Polinomio alterno

En álgebra, un polinomio alterno es un polinomio tal que si se cambian dos variables cualesquiera, el polinomio cambia de signo: ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}$

De manera equivalente, si se permutan las variables, el polinomio cambia de valor según el signo de la permutación :

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

De manera más general, se dice que un polinomio alterna si cambia de signo si se intercambian dos de ellos , dejando el fijo. ^[1] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$

Relación con polinomios simétricos

Los productos de polinomios simétricos y alternos (en las mismas variables ) se comportan así: ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

• el producto de dos polinomios simétricos es simétrico,
• el producto de un polinomio simétrico y un polinomio alterno es alterno, y
• el producto de dos polinomios alternos es simétrico.

Esta es exactamente la tabla de suma para la paridad , donde "simétrico" corresponde a "par" y "alterno" corresponde a "impar". Así, la suma directa de los espacios de polinomios simétricos y alternos forma una superálgebra ( álgebra graduada ) , donde los polinomios simétricos son la parte par y los polinomios alternos son la parte impar. Esta calificación no está relacionada con la calificación de polinomios por grado . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

En particular, los polinomios alternos forman un módulo sobre el álgebra de polinomios simétricos (la parte impar de una superálgebra es un módulo sobre la parte par); de hecho es un módulo libre de rango 1, con el polinomio de Vandermonde en n variables como generador.

Si la característica del anillo de coeficientes es 2, no hay diferencia entre ambos conceptos: los polinomios alternos son precisamente los polinomios simétricos.

polinomio de Vandermonde

El polinomio alterno básico es el polinomio de Vandermonde :

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Esto es claramente alternante, ya que cambiar dos variables cambia el signo de un término y no cambia los demás. ^[2]

Los polinomios alternos son exactamente el polinomio de Vandermonde multiplicado por un polinomio simétrico: donde es simétrico. Esto es porque: ${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle v_{n}}$es un factor de cada polinomio alterno: es un factor de cada polinomio alterno, como si , el polinomio fuera cero (dado que cambiarlos no cambia el polinomio, obtenemos ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

entonces es un factor), y por lo tanto es un factor. ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle v_{n}}$

• un polinomio alterno multiplicado por un polinomio simétrico es un polinomio alterno; por lo tanto todos los múltiplos de son polinomios alternos ${\displaystyle v_{n}}$

Por el contrario, la razón de dos polinomios alternos es una función simétrica, posiblemente racional (no necesariamente un polinomio), aunque la razón de un polinomio alterno sobre el polinomio de Vandermonde es un polinomio. Los polinomios de Schur se definen de esta manera, como un polinomio alterno dividido por el polinomio de Vandermonde.

Estructura de anillo

Así, denotando el anillo de polinomios simétricos por Λ _n , el anillo de polinomios simétricos y alternos es , o más precisamente , donde hay un polinomio simétrico, el discriminante . ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle }$ ${\displaystyle \Delta =v_{n}^{2}}$

Es decir, el anillo de polinomios simétricos y alternos es una extensión cuadrática del anillo de polinomios simétricos, donde se ha añadido una raíz cuadrada del discriminante.

Alternativamente, es:

${\displaystyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .}$

Si 2 no es invertible, la situación es algo diferente y se debe usar un polinomio diferente y se obtiene una relación diferente; ver Romagny. ${\displaystyle W_{n}}$

Teoría de la representación

Desde la perspectiva de la teoría de la representación , los polinomios simétricos y alternos son subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico sobre n letras del anillo polinómico en n variables. (Formalmente, el grupo simétrico actúa sobre n letras y, por tanto, actúa sobre objetos derivados, particularmente objetos libres sobre n letras, como el anillo de polinomios).

El grupo simétrico tiene dos representaciones unidimensionales: la representación trivial y la representación de signos. Los polinomios simétricos son la representación trivial y los polinomios alternos son la representación de signos. Formalmente, el intervalo escalar de cualquier polinomio simétrico (resp., alterno) es una representación trivial (resp., de signo) del grupo simétrico, y multiplicar los polinomios tensores las representaciones.

En la característica 2, no se trata de representaciones distintas y el análisis es más complicado.

Si , también existen otras subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico sobre el anillo de polinomios, como se analiza en la teoría de la representación del grupo simétrico . ${\displaystyle n>2}$

Inestable

Los polinomios alternos son un fenómeno inestable: el anillo de polinomios simétricos en n variables se puede obtener a partir del anillo de polinomios simétricos en muchas variables arbitrarias evaluando todas las variables anteriores a cero: los polinomios simétricos son, por tanto, estables o definidos de manera compatible. Sin embargo, este no es el caso de los polinomios alternos, en particular el polinomio de Vandermonde . ${\displaystyle x_{n}}$

Ver también

• Polinomio simétrico
• clase euler

Notas

1. Giambruno y Zaicev (2005), pág. 12.
2. Más bien, solo reorganiza los otros términos: para , cambiando y cambia a , e intercambia con , pero no cambia su signo. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{2})}$

Referencias

• Giambruno, Antonio; Zaicev, Mikhail (2005). Identidades polinómicas y métodos asintóticos. vol. 122. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3829-7.
• El teorema fundamental de la alternancia de funciones, por Matthieu Romagny, 15 de septiembre de 2005