Polinomio de Constant

En matemáticas , los polinomios de Kostant , llamados así en honor a Bertram Kostant , proporcionan una base explícita del anillo de polinomios sobre el anillo de polinomios invariantes bajo el grupo de reflexión finito de un sistema de raíces .

Fondo

Si el grupo de reflexión W corresponde al grupo de Weyl de un grupo semisimple compacto K con toro maximalista T , entonces los polinomios de Kostant describen la estructura de la cohomología de de Rham de la variedad bandera generalizada K / T , también isomorfa a G / B donde G es la complejización de K y B es el subgrupo de Borel correspondiente . Armand Borel demostró que su anillo de cohomología es isomorfo al cociente del anillo de polinomios por el ideal generado por los polinomios homogéneos invariantes de grado positivo. Este anillo ya había sido considerado por Claude Chevalley al establecer los fundamentos de la cohomología de los grupos de Lie compactos y sus espacios homogéneos con André Weil , Jean-Louis Koszul y Henri Cartan ; la existencia de tal base fue utilizada por Chevalley para demostrar que el anillo de invariantes era en sí mismo un anillo polinomial. Bernstein, Gelfand y Gelfand (1973) y Demazure (1973) de forma independiente dieron una explicación detallada de los polinomios de Kostant como una herramienta para entender el cálculo de Schubert de la variedad de banderas. Los polinomios de Kostant están relacionados con los polinomios de Schubert definidos combinatoriamente por Lascoux y Schützenberger (1982) para la variedad de banderas clásica, cuando G = SL(n, C ). Su estructura está gobernada por operadores de diferencia asociados al sistema raíz correspondiente .

Steinberg (1975) definió una base análoga cuando el anillo de polinomios se reemplaza por el anillo de exponenciales de la red de pesos . Si K es simplemente conexo , este anillo puede identificarse con el anillo de representación R ( T ) y el subanillo W -invariante con R ( K ). La base de Steinberg fue motivada nuevamente por un problema sobre la topología de espacios homogéneos; la base surge al describir la teoría K - equivariante T de K / T .

Definición

Sea Φ un sistema de raíces en un espacio de producto interior real de dimensión finita V con grupo de Weyl W . Sea Φ ⁺ un conjunto de raíces positivas y Δ el conjunto correspondiente de raíces simples. Si α es una raíz, entonces s _α denota el operador de reflexión correspondiente. Las raíces se consideran polinomios lineales en V utilizando el producto interior α( v ) = (α, v ). La elección de Δ da lugar a un orden de Bruhat en el grupo de Weyl determinado por las formas de escribir elementos mínimamente como productos de reflexión de raíces simples. La longitud mínima para un elemento s se denota . Elija un elemento v en V tal que α ( v ) > 0 para cada raíz positiva. ${\displaystyle \ell (s)}$

Si α _i es una raíz simple con operador de reflexión s _i

${\displaystyle s_{i}x=x-2{(x,\alpha _{i}) \over (\alpha _{i},\alpha _{i})}\alpha _{i},}$

entonces el operador de diferencia dividida correspondiente se define por

${\displaystyle \delta _{i}f={f-f\circ s_{i} \over \alpha _{i}}.}$

Si y s tiene expresión reducida ${\displaystyle \ell (s)=m}$

${\displaystyle s=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{m}},}$

entonces

${\displaystyle \delta _{s}=\delta _{i_{1}}\cdots \delta _{i_{m}}}$

es independiente de la expresión reducida. Además

${\displaystyle \delta _{s}\delta _{t}=\delta _{st}}$

si y 0 en caso contrario. ${\displaystyle \ell (st)=\ell (s)+\ell (t)}$

Si w ₀ es el elemento más largo de W , el elemento de mayor longitud o equivalentemente el elemento que envía Φ ⁺ a −Φ ⁺ , entonces

${\displaystyle \delta _{w_{0}}f={\sum _{s\in W}\det s\,f\circ s \over \prod _{\alpha >0}\alpha }.}$

De manera más general

${\displaystyle \delta _{s}f={\det s\,f\circ s+\sum _{t<s}a_{s,t}\,f\circ t \over \prod _{\alpha >0,\,s^{-1}\alpha <0}\alpha }}$

para algunas constantes como _{s , t} .

Colocar

${\displaystyle d=|W|^{-1}\prod _{\alpha >0}\alpha .}$

y

${\displaystyle P_{s}=\delta _{s^{-1}w_{0}}d.}$

Entonces P _s es un polinomio homogéneo de grado . ${\displaystyle \ell (s)}$

Estos polinomios son los polinomios de Kostant .

Propiedades

Teorema . Los polinomios de Kostant forman una base libre del anillo de polinomios sobre los polinomios W-invariantes.

De hecho, la matriz

${\displaystyle N_{st}=\delta _{s}(P_{t})}$

es unitriangular para cualquier orden total tal que s ≥ t implica . ${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$

Por eso

${\displaystyle \det N=1.}$

Así que si

${\displaystyle f=\sum _{s}a_{s}P_{s}}$

con una _s invariante bajo W , entonces

${\displaystyle \delta _{t}(f)=\sum _{s}\delta _{t}(P_{s})a_{s}.}$

De este modo

${\displaystyle a_{s}=\sum _{t}M_{s,t}\delta _{t}(f),}$

dónde

${\displaystyle M=N^{-1}}$

Otra matriz unitriangular con elementos polinómicos. Se puede comprobar directamente que a _s es invariante bajo W .

De hecho, δ _i satisface la propiedad de derivación

${\displaystyle \delta _{i}(fg)=\delta _{i}(f)g+(f\circ s_{i})\delta _{i}(g).}$

Por eso

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}(f)=\sum _{t}\delta _{i}(\delta _{s}(P_{t}))a_{t})=\sum _{t}(\delta _{s}(P_{t})\circ s_{i})\delta _{i}(a_{t})+\sum _{t}\delta _{i}\delta _{s}(P_{t})a_{t}.}$

Desde

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}=\delta _{s_{i}s}}$

o 0, se deduce que

${\displaystyle \sum _{t}\delta _{s}(P_{t})\,\delta _{i}(a_{t})\circ s_{i}=0}$

de modo que por la invertibilidad de N

${\displaystyle \delta _{i}(a_{t})=0}$

para todo i , es decir, _t es invariante bajo W .

Base de Steinberg

Como se indicó anteriormente, sea Φ un sistema de raíces en un espacio de producto interno real V y Φ ⁺ un subconjunto de raíces positivas. A partir de estos datos obtenemos el subconjunto Δ = { α ₁ , α ₂ , …, α _n } de las raíces simples, las co-raíces

${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }=2(\alpha _{i},\alpha _{i})^{-1}\alpha _{i},}$

y los pesos fundamentales λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n como base dual de las cororraíces.

Para cada elemento s en W , sea Δ _s el subconjunto de Δ que consiste en las raíces simples que satisfacen s ⁻¹ α < 0, y ponga

${\displaystyle \lambda _{s}=s^{-1}\sum _{\alpha _{i}\in \Delta _{s}}\lambda _{i},}$

donde la suma se calcula en la red de pesos P .

El conjunto de combinaciones lineales de las exponenciales e ^μ con coeficientes enteros para μ en P se convierte en un anillo sobre Z isomorfo al álgebra de grupos de P , o equivalentemente al anillo de representación R ( T ) de T , donde T es un toro maximal en K , el grupo de Lie semisimple compacto, conexo y simplemente conexo con sistema raíz Φ. Si W es el grupo de Weyl de Φ, entonces el anillo de representación R ( K ) de K puede identificarse con R ( T ) ^W .

Teorema de Steinberg . Las exponenciales λ _s ( s en W ) forman una base libre para el anillo de exponenciales sobre el subanillo de W - exponenciales invariantes.

Sea ρ la mitad de la suma de las raíces positivas y A el operador de antisimetrización.

${\displaystyle A(\psi )=\sum _{s\in W}(-1)^{\ell (s)}s\cdot \psi .}$

Las raíces positivas β con s β positivo pueden verse como un conjunto de raíces positivas para un sistema de raíces en un subespacio de V ; las raíces son las ortogonales a s.λ _s . El grupo de Weyl correspondiente es igual al estabilizador de λ _s en W . Se genera por las reflexiones simples s _j para las cuales s α _j es una raíz positiva.

Sean M y N las matrices

${\displaystyle M_{ts}=t(\lambda _{s}),\,\,N_{st}=(-1)^{\ell (t)}\cdot t(\psi _{s}),}$

donde ψ _s viene dado por el peso s ⁻¹ ρ - λ _s . Entonces la matriz

${\displaystyle B_{s,s'}=\Omega ^{-1}(NM)_{s,s'}={A(\psi _{s}\lambda _{s'}) \over \Omega }}$

es triangular con respecto a cualquier orden total en W tal que s ≥ t implica . Steinberg demostró que las entradas de B son sumas exponenciales invariantes en W. Además, todas sus entradas diagonales son iguales a 1, por lo que tiene determinante 1. Por lo tanto, su inversa C tiene la misma forma. Definir ${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$

${\displaystyle \varphi _{s}=\sum C_{s,t}\psi _{t}.}$

Si χ es una suma exponencial arbitraria, entonces se deduce que

${\displaystyle \chi =\sum _{s\in W}a_{s}\lambda _{s}}$

con una _s la suma exponencial W -invariante

${\displaystyle a_{s}={A(\varphi _{s}\chi ) \over \Omega }.}$

De hecho, esta es la única solución del sistema de ecuaciones.

${\displaystyle t\chi =\sum _{s\in W}t(\lambda _{s})\,\,a_{s}=\sum _{s}M_{t,s}a_{s}.}$

Referencias

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• Cartan, Henri (1950), "La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal", Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruselas : 57–71
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