nudo de rebanada

Nudo que une un disco incrustado en 4 espacios.

Un disco de corte suave en posición Morse , que muestra mínimos, sillas de montar y un máximo, y como ilustración una película del nudo Kinoshita-Terasaka.

Un nudo de corte es un nudo matemático en un espacio tridimensional que une un disco incrustado en un espacio de 4 dimensiones.

Definición

Se dice que un nudo es un nudo topológicamente cortado o un nudo cortado suavemente , si es el límite de un disco incrustado en las 4 bolas , que es localmente plano o liso , respectivamente. Aquí usamos : las 3 esferas son el límite de la bola de cuatro dimensiones . Cada nudo cortado suavemente está cortado topológicamente porque un disco incrustado suavemente es localmente plano. Por lo general, los nudos cortados suavemente también se llaman simplemente cortes. Ambos tipos de nudos de corte son importantes en topología tridimensional y tetradimensional. ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ ${\displaystyle B^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}=\partial B^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |=1\}}$ ${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |\leq 1\}.}$

Los nudos de corte suave a menudo se ilustran utilizando diagramas de nudos de cinta y es una pregunta abierta si hay nudos de corte suave que no sean nudos de cinta (′Conjetura de corte-cinta′).

Construcción de cono

Cono sobre el nudo del trébol

Las condiciones localmente planas o lisas son esenciales en la definición: Para cada nudo podemos construir el cono sobre el nudo que es un disco en las 4 bolas con la propiedad requerida con la excepción de que no es localmente plana o lisa en la singularidad (aunque funciona para el nudo trivial).

Tenga en cuenta que el disco en la ilustración de la derecha no tiene autointersecciones en 4 espacios. Estos sólo ocurren en la proyección al espacio tridimensional. Por lo tanto, el disco está "correctamente" incrustado en cada punto pero no en la singularidad (no es localmente plano allí).

Nudos cortados y grupo de concordancia de nudos.

Se dice que dos nudos orientados son concordantes si la suma conectada es un segmento. De la misma manera que antes, distinguimos topológicamente y suavemente concordantes. Con denotamos la imagen especular de donde además se invierte la orientación. La relación ′concordante′ es reflexiva porque hay corte por cada nudo . También es posible demostrar que es transitivo: si es concordante con y es concordante con entonces es concordante con . Como la relación también es simétrica, es una relación de equivalencia . Las clases de equivalencia junto con la suma conectada de nudos como operación forman entonces un grupo abeliano que se denomina grupo de concordancia de nudos (topológicos o lisos). El elemento neutro de este grupo es el conjunto de nudos de corte (topológicos o lisos, respectivamente). ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\sharp -K_{2}}$ ${\displaystyle -K_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle K\sharp -K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle K_{3}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{3}}$

Ejemplos

Utilizando el nudo trébol ilustramos la reflexividad de la relación de concordancia: cada nudo es concordante consigo mismo. En la definición de concordancia se producen dos inversiones de orientaciones: se invierte la orientación del nudo (flecha verde y roja) y también la orientación del espacio tridimensional. El efecto de este último es el reflejo del nudo.

Cada nudo de cinta es un nudo cortado suavemente porque, con la excepción de las singularidades de la cinta, el nudo ya limita un disco incrustado (en 3 espacios). Las singularidades de la cinta se pueden deformar en una pequeña vecindad en 4 espacios para que el disco quede incrustado.

Hay 21 nudos primos de corte no triviales con número de cruce . Estos son , , , , , , , , , , , , , , , , , , , y . Hasta este número de cruce no hay nudos topológicamente cortados que no estén cortados suavemente. ^[1] Sin embargo, a partir del cruce número 11 hay un ejemplo de este tipo: el nudo Conway (llamado así por John Horton Conway ) es un nudo cortado topológicamente pero no suavemente. ^[2] Por otro lado, el nudo Kinoshita-Terasaka, un llamado ′ mutante ′ del nudo Conway, se corta suavemente. Los nudos torcidos , a excepción del nudo trivial y el nudo de estibador , no son cortados. ^[3] Se conocen todos los nudos cortados topológica y suavemente con número de cruce . ^[4] Los nudos cortados compuestos hasta el cruce número 12 son, además de los de la forma y , los dos nudos más interesantes y . ^[5] ${\displaystyle cr(K)\leq 10}$ ${\displaystyle 6_{1}}$ ${\displaystyle 8_{8}}$ ${\displaystyle 8_{9}}$ ${\displaystyle 8_{20}}$ ${\displaystyle 9_{27}}$ ${\displaystyle 9_{41}}$ ${\displaystyle 9_{46}}$ ${\displaystyle 10_{3}}$ ${\displaystyle 10_{22}}$ ${\displaystyle 10_{35}}$ ${\displaystyle 10_{42}}$ ${\displaystyle 10_{48}}$ ${\displaystyle 10_{75}}$ ${\displaystyle 10_{87}}$ ${\displaystyle 10_{99}}$ ${\displaystyle 10_{123}}$ ${\displaystyle 10_{129}}$ ${\displaystyle 10_{137}}$ ${\displaystyle 10_{140}}$ ${\displaystyle 10_{153}}$ ${\displaystyle 10_{155}}$ ${\displaystyle 6_{1}}$ ${\displaystyle cr(K)\leq 12}$ ${\displaystyle K\sharp -K}$ ${\displaystyle 6_{1}\sharp 3_{1}\sharp -3_{1}}$ ${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{10}}$ ${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{11}}$

Invariantes

Para nudos de corte topológico y suave son válidas las siguientes propiedades: El polinomio de Alexander de un nudo de corte se puede escribir como un polinomio de Laurent con coeficientes enteros (condición de Fox-Milnor). ^[6] De ello se deduce que el determinante del nudo ( ) es un número cuadrado. ${\displaystyle \Delta (t)=f(t)f(t^{-1})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle =\Delta (-1)}$

La firma es una invariante de las clases de concordancia y la firma de los nudos cortados es cero. Además, el mapa de firmas es un homomorfismo del grupo de concordancia a los números enteros : la firma de la suma de dos clases de concordancia es la suma de las dos firmas.

• De ello se deduce que el grupo de concordancia contiene elementos de orden infinito : la firma de un nudo trébol es ±2 y la firma de la clase de concordancia de la suma conectada de tréboles es y por lo tanto no es 0. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pm 2n}$
• El grupo de concordancia también contiene elementos de orden 2: El nudo en forma de ocho es anfiquero e invertible , y por lo tanto tenemos . En el grupo de concordancia encontramos . Dado que el determinante del nudo en forma de ocho es 5, que no es un número cuadrado, este nudo no es cortado y se deduce que su orden en el grupo de concordancia es 2. Por supuesto, los nudos con orden finito en el grupo de concordancia siempre tener firma 0. ${\displaystyle 4_{1}}$ ${\displaystyle 4_{1}=-4_{1}}$ ${\displaystyle 4_{1}\sharp 4_{1}=4_{1}\sharp -4_{1}=0}$

Para ambas variantes del grupo de concordancia se desconoce si existen elementos de orden finito. ${\displaystyle >2}$

Por otro lado, existen invariantes con diferentes propiedades para las dos variantes de concordancia: Los nudos con polinomio trivial de Alexander ( ) siempre se cortan topológicamente, pero no necesariamente se cortan suavemente (el nudo de Conway es un ejemplo de eso). La invariante s de Rasmussen desaparece para cortes suaves, pero en general no para nudos cortados topológicamente. ^[7] ${\displaystyle \Delta (t)=1}$

Descripción geométrica de la relación de concordancia.

Arriba: La composición de dos concordancias de nudos muestra la transitividad de forma geométrica. Abajo: Una concordancia del género 1 entre dos nudos. Si el nudo de la izquierda es trivial, entonces el nudo de la derecha tiene un género 4 suave de 0 o 1: es el límite de una superficie incrustada de género 1, pero también podría unir un disco.

Como alternativa a la definición anterior de concordancia que utiliza nudos cortados, también existe una segunda definición equivalente. Dos nudos orientados y son concordantes si son el límite de un cilindro (localmente plano o liso) (en el espacio de 4 dimensiones ). Las orientaciones de los dos nudos deben ser consistentes con la orientación del cilindro, que se ilustra en la tercera figura. Los límites de son dos con orientaciones diferentes ^[8] y, por lo tanto, se muestran dos tréboles reflejados como límite del cilindro. Al conectar los dos nudos cortando una tira del cilindro se obtiene un disco, lo que muestra que para todos los nudos la suma conectada es una rebanada. En ambas definiciones un nudo es cortado si y sólo si es concordante con el nudo trivial. ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle C=S^{1}\times [0,1]}$ ${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$ ${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle K\sharp -K}$

Esto también se puede ilustrar con la primera figura en la parte superior de este artículo: si se corta un pequeño disco en el mínimo local en la parte inferior izquierda, entonces el límite de la superficie en este lugar es un nudo trivial y la superficie es un cilindro. . En el otro extremo del cilindro tenemos un nudo cortado. Si el disco (o cilindro) está incrustado suavemente, puede deformarse ligeramente hasta la llamada posición Morse .

Esto es útil porque los puntos críticos con respecto a la función radial r tienen un significado geométrico. En los puntos de silla se añaden o destruyen componentes triviales (movimientos de banda, también llamados fusión y fisión). Para los nudos cortados es posible cualquier número de estos movimientos de banda, mientras que para los nudos de cinta sólo pueden ocurrir fusiones y no se permiten fisiones.

En la ilustración de la derecha, la descripción geométrica de la concordancia se gira 90° y el parámetro r pasa a llamarse t. Este nombre encaja bien con una interpretación temporal de una "película" de superficie.

4 género

Se puede realizar una definición análoga a la de los nudos cortados con superficies de género más grande . Por lo tanto, el género de 4 (también llamado 'género de rebanada') de un nudo se define como el género más pequeño de una superficie incrustada en el espacio de 4 cuyo límite es el nudo. Como antes, distinguimos el 4 género topológico y suave. Los nudos con 4 género 0 son nudos cortados porque un disco, la superficie más simple, tiene género 0. El 4 género siempre es menor o igual al género del nudo porque esta invariante se define usando superficies de Seifert que ya están incrustadas en tridimensionales. espacio.

En la siguiente tabla se enumeran ejemplos de nudos con diferentes valores para su 4 género topológico y suave. El nudo Conway 11n34 es, como ya se ha mencionado, el primer ejemplo en las tablas de nudos de un nudo cortado topológicamente pero no suavemente. A juzgar por los valores de la tabla podríamos concluir que el género 4 suave y topológico siempre difieren en 1, cuando no son iguales. Sin embargo, este no es el caso y la diferencia puede ser arbitrariamente grande. ^[9] Sin embargo, no se sabe (a partir de 2017) si hay nudos alternos con una diferencia> 1. ^[10]

Bibliografía

• Dale Rolfsen: Nudos y vínculos , Publicar o perecer, 1976, Capítulo 8.E
• Charles Livingston: Teoría de nudos , Monografías matemáticas de Carus, 1993
• Charles Livingston: Un estudio sobre la concordancia de nudos clásicos , capítulo 7 del "Manual de teoría de nudos", Elsevier, 2005

enlaces externos

• Peter Teichner : Nudos cortados: teoría de nudos en la cuarta dimensión

Ver también

• Concordancia de enlaces  : relación de equivalencia de enlaces más débil que la isotopía pero más fuerte que la homotopía

Referencias

1. Consulte C. Livingston y AH Moore: KnotInfo: Table of Knot Invariants , https://knotinfo.math.indiana.edu/ para obtener la notación y la lista de nudos cortados (género-4D = 0 y género-4D (arriba). = 0).
2. Lisa Piccirillo : El nudo Conway no es un corte. Ana. de Matemáticas. 191, núm. 2, pág. 581–591, 2020.
3. Andrew Casson , Cameron Gordon : Cobordismo de nudos clásicos , en: A. Marin, L. Guillou: A la recherche de la topologie perdue, Progress in Mathematics, Birkhäuser 1986.
4. Los diagramas de cinta para ellos se pueden encontrar en: C. Lamm, The Search for Nonmetric Ribbon Knots , Exp. Matemáticas. 30, pág. 349–363, 2021.
5. Las variantes especulares de los nudos deben elegirse de manera que la firma total sea 0.
6. Ralph Fox , John Milnor : Singularidades de 2 esferas en 4 espacios y cobordismo de nudos. Osaka J. Matemáticas. 3, pág. 257–267, 1966.
7. Jacob Rasmussen: homología de Khovanov y el género de corte. Inv. Matemáticas. 182, pág. 419–447, 2010.
8. Para conocer la orientación de un producto, consulte Tammo tom Dieck: Algebraic Topology , EMS Textbooks in Mathematics, 2008 (en línea [1], p. 373).
9. P. Feller, D. McCoy: Sobre nudos de 2 puentes con diferentes géneros de cortes topológicos y suaves , Proc. América. Matemáticas. Soc. 144, pág. 5435–5442, 2016.
10. Consulte el informe de la conferencia Treinta años de teoría de Floer para 3 variedades, Banff International Research Station, 2017, Problema 25, p. 12.