En matemáticas , un pseudogrupo es un conjunto de difeomorfismos entre conjuntos abiertos de un espacio, que satisfacen propiedades de tipo grupo y de tipo haz. Es una generalización [ dudosa – discutida ] del concepto de grupo , que se origina, sin embargo, a partir del enfoque geométrico de Sophus Lie [1] para investigar simetrías de ecuaciones diferenciales, en lugar de a partir del álgebra abstracta (como el cuasigrupo , por ejemplo). La teoría moderna de pseudogrupos fue desarrollada por Élie Cartan a principios del siglo XX. [2] [3]
Un pseudogrupo impone varias condiciones a los conjuntos de homeomorfismos (respectivamente, difeomorfismos ) definidos en conjuntos abiertos U de un espacio euclidiano dado o, de manera más general, de un espacio topológico fijo (respectivamente, variedad lisa ). Como dos homeomorfismos h : U → V y g : V → W forman un homeomorfismo de U a W , se plantea la cuestión de que el pseudogrupo esté cerrado bajo composición e inversión. Sin embargo, a diferencia de los axiomas para un grupo, los axiomas que definen un pseudogrupo no son puramente algebraicos; los requisitos adicionales están relacionados con la posibilidad de restringir y parchar homeomorfismos (similar al axioma de pegado para secciones de un haz).
Más precisamente, un pseudogrupo en un espacio topológico S es una colección Γ de homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de S que satisfacen las siguientes propiedades: [4] [5]
Como consecuencia, el homeomorfismo de identidad de cualquier subconjunto abierto de S se encuentra en Γ .
De manera similar, un pseudogrupo en una variedad suave X se define como una colección Γ de difeomorfismos entre subconjuntos abiertos de X que satisfacen propiedades análogas (donde reemplazamos homeomorfismos con difeomorfismos). [6]
Se dice que dos puntos de X están en la misma órbita si un elemento de Γ envía uno al otro. Las órbitas de un pseudogrupo forman claramente una partición de X ; un pseudogrupo se denomina transitivo si tiene una sola órbita.
Una clase muy extendida de ejemplos la constituyen los pseudogrupos que conservan una estructura geométrica dada. Por ejemplo, si ( X , g ) es una variedad de Riemann , se tiene el pseudogrupo de sus isometrías locales ; si ( X , ω ) es una variedad simpléctica , se tiene el pseudogrupo de sus simplectomorfismos locales ; etc. Estos pseudogrupos deben considerarse como el conjunto de las simetrías locales de estas estructuras.
Las variedades con estructuras adicionales se pueden definir a menudo utilizando los pseudogrupos de simetrías de un modelo local fijo. Más precisamente, dado un pseudogrupo Γ , un Γ -atlas en un espacio topológico S consiste en un atlas estándar en S tal que los cambios de coordenadas (es decir, las funciones de transición) pertenecen a Γ . Una clase equivalente de Γ-atlas también se denomina Γ -estructura en S .
En particular, cuando Γ es el pseudogrupo de todos los difeomorfismos definidos localmente de R n , se recupera la noción estándar de un atlas liso y una estructura lisa . De manera más general, se pueden definir los siguientes objetos como Γ -estructuras en un espacio topológico S :
De manera más general, cualquier G -estructura integrable y cualquier ( G , X ) -variedad son casos especiales de Γ -estructuras, para pseudogrupos Γ adecuados .
En general, los pseudogrupos se estudiaron como una posible teoría de grupos de Lie de dimensión infinita . El concepto de un grupo de Lie local , es decir, un pseudogrupo de funciones definidas en las proximidades del origen de un espacio euclidiano E , es en realidad más cercano al concepto original de grupo de Lie de Lie, en el caso en que las transformaciones involucradas dependen de un número finito de parámetros , que la definición contemporánea a través de variedades . Uno de los logros de Cartan fue aclarar los puntos involucrados, incluido el punto de que un grupo de Lie local siempre da lugar a un grupo global , en el sentido actual (un análogo del tercer teorema de Lie , sobre las álgebras de Lie que determinan un grupo). El grupo formal es otro enfoque más para la especificación de los grupos de Lie, infinitesimalmente. Se sabe, sin embargo, que los grupos topológicos locales no necesariamente tienen contrapartes globales.
Abundan los ejemplos de pseudogrupos de dimensión infinita, empezando por el pseudogrupo de todos los difeomorfismos de E . El interés se centra principalmente en los subpseudogrupos de los difeomorfismos y, por tanto, en los objetos que tienen un análogo del álgebra de Lie de los campos vectoriales . Los métodos propuestos por Lie y por Cartan para estudiar estos objetos se han vuelto más prácticos dado el progreso del álgebra computacional .
En la década de 1950, la teoría de Cartan fue reformulada por Shiing-Shen Chern , y Kunihiko Kodaira [7] y DC Spencer [8] desarrollaron una teoría de deformación general para pseudogrupos . En la década de 1960, se aplicó el álgebra homológica a las cuestiones básicas de EDP involucradas, de sobredeterminación; esto, sin embargo, reveló que el álgebra de la teoría es potencialmente muy pesada. En la misma década, el interés por la física teórica de la teoría de Lie de dimensión infinita apareció por primera vez, en la forma del álgebra actual .
Intuitivamente, un pseudogrupo de Lie debería ser un pseudogrupo que "se origina" a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Existen muchas nociones similares pero no equivalentes en la literatura; [9] [10] [11] [12] [13] la "correcta" depende de la aplicación que uno tenga en mente. Sin embargo, todos estos diversos enfoques involucran los fibrados de jets (de dimensión finita o infinita) de Γ , que se les pide que sean un grupoide de Lie . En particular, un pseudogrupo de Lie se llama de orden finito k si puede ser "reconstruido" a partir del espacio de sus k - jets .