Número perfecto

Entero igual a la suma de sus divisores propios

Ilustración del estado de número perfecto del número 6

En teoría de números , un número perfecto es un entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos , es decir, divisores excluyendo al número en sí. Por ejemplo, 6 tiene divisores propios 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 = 6, por lo que 6 es un número perfecto. El siguiente número perfecto es 28, ya que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Los primeros cuatro números perfectos son 6 , 28 , 496 y 8128. ^[1 ]

La suma de los divisores propios de un número se denomina suma alícuota , por lo que un número perfecto es aquel que es igual a su suma alícuota. De manera equivalente, un número perfecto es un número que es la mitad de la suma de todos sus divisores positivos; en símbolos, donde es la función suma de divisores . ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

Esta definición es antigua, ya que aparece en los Elementos de Euclides (VII.22), donde se denomina τέλειος ἀριθμός ( número perfecto , ideal o completo ). Euclides también demostró una regla de formación (IX.36) por la cual es un número perfecto par siempre que es un primo de la forma de un entero positivo —lo que ahora se llama primo de Mersenne— . Dos milenios después, Leonhard Euler demostró que todos los números perfectos pares son de esta forma. ^[2] Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler . ${\displaystyle q(q+1)/2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$

No se sabe si existen números perfectos impares ni si existen infinitos números perfectos.

Historia

En el año 300 a. C., Euclides demostró que si 2 ^p  − 1 es primo, entonces 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) es perfecto. Los primeros cuatro números perfectos eran los únicos conocidos por los matemáticos griegos primitivos , y el matemático Nicómaco anotó 8128 alrededor del año 100 d. C. ^[3] En lenguaje moderno, Nicómaco afirma sin prueba que todo número perfecto es de la forma donde es primo. ^{[4] [5]} Parece ignorar que n en sí mismo tiene que ser primo. También dice (erróneamente) que los números perfectos terminan en 6 u 8 alternativamente. (Los primeros 5 números perfectos terminan con los dígitos 6, 8, 6, 8, 6; pero el sexto también termina en 6.) Filón de Alejandría en su libro del primer siglo "Sobre la creación" menciona los números perfectos, afirmando que el mundo fue creado en 6 días y la luna orbita en 28 días porque 6 y 28 son perfectos. A Filón le siguen Orígenes , ^[6] y Dídimo el Ciego , quien añade la observación de que sólo hay cuatro números perfectos que sean menores que 10.000. (Comentario sobre Génesis 1. 14–19). ^[7] San Agustín define los números perfectos en Ciudad de Dios (Libro XI, Capítulo 30) a principios del siglo V d.C., repitiendo la afirmación de que Dios creó el mundo en 6 días porque 6 es el número perfecto más pequeño. El matemático egipcio Ismail ibn Fallūs (1194-1252) mencionó los siguientes tres números perfectos (33.550.336; 8.589.869.056; y 137.438.691.328) y enumeró algunos más que ahora se sabe que son incorrectos. ^[8] La primera mención europea conocida del quinto número perfecto es un manuscrito escrito entre 1456 y 1461 por un matemático desconocido. ^[9] En 1588, el matemático italiano Pietro Cataldi identificó el sexto (8.589.869.056) y el séptimo (137.438.691.328) números perfectos, y también demostró que todo número perfecto obtenido a partir de la regla de Euclides termina con un 6 o un 8. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

Números perfectos incluso

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen infinitos números perfectos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Euclides demostró que es un número par perfecto siempre que es primo ( Elementos , Prop. IX.36). ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

Por ejemplo, los primeros cuatro números perfectos se generan mediante la fórmula con p como número primo , de la siguiente manera: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

Los números primos de la forma se conocen como primos de Mersenne , en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne , que estudió la teoría de números y los números perfectos. Para que sean primos, es necesario que p sea primo. Sin embargo, no todos los números de la forma con un primo p son primos; por ejemplo, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 no es un número primo. ^[a] De hecho, los primos de Mersenne son muy raros: de los primos p hasta 68.874.199, es primo solo para 48 de ellos. ^[13] ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$

Aunque Nicómaco había afirmado (sin pruebas) que todos los números perfectos eran de la forma donde es primo (aunque lo afirmó de forma algo diferente), Ibn al-Haytham (Alhazen) alrededor del año 1000 d. C. no estaba dispuesto a ir tan lejos, declarando en cambio (también sin pruebas) que la fórmula arrojaba solo todos los números pares perfectos. ^[14] No fue hasta el siglo XVIII que Leonhard Euler demostró que la fórmula arrojará todos los números pares perfectos. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los números pares perfectos y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número par perfecto, y viceversa. Este resultado a menudo se conoce como el teorema de Euclides-Euler . ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

Una búsqueda exhaustiva realizada por el proyecto de computación distribuida GIMPS ha demostrado que los primeros 48 números pares perfectos son para ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 y 57885161 (secuencia A000043 en la OEIS ). ^[13]

También se han descubierto tres números perfectos superiores, a saber, aquellos para los que p = 74207281, 77232917 y 82589933. Aunque todavía es posible que haya otros dentro de este rango, las pruebas iniciales pero exhaustivas de GIMPS no han revelado otros números perfectos para p por debajo de 109332539. A diciembre de 2018 ^[actualizar], se conocen 51 primos de Mersenne, ^[15] y, por lo tanto, 51 números perfectos pares (el mayor de los cuales es 2 ^82589932 × (2 ^82589933 − 1) con 49.724.095 dígitos). No se sabe si hay infinitos números perfectos, ni si hay infinitos primos de Mersenne.

Además de tener la forma , cada número par perfecto es el -ésimo número triangular (y por lo tanto igual a la suma de los enteros de 1 a ) y el -ésimo número hexagonal . Además, cada número par perfecto excepto 6 es el -ésimo número no agonal centrado y es igual a la suma de los primeros cubos impares (cubos impares hasta el cubo de ): ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle (2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

Incluso los números perfectos (excepto el 6) tienen la forma $${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

con cada número triangular resultante T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (después de restar 1 del número perfecto y dividir el resultado por 9) terminando en 3 o 5, la secuencia que comienza con T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903 , T ₂₇₃₀ = 3727815, ... ^[16] De ello se deduce que al sumar los dígitos de cualquier número par perfecto (excepto 6), luego sumar los dígitos del número resultante y repetir este proceso hasta obtener un solo dígito (llamado raíz digital ), siempre se produce el número 1. Por ejemplo, la raíz digital de 8128 es 1, porque 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 y 1 + 0 = 1 . Esto funciona con todos los números perfectos con primo impar p y, de hecho, con todos los números de la forma de entero impar (no necesariamente primo) m . ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ ${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$

Debido a su forma, todo número par perfecto se representa en forma binaria como p unos seguidos de p − 1 ceros; por ejemplo: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

Por lo tanto, todo número par perfecto es un número pernicioso .

Todo número par perfecto es también un número práctico (cf. Conceptos relacionados).

Números perfectos impares

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen números perfectos impares?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Se desconoce si existen números perfectos impares, aunque se han obtenido varios resultados. En 1496, Jacques Lefèvre afirmó que la regla de Euclides da todos los números perfectos, ^[17] lo que implica que no existe ningún número perfecto impar, pero el propio Euler afirmó: "Si ... hay algún número perfecto impar es una pregunta muy difícil". ^[18] Más recientemente, Carl Pomerance ha presentado un argumento heurístico que sugiere que, de hecho, no debería existir ningún número perfecto impar. ^[19] Todos los números perfectos también son números divisores armónicos , y también se ha conjeturado que no hay números divisores armónicos impares distintos de 1. Muchas de las propiedades demostradas sobre los números perfectos impares también se aplican a los números de Descartes , y Pace Nielsen ha sugerido que un estudio suficiente de esos números puede llevar a una prueba de que no existen números perfectos impares. ^[20]

Cualquier número perfecto impar N debe satisfacer las siguientes condiciones:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^[21]
• N no es divisible por 105. ^[22]
• N tiene la forma N ≡ 1 (mod 12) o N ≡ 117 (mod 468) o N ≡ 81 (mod 324). ^[23]
• El factor primo más grande de N es mayor que 10 ^{8 [24]} y menor que ^[25] ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$
• El segundo factor primo más grande es mayor que 10 ⁴ , ^[26] y es menor que . ^[27] ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$
• El tercer factor primo más grande es mayor que 100, ^[28] y menor que ^[29] ${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$
• N tiene al menos 101 factores primos y al menos 10 factores primos distintos. ^{[21] [30]} Si 3 no es uno de los factores de N , entonces N tiene al menos 12 factores primos distintos. ^[31]
• N tiene la forma

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

dónde:

• q ,  p ₁ , ...,  p _k son primos impares distintos (Euler).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
• El factor primo más pequeño de N es como máximo ^[32] ${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• Al menos una de las potencias primas que dividen a N es mayor que 10 ⁶² . ^[21]
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[33] [34]}
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$. ^{[32] [35] [36]}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$. ^[37]
• ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}>{\frac {\ln k}{2\ln 2}}}$. ^{[38] [39]}

Además, se conocen varios resultados menores sobre los exponentes e ₁ , ...,  e _k .

• No todos los e _i  ≡ 1 ( mod 3). ^[40]
• No todos los e _i  ≡ 2 ( mod 5). ^[41]
• Si todos los e _i  ≡ 1 ( mod 3) o 2 ( mod 5), entonces el factor primo más pequeño de N debe estar entre 10 ⁸ y 10 ¹⁰⁰⁰ . ^[41]
• De manera más general, si todos los 2 e _i +1 tienen un factor primo en un conjunto finito dado S , entonces el factor primo más pequeño de N debe ser menor que una constante efectivamente computable que dependa únicamente de S . ^[41]
• Si ( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) con t unos y u dos, entonces . ^[42] ${\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$
• ( mi ₁ , ...,  mi _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^[43] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) . ^[44]
• Si e ₁ = ... = e _k = e , entonces
  • e no puede ser 3, ^[45] 5, 24, ^[46] 6, 8, 11, 14 o 18. ^[44]
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$y . ^[47] ${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$

En 1888, Sylvester afirmó: ^[48]

... una meditación prolongada sobre el tema me ha convencido de que la existencia de cualquiera de esos [números perfectos impares] —su escape, por así decirlo, de la compleja red de condiciones que lo encierran por todos lados— sería poco menos que un milagro.

Resultados menores

Todos los números perfectos pares tienen una forma muy precisa; los números perfectos impares no existen o son raros. Hay una serie de resultados sobre los números perfectos que son bastante fáciles de demostrar, pero que, sin embargo, resultan impresionantes; algunos de ellos también se incluyen en la ley fuerte de los números pequeños de Richard Guy :

• El único número par perfecto de la forma n ³  + 1 es 28 (Makowski 1962). ^[49]
• 28 es también el único número par perfecto que es suma de dos cubos positivos de números enteros (Gallardo 2010). ^[50]
• Los recíprocos de los divisores de un número perfecto N deben sumar 2 (para obtenerlo, tome la definición de un número perfecto, , y divida ambos lados por n ): ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$
  • Para 6, tenemos ; ${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2}$
  • Para 28, tenemos , etc. ${\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$
• El número de divisores de un número perfecto (ya sea par o impar) debe ser par, porque N no puede ser un cuadrado perfecto. ^[51]
  • De estos dos resultados se deduce que todo número perfecto es un número armónico de Ore .
• Los números perfectos pares no son números trapezoidales , es decir, no pueden representarse como la diferencia de dos números triangulares positivos no consecutivos . Sólo hay tres tipos de números no trapezoidales: los números perfectos pares, las potencias de dos y los números de la forma formada como el producto de un primo de Fermat por una potencia de dos de manera similar a la construcción de los números perfectos pares a partir de los primos de Mersenne. ^[52] ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ ${\displaystyle 2^{n}+1}$
• El número de números perfectos menores que n es menor que , donde c > 0 es una constante. ^[53] De hecho es , usando la notación o minúscula . ^[54] ${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• Todo número par perfecto termina en 6 o 28, base diez; y, con la única excepción de 6, termina en 1 en base 9. ^{[55] [56]} Por lo tanto, en particular la raíz digital de todo número par perfecto distinto de 6 es 1.
• El único número perfecto libre de cuadrados es el 6. ^[57]

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Altamente abundante

   Superabundante y altamente compuesto

   Colosalmente abundante y superior, altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

La suma de divisores propios da lugar a otros tipos de números. Los números cuya suma es menor que el número mismo se denominan deficientes , y aquellos cuya suma es mayor que el número, abundantes . Estos términos, junto con el propio perfecto , proceden de la numerología griega . Un par de números que son la suma de los divisores propios de cada uno de ellos se denominan amigables , y los ciclos de números mayores se denominan sociables . Un entero positivo tal que cada entero positivo menor es una suma de divisores distintos de él es un número práctico .

Por definición, un número perfecto es un punto fijo de la función divisora ​​restringida s ( n ) = σ ( n ) − n , y la secuencia alícuota asociada con un número perfecto es una secuencia constante. Todos los números perfectos son también números -perfectos o números de Granville . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Un número semiperfecto es un número natural que es igual a la suma de todos o algunos de sus divisores propios. Un número semiperfecto que es igual a la suma de todos sus divisores propios es un número perfecto. La mayoría de los números abundantes también son semiperfectos; los números abundantes que no son semiperfectos se denominan números impares .

Véase también

• Número hiperperfecto
• Grupo de Leinster
• Lista de números primos y perfectos de Mersenne
• Multiplicar numero perfecto
• Números superperfectos
• Número perfecto unitario
• Número divisor armónico

Notas

1. Todos los factores de son congruentes con 1 mod 2 p . Por ejemplo, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 , y tanto 23 como 89 dan un resto de 1 cuando se dividen por 22. Además, siempre que p sea un primo de Sophie Germain —es decir, 2 p + 1 también es primo— y 2 p + 1 sea congruente con 1 o 7 mod 8, entonces 2 p + 1 será un factor de lo cual es el caso para p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEIS : A002515 . ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}-1,}$

Referencias

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5. En Introducción a la aritmética , capítulo 16, dice de los números perfectos: "Hay un método para producirlos, claro e infalible, que no pasa por alto ninguno de los números perfectos ni deja de diferenciar ninguno de los que no lo son, y que se lleva a cabo de la siguiente manera". Luego continúa explicando un procedimiento que es equivalente a encontrar un número triangular basado en un primo de Mersenne.
6. Comentario al Evangelio de Juan 28.1.1–4, con más referencias en la edición de Sources Chrétiennes : vol. 385, 58–61.
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Fuentes

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Lectura adicional

• Nankar, ML: "Historia de los números perfectos", Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Hagis, P. (1973). "Un límite inferior para el conjunto de números primos perfectos impares". Matemáticas de la computación . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530.
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• Riesel, H. Números primos y métodos informáticos para factorización , Birkhauser, 1985.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7.Zbl 1079.11001  .

Enlaces externos

• "Número perfecto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• David Moews: Números perfectos, amigables y sociables
• Números perfectos: historia y teoría
• Weisstein, Eric W. "Número perfecto". MathWorld .
• Secuencia OEIS A000396 (Números perfectos)
• OddPerfect.org Un proyecto de computación distribuida proyectado para buscar números impares perfectos.
• Gran buscador de Internet Mersenne Prime (GIMPS)
• Números perfectos, foro de matemáticas en Drexel.
• Grimes, James. "8128: Números perfectos". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 2013-05-31 . Consultado el 2013-04-02 .