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Planímetro de puntos

Un círculo de radio 5 superpuesto con una cuadrícula de puntos en el patrón de un planímetro de puntos. Cuando se cuentan los puntos cerca del límite de la forma como 1/2, hay 69 puntos interiores y 20 puntos límite para un área estimada de 79, cerca del área real de 25 π ≈ 78,54.

Un planímetro de puntos es un dispositivo utilizado en planimetría para estimar el área de una forma , que consiste en una hoja transparente que contiene una cuadrícula cuadrada de puntos. Para estimar el área de una forma, se superpone la hoja sobre la forma y se cuentan los puntos dentro de la forma. La estimación del área es el número de puntos contados multiplicado por el área de un solo cuadrado de cuadrícula. En algunas variaciones, los puntos que caen en el límite de la forma o cerca de él se cuentan como la mitad de una unidad. Los puntos también se pueden agrupar en grupos cuadrados más grandes mediante líneas dibujadas en la transparencia, lo que permite agregar al recuento los grupos que están completamente dentro de la forma en lugar de requerir que sus puntos se cuenten uno por uno. [1]

La estimación del área mediante una cuadrícula de puntos también se ha denominado método de cuadrícula de puntos o (particularmente cuando la alineación de la cuadrícula con la forma es aleatoria) muestreo sistemático . [2] Quizás debido a su simplicidad, se ha reinventado repetidamente. [3] [4] [5]

Solicitud

En silvicultura , cartografía y geografía , el planímetro de puntos se ha aplicado a mapas para estimar el área de parcelas de tierra. [1] [4] [5] [6] En botánica y horticultura , se ha aplicado directamente a hojas muestreadas para estimar el área foliar promedio. [7] [8] [9]

En medicina, se ha aplicado a los diagramas de Lashley como estimación del tamaño de las lesiones cerebrales . [10]

En mineralogía , se aplica una técnica similar de contar puntos en una cuadrícula a secciones transversales de muestras de rocas con un propósito diferente: estimar las proporciones relativas de diferentes minerales constituyentes. [11]

Teoría

Se puede lograr una mayor precisión utilizando un planímetro de puntos con una cuadrícula de puntos más fina. [6] Alternativamente, colocar repetidamente un planímetro de puntos con diferentes desplazamientos irracionales de su ubicación anterior y promediar las mediciones resultantes puede conducir a un conjunto de mediciones muestreadas cuyo promedio tiende hacia el área real de la forma medida. [3] El método que utiliza una cuadrícula más fina tiende a tener una mejor eficiencia estadística que la medición repetida con ubicaciones aleatorias. [2]

Según el teorema de Pick , publicado por Georg Alexander Pick en 1899, la versión del planímetro de puntos con los puntos límite contando como 1/2 (y con un término de corrección agregado de −1) da resultados exactos para polígonos que tienen los puntos como vértices. . [12] [13] Según el teorema de Blichfeldt , publicado por Hans Frederick Blichfeldt en 1914, siempre es posible desplazar un planímetro de puntos con respecto a una forma determinada sin girarlo, de modo que el número de puntos dentro de la forma sea al menos igual a su área. [14] [15]

El problema del círculo de Gauss se refiere al error que se obtendría al utilizar un planímetro de puntos para estimar el área de un círculo . Como su nombre indica, fue estudiado a principios del siglo XIX por Carl Friedrich Gauss . Se sabe que el error máximo está limitado por una potencia fraccionaria del radio del círculo, con exponente entre 1/2 y 131/208. [dieciséis]

Dispositivos relacionados

El planímetro de puntos se diferencia de otros tipos de planímetro , que miden el área de una forma pasando un dispositivo alrededor de su límite. [5]

El longímetro Steinhaus es un dispositivo similar basado en transparencia para estimar la longitud de curvas contando cruces. [17]

Referencias

  1. ^ ab Crommer, DAN (enero de 1949), "Extracción de pequeñas áreas irregulares", Australian Forestry , 13 (1): 64–66, doi :10.1080/00049158.1949.10675768
  2. ^ ab Bellhouse, DR (1981), "Estimación de área mediante técnicas de conteo de puntos", Biometrics , 37 (2): 303–312, doi :10.2307/2530419, JSTOR  2530419, MR  0673040
  3. ^ ab Steinhaus, Hugo (1924), "O mierzeniu pól płaskich" (PDF) , Przegląd Matematyczno-Fizyczny (en polaco), 2 (1–2): 24–29
  4. ^ ab Abell, CA (1939), "Un método para estimar el área en figuras rotas y de formas irregulares" (PDF) , Journal of Forestry , 37 : 344–345
  5. ^ abc Wood, Walter F. (enero de 1954), "El planímetro de puntos, una nueva forma de medir el área del mapa", The Professional Geographer , 6 (1): 12–14, doi :10.1111/j.0033-0124.1954.61_12 .X
  6. ^ ab Frolov, YS; Maling, DH (junio de 1969), "La precisión de la medición de áreas mediante técnicas de conteo de puntos", The Cartographic Journal , 6 (1): 21–35, doi :10.1179/caj.1969.6.1.21
  7. ^ Heinicke, Don R. (octubre de 1963), "Nota sobre la estimación del área foliar y la distribución de las hojas en árboles frutales", Canadian Journal of Plant Science , 43 (4), Canadian Science Publishing: 597–598, doi :10.4141/cjps63 -117
  8. ^ Benjamín, DM; Freeman, GH; Brown, ES (febrero de 1968), "La determinación de áreas de hojas de forma irregular destruidas por insectos masticadores", Annals of Applied Biology , 61 (1): 13–17, doi :10.1111/j.1744-7348.1968.tb04505. X
  9. ^ Dolph, Gary E. (julio-septiembre de 1977), "El efecto de diferentes técnicas de cálculo en la estimación del área foliar y la construcción de distribuciones del tamaño de las hojas", Boletín del Torrey Botanical Club , 104 (3): 264–269 , doi :10.2307/2484308, JSTOR  2484308
  10. ^ Thomas, Roger K.; Peacock, LJ (enero de 1965), "Un método para medir las lesiones cerebrales", Psychonomic Science , 3 (1–12): 184, doi : 10.3758/bf03343085
  11. ^ Neilson, MJ; Brockman, GF (diciembre de 1977), "El error asociado con el conteo de puntos", American Mineralogist , 62 (11-12): 1238-1244
  12. ^ Pick, Georg (1899), "Geometrisches zur Zahlenlehre", Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" en Praga , (Neue Folge) (en alemán), 19 : 311–319, JFM  33.0216.01CitaBank:47270
  13. ^ Wells, David (1991), "Teorema de Pick", Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante , Penguin Books, págs.
  14. ^ Blichfeldt, HF (1914), "Un nuevo principio en la geometría de los números, con algunas aplicaciones", Transactions of the American Mathematical Society , 15 (3): 227–235, doi : 10.1090/S0002-9947-1914-1500976 -6 , JSTOR  1988585, SEÑOR  1500976
  15. ^ Viejos, CD ; Lax, Anneli ; Davidoff, Giuliana P. (2000), "Capítulo 9: Un nuevo principio en la geometría de los números", La geometría de los números , Anneli Lax New Mathematical Library, vol. 41, Asociación Matemática de América, Washington, DC, págs. 119-127, ISBN 0-88385-643-3, señor  1817689
  16. ^ Guy, Richard K. (2004), "F1: problema del punto de red de Gauß", Problemas no resueltos en teoría de números , Libros de problemas de matemáticas, vol. 1 (3.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 365–367, doi :10.1007/978-0-387-26677-0, ISBN 0-387-20860-7, señor  2076335
  17. ^ Steinhaus, Hugo (1931), "Longimetr", Czasopismo Geograficzne (en polaco), 3 : 1–4

enlaces externos