\rho )=y(\rho )-y^{d}}$

${\displaystyle J(\rho )={\frac {1}{2N}}\sum _{t=1}^{N}E\left[{\tilde {y}}(t,\rho )^{2}\right].}$

Dada la función objetivo a minimizar, se puede aplicar el método cuasi-Newton , es decir una minimización basada en gradientes utilizando una búsqueda de gradiente del tipo:

${\displaystyle \rho _{i+1}=\rho _{i}-\gamma _{i}R_{i}^{-1}{\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}(\rho _{i}).}$

El valor es el tamaño del paso, es una matriz definida positiva apropiada y es una aproximación del gradiente; el valor real del gradiente viene dado por lo siguiente: ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}}$

${\displaystyle {\frac {dJ}{d\rho }}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left[{\tilde {y}}(t,\rho ){\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )\right].}$

El valor de se obtiene mediante la siguiente metodología de tres pasos: ${\displaystyle {\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )}$

1. Experimento normal: Realice un experimento en el sistema de circuito cerrado con como controlador y como referencia; recopile N mediciones de la salida , denotada como . ${\displaystyle C(\rho )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y(\rho )}$ ${\displaystyle y^{(1)}(\rho )}$
2. Experimento de gradiente: Realice un experimento en el sistema de lazo cerrado con como controlador y 0 como referencia ; inyecte la señal de manera que se sume a la salida de la variable de control por , que entra como entrada a la planta. Recopile la salida, denotada como . ${\displaystyle C(\rho )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r-y^{(1)}(\rho )}$ ${\displaystyle C(\rho )}$ ${\displaystyle y^{(2)}(\rho )}$
3. Tome lo siguiente como aproximación de gradiente: . ${\displaystyle {\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho )={\frac {\delta C}{\delta \rho }}(\rho )y^{(2)}(\rho )}$

Un factor crucial para la velocidad de convergencia del algoritmo es la elección de ; cuando es pequeño, una buena elección es la aproximación dada por la dirección Gauss-Newton: ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}}$

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}{\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho _{i}){\frac {\delta {\widehat {y}}^{T}}{\delta \rho }}(\rho _{i}).}$

Ajuste basado en correlación no iterativo

El ajuste basado en correlación no iterativo (nCbT) es un método no iterativo para el ajuste basado en datos de un controlador de estructura fija. ^[3] Proporciona un método único para sintetizar directamente un controlador basado en un único conjunto de datos.

Supongamos que denota una planta SISO estable LTI desconocida, un modelo de referencia definido por el usuario y una función de ponderación definida por el usuario. Un controlador LTI de orden fijo se indica como , donde , y es un vector de funciones de base LTI. Finalmente, es un controlador LTI ideal de cualquier estructura, lo que garantiza una función de bucle cerrado cuando se aplica a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K(\rho )=\beta ^{T}\rho }$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

El objetivo es minimizar la siguiente función objetivo:

${\displaystyle J(\rho )=\left\|F{\bigg (}{\frac {K^{*}G-K(\rho )G}{(1+K^{*}G)^{2}}}{\bigg )}\right\|_{2}^{2}.}$

${\displaystyle J(\rho )}$es una aproximación convexa de la función objetivo obtenida a partir de un problema de referencia del modelo, suponiendo que . ${\displaystyle {\frac {1}{(1+K(\rho )G)}}\approx {\frac {1}{(1+K^{*}G)}}}$

Cuando es estable y de fase mínima, el problema de referencia del modelo aproximado es equivalente a la minimización de la norma de en el esquema de la figura. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varepsilon (t)}$

La idea es que, cuando G es estable y de fase mínima, el problema de referencia del modelo aproximado es equivalente a la minimización de la norma de . ${\displaystyle \varepsilon }$

Se supone que la señal de entrada es una señal de entrada de excitación persistente y que se genera mediante un mecanismo de generación de datos estable. Por lo tanto, las dos señales no están correlacionadas en un experimento de bucle abierto; por lo tanto, el error ideal no está correlacionado con . Por lo tanto, el objetivo de control consiste en encontrar tales que y no estén correlacionados. ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (t,\rho ^{*})}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (t,\rho ^{*})}$

El vector de variables instrumentales se define como: ${\displaystyle \zeta (t)}$

${\displaystyle \zeta (t)=[r_{W}(t+\ell _{1}),r_{W}(t+\ell _{1}-1),\ldots ,r_{W}(t),\ldots ,r_{W}(t-\ell _{1})]^{T}}$

donde es suficientemente grande y , donde es un filtro apropiado. ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle r_{W}(t)=Wr(t)}$ ${\displaystyle W}$

La función de correlación es:

${\displaystyle f_{N,\ell _{1}}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\zeta (t)\varepsilon (t,\rho )}$

y el problema de optimización se convierte en:

${\displaystyle {\widehat {\rho }}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}f_{N,\ell _{1}}^{T}f_{N,\ell _{1}}.}$

Denotando con el espectro de , se puede demostrar que, bajo algunos supuestos, si se selecciona como: ${\displaystyle \phi _{r}(\omega )}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(e^{-j\omega })={\frac {F(e^{-j\omega })(1-M(e^{-j\omega }))}{\phi _{r}(\omega )}}}$

Entonces, se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \lim _{N,\ell _{1}\to \infty ,\ell _{1}/N\to \infty }{\widehat {\rho }}=\rho ^{*}.}$

Restricción de estabilidad

No hay garantía de que el controlador que minimiza sea estable. La inestabilidad puede ocurrir en los siguientes casos: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J_{N,\ell _{1}}}$

• Si la fase no es mínima, puede dar lugar a cancelaciones en el plano complejo de la mitad derecha. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K^{*}}$
• Si (aun cuando se estabilice) no se puede lograr, puede que no se estabilice. ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K(\rho )}$
• Debido al ruido de medición, incluso si se estabiliza, los datos estimados pueden no serlo. ${\displaystyle K^{*}=K(\rho )}$ ${\displaystyle {\widehat {K}}(\rho )}$

Consideremos un controlador estabilizador y la función de transferencia de lazo cerrado . Definamos: ${\displaystyle K_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}={\frac {K_{s}G}{1+K_{s}G}}}$

${\displaystyle \Delta (\rho ):=M_{s}-K(\rho )G(1-M_{s})}$

${\displaystyle \delta (\rho ):=\left\|\Delta (\rho )\right\|_{\infty }.}$

Teorema

El controlador estabiliza la planta si ${\displaystyle K(\rho )}$ ${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle \Delta (\rho )}$es estable
2. ${\displaystyle \exists \delta _{N}\in (0,1)}$calle ${\displaystyle \delta (\rho )\leq \delta _{N}.}$

La condición 1 se cumple cuando:

• ${\displaystyle K(\rho )}$es estable
• ${\displaystyle K(\rho )}$contiene un integrador (esta cancelado).

El diseño de referencia del modelo con restricción de estabilidad se convierte en:

${\displaystyle \rho _{s}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J(\rho )}$

${\displaystyle {\text{s.t. }}\delta (\rho )\leq \delta _{N}.}$

Se puede obtener una estimación basada en datos convexos mediante la transformada de Fourier discreta . ${\displaystyle \delta (\rho )}$

Defina lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {R}}_{r}(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )r(t){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}\\[4pt]&{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )\varepsilon (t,\rho ){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}.\end{aligned}}}$

Para plantas de fase mínima estable , se plantea el siguiente problema de optimización basado en datos convexos :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\rho }}&={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )\\[3pt]&{\text{s.t.}}\\[3pt]&{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\leq \delta _{N}{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r}(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\\[4pt]\omega _{k}&={\frac {2\pi k}{2\ell _{2}+1}},\qquad k=0,\ldots ,\ell _{2}+1.\end{aligned}}}$

Ajuste de retroalimentación de referencia virtual

El ajuste de retroalimentación de referencia virtual (VRFT) es un método no iterativo para el ajuste basado en datos de un controlador de estructura fija. Proporciona un método único para sintetizar directamente un controlador en función de un único conjunto de datos.

La VRFT se propuso por primera vez en ^[4] y luego se extendió a los sistemas LPV. ^[5] La VRFT también se basa en las ideas presentadas en ^[6] como . ${\displaystyle VRD^{2}}$

La idea principal es definir un modelo de bucle cerrado deseado y utilizar su dinámica inversa para obtener una referencia virtual a partir de la señal de salida medida . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r_{v}(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

La idea principal es definir un modelo de bucle cerrado deseado M y utilizar su dinámica inversa para obtener una referencia virtual a partir de la señal de salida medida y.

Las señales virtuales son y ${\displaystyle r_{v}(t)=M^{-1}y(t)}$ ${\displaystyle e_{v}(t)=r_{v}(t)-y(t).}$

El controlador óptimo se obtiene a partir de datos sin ruido resolviendo el siguiente problema de optimización:

${\displaystyle {\widehat {\rho }}_{\infty }={\underset {\rho }{\operatorname {arg\,min} }}\lim _{N\to \infty }J_{vr}(\rho )}$

donde la función de optimización se da de la siguiente manera:

${\displaystyle J_{vr}^{N}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(u(t)-K(\rho )e_{v}(t)\right)^{2}.}$

Véase también

• Automatización
• Inteligencia artificial

Referencias

1. Bazanella, AS, Campestrini, L., Eckhard, D. (2012). Diseño de controladores basados ​​en datos: el enfoque. Springer, ISBN 978-94-007-2300-9 , 208 páginas. ${\displaystyle H_{2}}$ 
2. Hjalmarsson, H. , Gevers, M., Gunnarsson, S. y Lequin, O. (1998). Ajuste iterativo por retroalimentación: teoría y aplicaciones. Sistemas de control IEEE, 18(4), 26–41.
3. van Heusden, K., Karimi, A. y Bonvin, D. (2011), Control de referencia de modelo basado en datos con estabilidad garantizada asintóticamente. Int. J. Adapt. Control Signal Process., 25: 331–351. doi :10.1002/acs.1212
4. Campi, Marco C., Andrea Lecchini y Sergio M. Savaresi. "Ajuste de retroalimentación de referencia virtual: un método directo para el diseño de controladores de retroalimentación". Automatica 38.8 (2002): 1337–1346.
5. Formentin, S., Piga, D., Tóth, R. y Savaresi, SM (2016). Aprendizaje directo de controladores LPV a partir de datos. Automatica, 65, 98–110.
6. Guardabassi, Guido O. y Sergio M. Savaresi. "Linealización aproximada por retroalimentación de sistemas no lineales de tiempo discreto utilizando diseño directo de entrada virtual". Systems & Control Letters 32.2 (1997): 63–74.

Introducción a los sistemas de control basados ​​en datos Ali Khaki-Sedigh

ISBN: 978-1-394-19642-5 Noviembre de 2023 Wiley-IEEE Press 384 páginas

Enlaces externos

• Caja de herramientas VRFT para MATLAB