Un número palindrómico (también conocido como palíndromo numeral o palíndromo numérico ) es un número (como 16461) que permanece igual cuando se invierten sus dígitos. En otras palabras, tiene simetría reflexiva a lo largo de un eje vertical. El término palindrómico se deriva de palíndromo , que se refiere a una palabra (como rotor o racecar ) cuya ortografía no cambia cuando se invierten sus letras. Los primeros 30 números palindrómicos (en decimal ) son:
Los números palindrómicos reciben la mayor atención en el ámbito de las matemáticas recreativas . Un problema típico pide números que posean una determinada propiedad y sean palindrómicos. Por ejemplo:
Es obvio que en cualquier base hay infinitos números palindrómicos, ya que en cualquier base la secuencia infinita de números escritos (en esa base) como 101, 1001, 10001, 100001, etc. consiste únicamente en números palindrómicos.
Aunque los números palindrómicos se consideran más a menudo en el sistema decimal , el concepto de palindromicidad se puede aplicar a los números naturales en cualquier sistema de numeración . Consideremos un número n > 0 en base b ≥ 2, donde se escribe en notación estándar con k +1 dígitos a i como:
con, como es habitual, 0 ≤ a i < b para todo i y a k ≠ 0. Entonces n es palindrómico si y solo si a i = a k − i para todo i . El cero se escribe 0 en cualquier base y también es palindrómico por definición.
Todos los números con un dígito son palindrómicos, por lo que en base 10 hay diez números palindrómicos con un dígito:
Hay 9 números palindrómicos con dos dígitos:
Todos los números palindrómicos con un número par de dígitos son divisibles por 11. [1 ]
Hay 90 números palindrómicos con tres dígitos (usando la regla del producto : 9 opciones para el primer dígito, que determina también el tercer dígito, multiplicado por 10 opciones para el segundo dígito):
Existen asimismo 90 números palindrómicos de cuatro dígitos (de nuevo, 9 opciones para el primer dígito multiplicadas por diez opciones para el segundo dígito. Los otros dos dígitos se determinan por la elección de los dos primeros):
Entonces hay 199 números palindrómicos menores que 10 4 .
Existen 1099 números palindrómicos menores que 10 5 y para otros exponentes de 10 n tenemos: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... (secuencia A070199 en la OEIS ). A continuación se enumeran los números palindrómicos que tienen alguna otra propiedad:
Hay muchas potencias perfectas palindrómicas n k , donde n es un número natural y k es 2, 3 o 4.
Los primeros nueve términos de la secuencia 1 2 , 11 2 , 111 2 , 1111 2 , ... forman los palíndromos 1, 121, 12321, 1234321, ... (secuencia A002477 en la OEIS )
El único número no palindrómico conocido cuyo cubo es un palíndromo es 2201, y es una conjetura que la raíz cuarta de todas las cuartas potencias del palíndromo son un palíndromo con 100000...000001 (10 n + 1).
Gustavus Simmons conjeturó que no existen palíndromos de forma n k para k > 4 (y n > 1). [3]
Los números palindrómicos pueden considerarse en sistemas de numeración distintos del decimal . Por ejemplo, los números palindrómicos binarios son aquellos con representaciones binarias:
o en decimal:
Los primos de Fermat y los primos de Mersenne forman un subconjunto de los primos palindrómicos binarios.
Cualquier número es palindrómico en todas las bases con (de manera trivial, porque es entonces un número de un solo dígito), y también en base (porque es entonces ). Incluso excluyendo los casos en los que el número es menor que la base, la mayoría de los números son palindrómicos en más de una base. Por ejemplo, , . Un número nunca es palindrómico en base si . Además, un número primo nunca es palindrómico en base si .
Un número que no es palindrómico en todas las bases b en el rango 2 ≤ b ≤ n − 2 puede llamarse un número estrictamente no palindrómico . Por ejemplo, el número 6 se escribe como "110" en base 2, "20" en base 3 y "12" en base 4, ninguno de los cuales son palíndromos. Todos los números estrictamente no palindrómicos mayores que 6 son primos. De hecho, si es compuesto, entonces o bien para algún , en cuyo caso n es el palíndromo "aa" en base , o bien es un cuadrado perfecto , en cuyo caso n es el palíndromo "121" en base (excepto para el caso especial de ). [4] [5]
Los primeros números estrictamente no palindrómicos (secuencia A016038 en la OEIS ) son:
Si los dígitos de un número natural no solo tienen que invertirse en orden, sino también restarse para obtener nuevamente la secuencia original, entonces se dice que el número es antipalindrómico . Formalmente, en la descomposición habitual de un número natural en sus dígitos en base , un número es antipalindrómico si y solo si . [6]
Los números no palindrómicos se pueden emparejar con los palindrómicos mediante una serie de operaciones. En primer lugar, se invierte el número no palindrómico y el resultado se suma al número original. Si el resultado no es un número palindrómico, se repite el proceso hasta obtener un número palindrómico. Este tipo de número se denomina "palíndromo diferido".
No se sabe si todos los números no palindrómicos pueden emparejarse con números palindrómicos de esta manera. Si bien no se ha demostrado que ningún número esté desemparejado, muchos no parecen estarlo. Por ejemplo, 196 no produce un palíndromo ni siquiera después de 700.000.000 de iteraciones. Cualquier número que nunca se vuelva palindrómico de esta manera se conoce como número de Lychrel .
El 24 de enero de 2017, el número 1.999.291.987.030.606.810 se publicó en OEIS como A281509 y se anunció como "El palíndromo más retrasado conocido más grande". La secuencia de 125 palíndromos más retrasados de 261 pasos que preceden al 1.999.291.987.030.606.810 y que no se informó antes se publicó por separado como A281508.
La suma de los recíprocos de los números palindrómicos es una serie convergente, cuyo valor es aproximadamente 3,37028... (secuencia A118031 en la OEIS ).
Los números de Sherazade son un conjunto de números identificados por Buckminster Fuller en su libro Synergetics . [7] Fuller no da una definición formal para este término, pero a partir de los ejemplos que da, se puede entender que son aquellos números que contienen un factor del primo n #, donde n ≥13 y es el factor primo más grande en el número. Fuller llamó a estos números números de Sherazade porque deben tener un factor de 1001. Sherazade es la narradora de cuentos de Las mil y una noches , que cuenta una nueva historia cada noche para retrasar su ejecución. Dado que n debe ser al menos 13, el primorial debe ser al menos 1·2·3·5·7·11·13, y 7×11×13 = 1001. Fuller también se refiere a las potencias de 1001 como números de Sherazade. El primorial más pequeño que contiene el número de Sherazade es 13# = 30,030.
Fuller señaló que algunos de estos números son palindrómicos por grupos de dígitos. Por ejemplo, 17# = 510,510 muestra una simetría de grupos de tres dígitos. Fuller llamó a estos números Dividendos Integrales Sublimemente Recordables de Scheherazade o números SSRCD. Fuller señala que 1001 elevado a una potencia no solo produce números sublimemente recordables que son palindrómicos en grupos de tres dígitos, sino que también los valores de los grupos son los coeficientes binomiales . Por ejemplo,
Esta secuencia falla en (1001) 13 porque hay un dígito de acarreo que se lleva al grupo de la izquierda en algunos grupos. Fuller sugiere escribir estos derrames en una línea separada. Si se hace esto, utilizando más líneas de derrame según sea necesario, la simetría se conserva indefinidamente hasta cualquier potencia. [8] Muchos otros números de Sherazade muestran simetrías similares cuando se expresan de esta manera. [9]
En 2018, se publicó un artículo que demuestra que cada número entero positivo puede escribirse como la suma de tres números palindrómicos en cualquier sistema numérico con base 5 o mayor. [10]
