Wagstaff de primera

En teoría de números , un primo de Wagstaff es un número primo de la forma

${\displaystyle {{2^{p}+1} \over 3}}$

donde p es un número primo impar . Los primos de Wagstaff reciben su nombre del matemático Samuel S. Wagstaff Jr .; las páginas de primos le dan crédito a François Morain por nombrarlos en una conferencia en la conferencia Eurocrypt de 1990. Los primos de Wagstaff aparecen en la Nueva conjetura de Mersenne y tienen aplicaciones en criptografía .

Ejemplos

Los primeros tres primos de Wagstaff son 3, 11 y 43 porque

${\displaystyle {\begin{aligned}3&={2^{3}+1 \over 3},\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3},\\[5pt]43&={2^{7}+1 \over 3}.\end{aligned}}}$

Primos Wagstaff conocidos

Los primeros números primos de Wagstaff son:

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, ... (secuencia A000979 en la OEIS )

Los exponentes que producen primos de Wagstaff o primos probables son:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, ... (secuencia A000978 en la OEIS )

Generalizaciones

Es natural considerar ^[2] de manera más general números de la forma

${\displaystyle Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}}$

donde la base . Ya que para impar tenemos ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {b^{n}+1}{b+1}}={\frac {(-b)^{n}-1}{(-b)-1}}=R_{n}(-b)}$

Estos números se denominan "números base de Wagstaff " y a veces se consideran ^[3] un caso de números repunit con base negativa . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$

Para algunos valores específicos de , todos (con una posible excepción para ) son compuestos debido a una factorización "algebraica". Específicamente, si tiene la forma de una potencia perfecta con exponente impar (como 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, 343, 512, 729, 1000, etc. (secuencia A070265 en la OEIS )), entonces el hecho de que , con impar, sea divisible por muestra que es divisible por en estos casos especiales. Otro caso es , con k un entero positivo (como 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184, etc. (secuencia A141046 en la OEIS )), donde tenemos la factorización aurifeuilleana . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Q(b,n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x^{m}+1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle Q(a^{m},n)}$ ${\displaystyle a^{n}+1}$ ${\displaystyle b=4k^{4}}$

Sin embargo, cuando no admite una factorización algebraica, se conjetura que un número infinito de valores lo hacen primo, nótese que todos son primos impares. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(b,n)}$ ${\displaystyle n}$

Para , los primos mismos tienen la siguiente apariencia: 9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091, … (secuencia A097209 en la OEIS ), y estos n son: 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... (secuencia A001562 en la OEIS ). ${\displaystyle b=10}$

Consulte Repunit#Repunit primes para obtener la lista de primos generalizados de Wagstaff base . (Los primos generalizados de Wagstaff base son primos generalizados de repunit base con impar ) ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle n}$

Los menores primos p tales que son primos son (comienza con n = 2, 0 si no existe tal p ) ${\displaystyle Q(n,p)}$

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, ... (secuencia A084742 en la OEIS )

Las bases menores b tales que son primos son (comienza con n = 2) ${\displaystyle Q(b,prime(n))}$

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (secuencia A103795 en la OEIS )

Referencias

1. Bateman, PT ; Selfridge, JL ; Wagstaff, Jr., SS (1989). "La nueva conjetura de Mersenne". American Mathematical Monthly . 96 : 125–128. doi :10.2307/2323195. JSTOR  2323195.
2. Dubner, H. y Granlund, T.: Primos de la forma (bn + 1)/(b + 1), Journal of Integer Sequences , vol. 3 (2000)
3. Repunit, Wolfram MathWorld (Eric W. Weisstein)

Enlaces externos

• John Renze y Eric W. Weisstein . "Wagstaff principal". MundoMatemático .
• Chris Caldwell, Los veinte mejores: Wagstaff en The Prime Pages .
• Renaud Lifchitz, "Una prueba de primos probables eficiente para números de la forma (2p + 1)/3".
• Tony Reix, "Tres conjeturas sobre pruebas de primalidad para números de Mersenne, Wagstaff y Fermat basados ​​en ciclos del dígrafo bajo x2 − 2 módulo un primo".
• Lista de repunits en base -50 a 50
• Lista de primos de Wagstaff de base 2 a 160