Medida de Gibbs

Concepto matemático

En física y matemáticas , la medida de Gibbs , llamada así por Josiah Willard Gibbs , es una medida de probabilidad que se ve con frecuencia en muchos problemas de teoría de la probabilidad y mecánica estadística . Es una generalización del conjunto canónico a sistemas infinitos. El conjunto canónico da la probabilidad de que el sistema X esté en el estado x (equivalentemente, de que la variable aleatoria X tenga el valor x ) como

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).}$

Aquí, E es una función del espacio de estados a los números reales; en aplicaciones de física, E ( x ) se interpreta como la energía de la configuración x . El parámetro β es un parámetro libre; en física, es la temperatura inversa . La constante normalizadora Z ( β ) es la función de partición . Sin embargo, en sistemas infinitos, la energía total ya no es un número finito y no se puede utilizar en la construcción tradicional de la distribución de probabilidad de un conjunto canónico. Los enfoques tradicionales en física estadística estudiaron el límite de propiedades intensivas a medida que el tamaño de un sistema finito se acerca al infinito (el límite termodinámico ). Cuando la función de energía se puede escribir como una suma de términos que involucran solo variables de un subsistema finito, la noción de una medida de Gibbs proporciona un enfoque alternativo. Las medidas de Gibbs fueron propuestas por teóricos de la probabilidad como Dobrushin , Lanford y Ruelle y proporcionaron un marco para estudiar directamente los sistemas infinitos, en lugar de tomar el límite de los sistemas finitos.

Una medida es una medida de Gibbs si las probabilidades condicionales que induce en cada subsistema finito satisfacen una condición de consistencia: si todos los grados de libertad fuera del subsistema finito están congelados, el conjunto canónico para el subsistema sujeto a estas condiciones de contorno coincide con las probabilidades en la medida de Gibbs condicional a los grados de libertad congelados.

El teorema de Hammersley-Clifford implica que cualquier medida de probabilidad que satisfaga una propiedad de Markov es una medida de Gibbs para una elección apropiada de función de energía (definida localmente). Por lo tanto, la medida de Gibbs se aplica a problemas generalizados fuera de la física , como las redes de Hopfield , las redes de Markov , las redes de lógica de Markov y los juegos potenciales racionales acotados en la teoría de juegos y la economía. Una medida de Gibbs en un sistema con interacciones locales (de rango finito) maximiza la densidad de entropía para una densidad de energía esperada dada ; o, equivalentemente, minimiza la densidad de energía libre .

La medida de Gibbs de un sistema infinito no es necesariamente única, a diferencia del conjunto canónico de un sistema finito, que es único. La existencia de más de una medida de Gibbs está asociada a fenómenos estadísticos como la ruptura de simetría y la coexistencia de fases .

Física estadística

El conjunto de medidas de Gibbs en un sistema es siempre convexo, ^[1] por lo que existe una única medida de Gibbs (en cuyo caso se dice que el sistema es " ergódico "), o hay infinitas (y el sistema se llama "no ergódico"). En el caso no ergódico, las medidas de Gibbs se pueden expresar como el conjunto de combinaciones convexas de un número mucho menor de medidas de Gibbs especiales conocidas como "estados puros" (que no deben confundirse con la noción relacionada pero distinta de estados puros en mecánica cuántica ). En aplicaciones físicas, el hamiltoniano (la función de energía) generalmente tiene algún sentido de localidad , y los estados puros tienen la propiedad de descomposición en grupos de que los "subsistemas muy separados" son independientes. En la práctica, los sistemas físicamente realistas se encuentran en uno de estos estados puros.

Si el hamiltoniano posee una simetría, entonces una medida de Gibbs única (es decir, ergódica) será necesariamente invariante bajo la simetría. Pero en el caso de múltiples medidas de Gibbs (es decir, no ergódicas), los estados puros normalmente no son invariantes bajo la simetría del hamiltoniano. Por ejemplo, en el modelo de Ising ferromagnético infinito por debajo de la temperatura crítica, hay dos estados puros, los estados "principalmente hacia arriba" y "principalmente hacia abajo", que se intercambian bajo la simetría del modelo. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Propiedad de Markov

Un ejemplo de la propiedad de Markov se puede ver en la medida de Gibbs del modelo de Ising . La probabilidad de que un espín σ _k dado esté en el estado s podría, en principio, depender de los estados de todos los demás espines del sistema. Por lo tanto, podemos escribir la probabilidad como

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)}$.

Sin embargo, en un modelo de Ising con solo interacciones de rango finito (por ejemplo, interacciones con el vecino más cercano), en realidad tenemos

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})}$,

donde N _k es un vecindario del sitio k . Es decir, la probabilidad en el sitio k depende solo de los espines en un vecindario finito. Esta última ecuación tiene la forma de una propiedad local de Markov . Las medidas con esta propiedad a veces se denominan campos aleatorios de Markov . Más fuertemente, lo inverso también es cierto: cualquier distribución de probabilidad positiva (densidad distinta de cero en todas partes) que tenga la propiedad de Markov se puede representar como una medida de Gibbs para una función de energía apropiada. ^[2] Este es el teorema de Hammersley-Clifford .

Definición formal de celosías

Lo que sigue es una definición formal para el caso especial de un campo aleatorio en una red. Sin embargo, la idea de una medida de Gibbs es mucho más general que esto.

La definición de un campo aleatorio de Gibbs en una red requiere cierta terminología:

• La red : Un conjunto contable . ${\displaystyle \mathbb {L} }$
• El espacio de un solo espín : un espacio de probabilidad . ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}},\lambda )}$
• El espacio de configuración : , donde y . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Omega =S^{\mathbb {L} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }}$
• Dada una configuración ω ∈ Ω y un subconjunto , la restricción de ω a Λ es . Si y , entonces la configuración es la configuración cuyas restricciones a Λ ₁ y Λ ₂ son y , respectivamente. ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset }$ ${\displaystyle \Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L} }$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}}$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}}$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{2}}}$
• El conjunto de todos los subconjuntos finitos de . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Para cada subconjunto , es la σ -álgebra generada por la familia de funciones , donde . La unión de estas σ -álgebras a medida que varía sobre es el álgebra de conjuntos de cilindros en la red. ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Lambda }}$ ${\displaystyle (\sigma (t))_{t\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \sigma (t)(\omega )=\omega (t)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• El potencial : Una familia de funciones Φ _A  : Ω → R tales que ${\displaystyle \Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}}$
  1. Para cada uno es - medible , lo que significa que depende sólo de la restricción (y lo hace de manera medible). ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ ${\displaystyle \omega _{A}}$
  2. Para todos y ω ∈ Ω , existe la siguiente serie: ^{[ cuando se define como? ]} ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).}$

Interpretamos Φ _A como la contribución a la energía total (el hamiltoniano) asociada a la interacción entre todos los puntos del conjunto finito A . Luego, como la contribución a la energía total de todos los conjuntos finitos A que se encuentran . Nótese que la energía total es típicamente infinita, pero cuando la "localizamos" en cada uno puede ser finita, esperamos. ${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$

• El hamiltoniano en condiciones de contorno , para el potencial Φ , se define por ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)}$

donde denota la configuración que toma los valores de en , y los de en . ${\displaystyle \omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{c}:=\mathbb {L} \setminus \Lambda }$

• La función de partición en condiciones de contorno y temperatura inversa β > 0 (para el potencial Φ y λ ) se define por ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),}$

dónde

${\displaystyle \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),}$

es la medida del producto

Un potencial Φ es λ -admisible si es finito para todo y β > 0 . ${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})}$ ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega }$

Una medida de probabilidad μ on es una medida de Gibbs para un potencial λ -admisible Φ si satisface la ecuación de Dobrushin–Lanford–Ruelle (DLR) ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))\,1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),}$

para todos y . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

Un ejemplo

Para ayudar a comprender las definiciones anteriores, aquí están las cantidades correspondientes en el importante ejemplo del modelo de Ising con interacciones de vecino más cercano (constante de acoplamiento J ) y un campo magnético ( h ), en Z ^d :

• La red es simplemente . ${\displaystyle \mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}}$
• El espacio de espín único es S = {−1, 1}.
• El potencial viene dado por

${\displaystyle \Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{if }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ with }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{if }}A=\{t\}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Véase también

• Distribución de Boltzmann
• Familia exponencial
• Algoritmo de Gibbs
• Muestreo de Gibbs
• Sistema de partículas interactuantes
• Juego potencial
• Máximo suave
• Autómatas celulares estocásticos

Referencias

1. "Medidas de Gibbs" (PDF) .
2. Ross Kindermann y J. Laurie Snell, Campos aleatorios de Markov y sus aplicaciones (1980) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-5001-6 

Lectura adicional

• Georgii, H.-O. (2011) [1988]. Medidas de Gibbs y transiciones de fase (2.ª ed.). Berlín: de Gruyter. ISBN 978-3-11-025029-9.
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas reticulares: una introducción matemática concreta. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.