Planímetro

Herramienta para medir área

Un planímetro , también conocido como platómetro , es un instrumento de medición utilizado para determinar el área de una forma bidimensional arbitraria.

Construcción

Existen varios tipos de planímetros, pero todos funcionan de manera similar. La forma precisa en que se construyen varía, siendo los principales tipos de planímetros mecánicos los polares, lineales y de Prytz o "hacha". El matemático suizo Jakob Amsler-Laffon construyó el primer planímetro moderno en 1854, concepto que fue desarrollado por Johann Martin Hermann en 1818. ^[1] Muchos desarrollos siguieron al famoso planímetro de Amsler, incluidas versiones electrónicas.

Varios tipos de planímetros

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  Planímetro polar
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  Un planímetro (1908) que mide el área indicada trazando su perímetro.
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  Planímetro polar de Amsler
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  Planímetro lineal. Las ruedas permiten medir áreas extensas sin restricciones.
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  Tres planímetros: digital, de Prytz (hacha) y de Amsler (polar)
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  Planímetro Prytz con rueda a la izquierda

El tipo Amsler (polar) consta de un mecanismo articulado de dos barras. En el extremo de un mecanismo hay un puntero, que se utiliza para trazar el contorno de la forma que se va a medir. El otro extremo del mecanismo pivota libremente sobre un peso que evita que se mueva. Cerca de la unión de los dos mecanismos hay una rueda de medición de diámetro calibrado, con una escala para mostrar la rotación fina y un engranaje helicoidal para una escala auxiliar de contador de vueltas. A medida que se traza el contorno del área, esta rueda rueda sobre la superficie del dibujo. El operador ajusta la rueda, gira el contador a cero y luego traza el puntero alrededor del perímetro de la forma. Cuando se completa el trazado, las escalas de la rueda de medición muestran el área de la forma.

Cuando la rueda de medición del planímetro se mueve perpendicularmente a su eje, gira y este movimiento se registra. Cuando la rueda de medición se mueve paralelamente a su eje, la rueda patina sin girar, por lo que este movimiento se ignora. Esto significa que el planímetro mide la distancia que recorre su rueda de medición, proyectada perpendicularmente al eje de rotación de la rueda de medición. El área de la forma es proporcional al número de vueltas que da la rueda de medición.

El planímetro polar está diseñado para medir áreas dentro de límites determinados por su tamaño y geometría. Sin embargo, el tipo lineal no tiene restricción en una dimensión, porque puede rodar. Sus ruedas no deben resbalar, porque el movimiento debe limitarse a una línea recta.

Los desarrollos del planímetro pueden establecer la posición del primer momento de área ( centro de masas ), e incluso del segundo momento de área .

Varios tipos de planímetros

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  Planímetro lineal
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  Planímetro polar

Las imágenes muestran los principios de un planímetro lineal y uno polar. El puntero M en un extremo del planímetro sigue el contorno C de la superficie S que se va a medir. En el planímetro lineal, el movimiento del "codo" E está restringido al eje y . En el planímetro polar, el "codo" está conectado a un brazo con su otro extremo O en una posición fija. Conectada al brazo ME está la rueda de medición con su eje de rotación paralelo a ME. Un movimiento del brazo ME se puede descomponer en un movimiento perpendicular a ME, que hace que la rueda gire, y un movimiento paralelo a ME, que hace que la rueda patine, sin ninguna contribución a su lectura.

Principio

Principio del planímetro lineal

El funcionamiento del planímetro lineal se puede explicar midiendo el área de un rectángulo ABCD (ver imagen). Moviéndose con el puntero de A a B, el brazo EM se mueve a través del paralelogramo amarillo, con área igual a PQ×EM. Esta área también es igual al área del paralelogramo A"ABB". La rueda de medición mide la distancia PQ (perpendicular a EM). Moviéndose de C a D, el brazo EM se mueve a través del paralelogramo verde, con área igual al área del rectángulo D"DCC". La rueda de medición se mueve ahora en la dirección opuesta, restando esta lectura de la anterior. Los movimientos a lo largo de BC y DA son los mismos pero opuestos, por lo que se cancelan entre sí sin efecto neto en la lectura de la rueda. El resultado neto es la medición de la diferencia de las áreas amarilla y verde, que es el área de ABCD.

Derivación matemática

El funcionamiento de un planímetro lineal se puede justificar aplicando el teorema de Green a los componentes del campo vectorial N, dado por:

${\displaystyle \!\,N(x,y)=(b-y,x),}$

donde b es la coordenada y del codo E.

Este campo vectorial es perpendicular al brazo de medición EM:

${\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0}$

y tiene un tamaño constante, igual a la longitud m del brazo de medición:

${\displaystyle \!\,\|N\|={\sqrt {(b-y)^{2}+x^{2}}}=m}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]={}&\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (b-y)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{S}\,dx\,dy=A,\end{aligned}}}$

porque:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}(y-b)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0,}$

El lado izquierdo de la ecuación anterior, que es igual al área A encerrada por el contorno, es proporcional a la distancia medida por la rueda de medición, con factor de proporcionalidad m , la longitud del brazo de medición.

La justificación de la derivación anterior radica en observar que el planímetro lineal solo registra el movimiento perpendicular a su brazo de medición, o cuando

${\displaystyle N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy}$es distinto de cero. Cuando esta cantidad se integra sobre la curva cerrada C, se obtiene el teorema de Green y el área.

Coordenadas polares

La conexión con el teorema de Green se puede entender en términos de integración en coordenadas polares : en coordenadas polares, el área se calcula mediante la integral donde la forma que se integra es cuadrática en r, lo que significa que la tasa a la que el área cambia con respecto al cambio en el ángulo varía cuadráticamente con el radio. ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$

Para una ecuación paramétrica en coordenadas polares, donde tanto r como θ varían en función del tiempo, esto se convierte en $${\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.}$$

Para un planímetro polar, la rotación total de la rueda es proporcional a, como la rotación es proporcional a la distancia recorrida, que en cualquier punto del tiempo es proporcional al radio y al cambio de ángulo, como en la circunferencia de un círculo ( ). ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$

Este último integrando puede reconocerse como la derivada del integrando anterior (con respecto a r ), y muestra que un planímetro polar calcula la integral del área en términos de la derivada , lo que se refleja en el teorema de Green, que iguala una integral de línea de una función en un contorno (unidimensional) a la integral (bidimensional) de la derivada. ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$

Véase también

• Curvímetro
• Planímetro de puntos
• Instrumento matemático
• Integraph
• Fórmula de los cordones de zapatos

Referencias

1. "Planímetros".

Fuentes

• Bryant, John; Sangwin, Chris (2007), "Capítulo 8: En busca de perchas", ¿Qué tan redondo es tu círculo?: Donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas , Princeton University Press, págs. 138-171, ISBN 978-0-691-13118-4
• Gatterdam, RW (1981), "El planímetro como ejemplo del teorema de Green", The American Mathematical Monthly , 88 (9): 701–704, doi :10.2307/2320679, JSTOR  2320679
• Hodgson, John L. (1 de abril de 1929), "Integración de diagramas de caudalímetros", Journal of Scientific Instruments , 6 (4): 116–118, Bibcode :1929JScI....6..116H, doi :10.1088/0950-7671/6/4/302
• Horsburgh, EM (1914), Celebración del tricentenario de Napier: Manual de la exposición de reliquias de Napier y de libros, instrumentos y dispositivos para facilitar el cálculo, The Royal Society of Edinburgh
• Jennings, G. (1985), Geometría moderna con aplicaciones , Springer
• Lowell, LI (1954), "Comentarios sobre el planímetro polar", The American Mathematical Monthly , 61 (7): 467–469, doi :10.2307/2308082, JSTOR  2308082
• Wheatley, JY (1908), El planímetro polar, Nueva York: Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

Enlaces externos

• Planímetro de hacha ^{[ enlace roto ]}
• P. Kunkel: Sitio de Whistleralley, El Planímetro
• Bandeja de planímetro de Larry
• Página del planímetro de Wurzburgo
• Página del planímetro de Robert Foote
• Modelo informático de un planímetro
• Explicaciones del planímetro de Tanya Leise y Cómo gira la rueda del planímetro
• Hacer un planímetro sencillo
• Fotografía: Geógrafos utilizando planímetros (1940-1941)
• O. Knill y D. Winter: El teorema de Green y el planímetro