Métodos de celosía de Boltzmann

Clase de métodos de dinámica de fluidos computacional.

Los métodos de celosía de Boltzmann (LBM) , originados a partir del método de los autómatas de gas de celosía (LGA) (modelos Hardy- Pomeau -Pazzis y Frisch - Hasslacher - Pomeau ), son una clase de métodos de dinámica de fluidos computacional (CFD) para simulación de fluidos . En lugar de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes directamente, se simula la densidad de un fluido en una red con procesos de flujo y colisión (relajación). ^[1] El método es versátil ^[1] ya que se puede hacer que el fluido modelo imite directamente el comportamiento de un fluido común, como la coexistencia de vapor/líquido, y así se pueden simular sistemas de fluidos como las gotas de líquido. Además, los fluidos en entornos complejos, como medios porosos, se pueden simular directamente, mientras que con límites complejos puede resultar difícil trabajar con otros métodos CFD.

Simulación por computadora en dos dimensiones, utilizando el método Lattice Boltzmann, de una gota que comienza estirada y se relaja hasta su forma circular de equilibrio.

Algoritmo

A diferencia de los métodos CFD que resuelven numéricamente las ecuaciones de conservación de propiedades macroscópicas (es decir, masa, momento y energía), LBM modela el fluido que consta de partículas ficticias, y dichas partículas realizan procesos consecutivos de propagación y colisión sobre una red discreta. Debido a su naturaleza particulada y dinámica local, LBM tiene varias ventajas sobre otros métodos CFD convencionales, especialmente al tratar con límites complejos, incorporar interacciones microscópicas y paralelización del algoritmo. ^{[ cita necesaria ]} Una interpretación diferente de la ecuación reticular de Boltzmann es la de una ecuación de Boltzmann de velocidad discreta . Los métodos numéricos de solución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales dan lugar entonces a un mapa discreto, que puede interpretarse como la propagación y colisión de partículas ficticias.

Esquema de vectores reticulares D2Q9 para 2D Lattice Boltzmann

En un algoritmo, hay pasos de colisión y transmisión. Estos evolucionan la densidad del fluido , para la posición y el tiempo. Como el fluido está en una red, la densidad tiene un número de componentes igual al número de vectores de la red conectados a cada punto de la red. Como ejemplo, aquí se muestran los vectores de red para una red simple utilizada en simulaciones en dos dimensiones. Esta red generalmente se denomina D2Q9, para dos dimensiones y nueve vectores: cuatro vectores a lo largo del norte, este, sur y oeste, más cuatro vectores en las esquinas de un cuadrado unitario, más un vector con ambos componentes cero. Entonces, por ejemplo, el vector , es decir, apunta hacia el sur y, por lo tanto, no tiene ningún componente excepto un componente de . Entonces, uno de los nueve componentes de la densidad total en el punto central de la red, es la parte del fluido en el punto que se mueve hacia el sur, a una velocidad en unidades de red de uno. ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{i},i=0,\ldots ,a}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{4}=(0,-1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle f_{4}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Entonces los pasos que hacen evolucionar el fluido en el tiempo son: ^[1]

El paso de colisión

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)-f_{i}({\vec {x}},t)}{\tau _{f}}}\,\!}$

que es el modelo de Bhatnagar Gross y Krook (BGK) ^[2] para la relajación hasta el equilibrio mediante colisiones entre las moléculas de un fluido. es la densidad de equilibrio a lo largo de la dirección i en la densidad de corriente allí. El modelo supone que el fluido se relaja localmente hasta alcanzar el equilibrio en una escala de tiempo característica . Esta escala de tiempo determina la viscosidad cinemática ; cuanto mayor es, mayor es la viscosidad cinemática. ${\displaystyle f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$

El paso de la transmisión

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)\,\!}$

Como es, por definición, la densidad del fluido en un punto en el tiempo , es decir, que se mueve a una velocidad de por paso de tiempo, entonces en el siguiente paso de tiempo habrá fluido hasta el punto . ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle t+\delta _{t}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}}$

Ventajas

• El LBM fue diseñado desde cero para ejecutarse eficientemente en arquitecturas masivamente paralelas , que van desde FPGA y DSP integrados de bajo costo hasta GPU y clústeres y supercomputadoras heterogéneos (incluso con una red de interconexión lenta). Permite física compleja y algoritmos sofisticados. La eficiencia conduce a un nivel de comprensión cualitativamente nuevo, ya que permite resolver problemas que antes no podían abordarse (o sólo con precisión insuficiente).
• El método parte de una descripción molecular de un fluido y puede incorporar directamente términos físicos derivados del conocimiento de la interacción entre moléculas. Por lo tanto, es un instrumento indispensable en la investigación fundamental, ya que mantiene corto el ciclo entre la elaboración de una teoría y la formulación del modelo numérico correspondiente.
• Preprocesamiento automatizado de datos y generación de celosías en un tiempo que representa una pequeña fracción de la simulación total.
• Análisis, postprocesamiento y evaluación de datos en paralelo.
• Flujo multifásico completamente resuelto con pequeñas gotas y burbujas.
• Flujo completamente resuelto a través de geometrías complejas y medios porosos.
• Flujo complejo y acoplado con transferencia de calor y reacciones químicas.

Limitaciones

A pesar de la creciente popularidad del LBM en la simulación de sistemas de fluidos complejos, este novedoso enfoque tiene algunas limitaciones. En la actualidad, los flujos de alto número de Mach en aerodinámica todavía son difíciles para LBM y no existe un esquema termohidrodinámico consistente. Sin embargo, al igual que con la CFD basada en Navier-Stokes, los métodos LBM se han combinado con éxito con soluciones térmicas específicas para permitir la capacidad de simulación de transferencia de calor (conducción, convección y radiación basadas en sólidos). Para los modelos multifase/multicomponente, el espesor de la interfaz suele ser grande y la relación de densidad a través de la interfaz es pequeña en comparación con los fluidos reales. Recientemente, este problema fue resuelto por Yuan y Schaefer , quienes mejoraron los modelos de Shan y Chen, Swift y He, Chen y Zhang. Pudieron alcanzar proporciones de densidad de 1000:1 simplemente cambiando la ecuación de estado . Se ha propuesto aplicar la transformación galileana para superar la limitación del modelado de flujos de fluidos de alta velocidad. ^[3] Sin embargo, las amplias aplicaciones y los rápidos avances de este método durante los últimos veinte años han demostrado su potencial en la física computacional, incluida la microfluídica : ^{[ cita necesaria ]} LBM demuestra resultados prometedores en el área de flujos de alto número de Knudsen . ^{[ cita necesaria ]}

Desarrollo a partir del método LGA

LBM se originó a partir del método de los autómatas de gas de red (LGA), que puede considerarse como un modelo de dinámica molecular ficticio simplificado en el que el espacio, el tiempo y las velocidades de las partículas son todos discretos. Por ejemplo, en el modelo FHP bidimensional, cada nodo de la red está conectado a sus vecinos mediante 6 velocidades de la red en una red triangular; puede haber 0 o 1 partículas en un nodo de red que se mueve con una velocidad de red determinada. Después de un intervalo de tiempo, cada partícula se moverá hacia el nodo vecino en su dirección; este proceso se llama paso de propagación o transmisión. Cuando más de una partícula llega al mismo nodo desde diferentes direcciones, chocan y cambian sus velocidades de acuerdo con un conjunto de reglas de colisión. Los pasos de transmisión y los pasos de colisión se alternan. Las reglas de colisión adecuadas deberían conservar el número de partículas (masa), el momento y la energía antes y después de la colisión. LGA sufre de varios defectos innatos para su uso en simulaciones hidrodinámicas: falta de invariancia galileana para flujos rápidos, ruido estadístico y escala deficiente del número de Reynolds con el tamaño de la red. Sin embargo, los LGA son muy adecuados para simplificar y ampliar el alcance de los modelos de dinámica molecular y difusión de reacciones .

La principal motivación para la transición de LGA a LBM fue el deseo de eliminar el ruido estadístico reemplazando el número booleano de partículas en una dirección de red con su promedio conjunto, la llamada función de distribución de densidad. Junto con este reemplazo, la regla de colisión discreta también se reemplaza por una función continua conocida como operador de colisión. En el desarrollo de LBM, una simplificación importante es aproximar el operador de colisión con el término de relajación Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Este modelo de celosía BGK (LBGK) hace que las simulaciones sean más eficientes y permite flexibilidad de los coeficientes de transporte. Por otro lado, se ha demostrado que el esquema LBM también puede considerarse como una forma discretizada especial de la ecuación continua de Boltzmann. A partir de la teoría de Chapman-Enskog , se puede recuperar la continuidad gobernante y las ecuaciones de Navier-Stokes del algoritmo LBM.

Retículos y clasificación D n Q m

Los modelos de celosía de Boltzmann se pueden operar en varias redes diferentes, tanto cúbicas como triangulares, y con o sin partículas en reposo en la función de distribución discreta.

Una forma popular de clasificar los diferentes métodos por red es el esquema D n Q m . Aquí "D n " significa " n dimensiones", mientras que "Q m " significa " m velocidades". Por ejemplo, D3Q15 es un modelo de celosía tridimensional de Boltzmann en una cuadrícula cúbica, con partículas en reposo presentes. Cada nodo tiene forma de cristal y puede entregar partículas a 15 nodos: cada uno de los 6 nodos vecinos que comparten una superficie, los 8 nodos vecinos que comparten una esquina y él mismo. ^[4] (El modelo D3Q15 no contiene partículas que se mueven hacia los 12 nodos vecinos que comparten un borde; agregarlas crearía un modelo "D3Q27").

Las cantidades reales como el espacio y el tiempo deben convertirse a unidades de red antes de la simulación. Las cantidades adimensionales, como el número de Reynolds , siguen siendo las mismas.

Conversión de unidades de celosía

En la mayoría de las simulaciones de Lattice Boltzmann es la unidad básica para el espaciamiento de la red, por lo que si el dominio de longitud tiene unidades de red a lo largo de toda su longitud, la unidad espacial se define simplemente como . Las velocidades en las simulaciones reticulares de Boltzmann generalmente se dan en términos de la velocidad del sonido. Por lo tanto, la unidad de tiempo discreta puede expresarse como , donde el denominador es la velocidad física del sonido. ^[5] ${\displaystyle \delta _{x}\,\!}$ ${\displaystyle L\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$ ${\displaystyle \delta _{x}=L/N\,\!}$ ${\displaystyle \delta _{t}={\frac {\delta _{x}}{C_{s}}}\,\!}$ ${\displaystyle C_{s}}$

Para flujos de pequeña escala (como los que se ven en la mecánica de medios porosos ), operar con la verdadera velocidad del sonido puede llevar a pasos de tiempo inaceptablemente cortos. Por lo tanto, es común elevar el número de Mach de la red a algo mucho mayor que el número de Mach real y compensar esto aumentando también la viscosidad para preservar el número de Reynolds . ^[6]

Simulación de mezclas

La simulación de flujos multifase/multicomponente siempre ha sido un desafío para el CFD convencional debido a las interfaces móviles y deformables . Más fundamentalmente, las interfaces entre diferentes fases (líquido y vapor) o componentes (por ejemplo, aceite y agua) se originan a partir de interacciones específicas entre moléculas de fluido. Por lo tanto, es difícil implementar tales interacciones microscópicas en la ecuación macroscópica de Navier-Stokes. Sin embargo, en LBM, la cinética de partículas proporciona una manera relativamente fácil y consistente de incorporar las interacciones microscópicas subyacentes modificando el operador de colisión. Se han desarrollado varios modelos LBM multifase/multicomponente. Aquí las separaciones de fases se generan automáticamente a partir de la dinámica de las partículas y no se necesita ningún tratamiento especial para manipular las interfaces como en los métodos CFD tradicionales. Se pueden encontrar aplicaciones exitosas de modelos LBM multifase/multicomponente en varios sistemas de fluidos complejos, incluida la inestabilidad de la interfaz, la dinámica de burbujas / gotas , la humectación de superficies sólidas, el deslizamiento interfacial y las deformaciones electrohidrodinámicas de las gotas.

Recientemente se ha propuesto un modelo reticular de Boltzmann para la simulación de la combustión de mezclas de gases capaz de acomodar variaciones de densidad significativas en un régimen de número de Mach bajo. ^[7]

A este respecto, vale la pena señalar que, dado que LBM trabaja con un conjunto más grande de campos (en comparación con el CFD convencional), la simulación de mezclas de gases reactivos presenta algunos desafíos adicionales en términos de demanda de memoria en cuanto a mecanismos de combustión grandes y detallados. están preocupados. Sin embargo, esas cuestiones pueden abordarse recurriendo a técnicas sistemáticas de reducción de modelos. ^{[8] [9] [10]}

Método de celosía térmica-Boltzmann

Actualmente (2009), un método de celosía térmica-Boltzmann (TLBM) se divide en una de tres categorías: el enfoque de múltiples velocidades, ^[11] el enfoque escalar pasivo, ^[12] y la distribución de energía térmica. ^[13]

Derivación de la ecuación de Navier-Stokes a partir de LBE discreto

Comenzando con la ecuación de Boltzmann de red discreta (también conocida como ecuación LBGK debido al operador de colisión utilizado). Primero hacemos una expansión en serie de Taylor de segundo orden sobre el lado izquierdo del LBE. Esto se elige en lugar de una expansión de Taylor de primer orden más simple, ya que el LBE discreto no se puede recuperar. Al realizar la expansión de la serie de Taylor de segundo orden, el término de la derivada cero y el primer término de la derecha se cancelarán, dejando solo los términos de la derivada primera y segunda de la expansión de Taylor y el operador de colisión:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {\delta _{t}}{\tau _{f}}}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Para simplificar, escriba como . La expansión de la serie de Taylor ligeramente simplificada es la siguiente, donde ":" es el producto de dos puntos entre díadas: ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla f_{i}+\left({\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial t^{2}}}\right)={\frac {1}{\tau }}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Al expandir la función de distribución de partículas en componentes de equilibrio y no equilibrio y usar la expansión de Chapman-Enskog, donde está el número de Knudsen, el LBE expandido por Taylor se puede descomponer en diferentes magnitudes de orden para el número de Knudsen con el fin de obtener la función de distribución adecuada. ecuaciones continuas: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f_{i}=f_{i}^{\text{eq}}+Kf_{i}^{\text{neq}},}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{neq}}=f_{i}^{(1)}+Kf_{i}^{(2)}+O(K^{2}).}$

Las distribuciones de equilibrio y no equilibrio satisfacen las siguientes relaciones con sus variables macroscópicas (éstas se usarán más adelante, una vez que las distribuciones de partículas estén en la "forma correcta" para escalar desde el nivel de partículas al nivel macroscópico):

${\displaystyle \rho =\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}}{\vec {e}}_{i},}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k)}\qquad {\text{for }}k=1,2,}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k)}{\vec {e}}_{i}.}$

La expansión de Chapman-Enskog es entonces:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=K{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}+K^{2}{\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\qquad {\text{for }}t_{2}({\text{diffusive time-scale}})\ll t_{1}({\text{convective time-scale}}),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}=K{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}.}$

Al sustituir el equilibrio expandido y el no equilibrio en la expansión de Taylor y separarlos en diferentes órdenes de , las ecuaciones del continuo casi se derivan. ${\displaystyle K}$

Para ordenar : ${\displaystyle K^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_{i}^{\text{eq}}=-{\frac {f_{i}^{(1)}}{\tau }}.}$

Para ordenar : ${\displaystyle K^{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla f_{i}^{(1)}+{\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}^{\text{eq}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}^{2}}}=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

Luego, la segunda ecuación se puede simplificar con algo de álgebra y la primera ecuación a lo siguiente:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\left[{\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_{i}^{(1)}\right]=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

Aplicando las relaciones entre las funciones de distribución de partículas y las propiedades macroscópicas vistas arriba, se logran las ecuaciones de masa y momento:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho {\vec {u}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho {\vec {u}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \Pi =0.}$

Entonces, el tensor de flujo de momento tiene la siguiente forma: ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \Pi _{xy}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}\left[f_{i}^{eq}+\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)f_{i}^{(1)}\right],}$

donde es una abreviatura del cuadrado de la suma de todos los componentes de (es decir ), y la distribución de partículas en equilibrio de segundo orden para ser comparable a la ecuación de Navier-Stokes es: ${\displaystyle {\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \left(\sum _{x}{\vec {e}}_{ix}\right)^{2}=\sum _{x}\sum _{y}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c_{s}^{2}}}+{\frac {({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c_{s}^{4}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2c_{s}^{2}}}\right).}$

La distribución de equilibrio sólo es válida para velocidades pequeñas o números de Mach pequeños . Insertar la distribución de equilibrio nuevamente en el tensor de flujo conduce a:

${\displaystyle \Pi _{xy}^{(0)}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{eq}=p\delta _{xy}+\rho u_{x}u_{y},}$

${\displaystyle \Pi _{xy}^{(1)}=\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{(1)}=\nu \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

Finalmente, se recupera la ecuación de Navier-Stokes bajo el supuesto de que la variación de densidad es pequeña:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {u}}_{x}}{\partial t}}+\nabla _{y}\cdot {\vec {u}}_{x}{\vec {u}}_{y}\right)=-\nabla _{x}p+\nu \nabla _{y}\cdot \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

Esta derivación sigue el trabajo de Chen y Doolen. ^[14]

Ecuaciones matemáticas para simulaciones.

La ecuación continua de Boltzmann es una ecuación de evolución para una función de distribución de probabilidad de una sola partícula y la función de distribución de densidad de energía interna (He et al.) son cada una respectivamente: ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$ ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle \partial _{t}f+({\vec {e}}\cdot \nabla )f+F\partial _{v}f=\Omega (f),}$

${\displaystyle \partial _{t}g+({\vec {e}}\cdot \nabla )g+G\partial _{v}f=\Omega (g),}$

donde está relacionado con por ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)={\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2}}f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t),}$

${\displaystyle F}$es una fuerza externa, es una integral de colisión y (también denominada en la literatura) es la velocidad microscópica. La fuerza externa está relacionada con la temperatura y la fuerza externa mediante la siguiente relación. Una prueba típica para nuestro modelo es la convección de Rayleigh-Bénard para . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\vec {e}}}$ ${\displaystyle {\vec {\xi }}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle F={\frac {{\vec {G}}\cdot ({\vec {e}}-{\vec {u}})}{RT}}f^{\text{eq}},}$

${\displaystyle {\vec {G}}=\beta g_{0}(T-T_{avg}){\vec {k}}.}$

Las variables macroscópicas como la densidad , la velocidad y la temperatura se pueden calcular como los momentos de la función de distribución de densidad: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \rho =\int f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\int {\vec {e}}f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle {\frac {\rho DRT}{2}}=\rho \epsilon =\int g\,d{\vec {e}}.}$

El método reticular de Boltzmann discretiza esta ecuación limitando el espacio a una red y el espacio de velocidades a un conjunto discreto de velocidades microscópicas (es decir ). Las velocidades microscópicas en D2Q9, D3Q15 y D3Q19, por ejemplo, se dan como: ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=({\vec {e}}_{ix},{\vec {e}}_{iy})}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0)&i=0\\(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)&i=1,2,3,4\\(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)&i=5,6,7,8\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,13,14\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,0),(\pm 1,0,\pm 1),(0,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

La ecuación de Boltzmann discretizada monofásica para densidad de masa y densidad de energía interna es:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-f_{i}({\vec {x}},t)+F_{i}=\Omega (f),}$

${\displaystyle g_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-g_{i}({\vec {x}},t)+G_{i}=\Omega (g).}$

El operador de colisión suele ser aproximado por un operador de colisión BGK con la condición de que también satisfaga las leyes de conservación:

${\displaystyle \Omega (f)={\frac {1}{\tau _{f}}}(f_{i}^{\text{eq}}-f_{i}),}$

${\displaystyle \Omega (g)={\frac {1}{\tau _{g}}}(g_{i}^{\text{eq}}-g_{i}).}$

En el operador de colisión está la función de distribución de probabilidad de partículas discreta en equilibrio ^{[ aclarar ]} . En D2Q9 y D3Q19, se muestra a continuación para un flujo incompresible en forma continua y discreta donde D , R y T son la dimensión, la constante universal de los gases y la temperatura absoluta, respectivamente. La derivación parcial para la forma continua a discreta se proporciona mediante una derivación simple con precisión de segundo orden. ${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}}$

${\displaystyle f^{\text{eq}}={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT}}}e^{{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT}}}\left(1+{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}+{\frac {({\vec {e}}{\vec {u}})^{2}}{2(RT)^{2}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}}+...\right)}$

Dejar produce el resultado final: ${\displaystyle c={\sqrt {3RT}}}$

${\displaystyle f_{i}^{eq}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {3{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c^{2}}}+{\frac {9({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c^{4}}}-{\frac {3({\vec {u}})^{2}}{2c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle g^{eq}={\frac {\rho ({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle \omega _{i}={\begin{cases}4/9&i=0\\1/9&i=1,2,3,4\\1/36&i=5,6,7,8\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \omega _{i}={\begin{cases}1/3&i=0\\1/18&i=1,2,...,5,6\\1/36&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

Como ya se ha trabajado mucho en un flujo de un solo componente, se analizará el siguiente TLBM. El TLBM multicomponente/multifásico también es más intrigante y útil que un simple componente. Para estar en línea con la investigación actual, definir el conjunto de todos los componentes del sistema (es decir, paredes de medios porosos, múltiples fluidos/gases, etc.) con elementos . ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \sigma _{j}}$

${\displaystyle f_{i}^{\sigma }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-f_{i}^{\sigma }({\vec {x}},t)+F_{i}={\frac {1}{\tau _{f}^{\sigma }}}(f_{i}^{\sigma ,eq}(\rho ^{\sigma },v^{\sigma })-f_{i}^{\sigma })}$

El parámetro de relajación, , está relacionado con la viscosidad cinemática , , mediante la siguiente relación: ${\displaystyle \tau _{f}^{\sigma _{j}}\,\!}$ ${\displaystyle \nu _{f}^{\sigma _{j}}\,\!}$

${\displaystyle \nu _{f}^{\sigma _{j}}=(\tau _{f}^{\sigma _{j}}-0.5)c_{s}^{2}\delta _{t}.}$

Los momentos del dan las cantidades conservadas locales. La densidad está dada por ${\displaystyle f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho =\sum _{\sigma }\sum _{i}f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho \epsilon =\sum _{i}g_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho ^{\sigma }=\sum _{i}f_{i}^{\sigma }\,\!}$

y la velocidad promedio ponderada, y el momento local están dados por ${\displaystyle {\vec {u'}}\,\!}$

${\displaystyle {\vec {u'}}=\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }{\vec {u^{\sigma }}}}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)/\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)}$

${\displaystyle \rho ^{\sigma }{\vec {u^{\sigma }}}=\sum _{i}f_{i}^{\sigma }{\vec {e}}_{i}.}$

${\displaystyle v^{\sigma }={\vec {u'}}+{\frac {\tau _{f}^{\sigma }}{\rho ^{\sigma }}}{\vec {F}}^{\sigma }}$

En la ecuación anterior para la velocidad de equilibrio , el término es la fuerza de interacción entre un componente y los otros componentes. Todavía es objeto de mucha discusión, ya que normalmente es un parámetro de ajuste que determina cómo interactúan fluido-fluido, fluido-gas, etc. Frank y col. enumere los modelos actuales para este término de fuerza. Las derivaciones comúnmente utilizadas son el modelo cromodinámico de Gunstensen, el enfoque basado en energía libre de Swift para sistemas líquido/vapor y fluidos binarios, el modelo basado en interacción intermolecular de He, el enfoque de Inamuro y el enfoque de Lee y Lin. ^[15] ${\displaystyle v^{\sigma }\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }\,\!}$

La siguiente es la descripción general dada por varios autores. ^{[16] [17]} ${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }\,\!}$

${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }=-\psi ^{\sigma }({\vec {x}})\sum _{\sigma _{j}}H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')\sum _{i}\psi ^{\sigma _{j}}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}){\vec {e}}_{i}\,\!}$

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})\,\!}$es la masa efectiva y es la función de Green que representa la interacción entre partículas con el sitio vecino. Satisfactorio y donde representa fuerzas repulsivas. Para D2Q9 y D3Q19, esto lleva a ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {x}}'\,\!}$ ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')=H({\vec {x}}',{\vec {x}})\,\!}$ ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')>0\,\!}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|\leq c\\0&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|>c\\\end{cases}}}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|=c\\h^{\sigma \sigma _{j}}/2&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|={\sqrt {2c}}\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

La masa efectiva propuesta por Shan y Chen utiliza la siguiente masa efectiva para un sistema multifásico de un solo componente . La ecuación de estado también se da bajo la condición de un solo componente y multifásico.

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})=\psi (\rho ^{\sigma })=\rho _{0}^{\sigma }\left[1-e^{(-\rho ^{\sigma }/\rho _{0}^{\sigma })}\right]\,\!}$

${\displaystyle p=c_{s}^{2}\rho +c_{0}h[\psi ({\vec {x}})]^{2}\,\!}$

Hasta ahora, parece que y son constantes libres de sintonizar, pero una vez conectadas a la ecuación de estado del sistema (EOS), deben satisfacer las relaciones termodinámicas en el punto crítico tales que y . Para EOS, es 3.0 para D2Q9 y D3Q19, mientras que equivale a 10.0 para D3Q15. ^[18] ${\displaystyle \rho _{0}^{\sigma }\,\!}$ ${\displaystyle h^{\sigma \sigma _{j}}\,\!}$ ${\displaystyle (\partial P/\partial {\rho })_{T}=(\partial ^{2}P/\partial {\rho ^{2}})_{T}=0\,\!}$ ${\displaystyle p=p_{c}\,\!}$ ${\displaystyle c_{0}\,\!}$

^{Posteriormente, Yuan y Schaefer [19]} demostraron que es necesario cambiar la densidad de masa efectiva para simular el flujo multifásico con mayor precisión. Compararon Shan y Chen (SC), Carnahan-Starling (C–S), van der Waals (vdW), Redlich–Kwong (R–K), Redlich–Kwong Soave (RKS) y Peng–Robinson (P– R) EOS. Sus resultados revelaron que SC EOS era insuficiente y que C–S, P–R, R–K y RKS EOS son más precisos al modelar el flujo multifásico de un solo componente.

Para los populares métodos isotérmicos Lattice Boltzmann, estas son las únicas cantidades conservadas. Los modelos térmicos también conservan energía y por tanto tienen una cantidad conservada adicional:

${\displaystyle \rho \theta +\rho uu=\sum _{i}f_{i}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}.}$

Aplicaciones

Durante los últimos años, el LBM ha demostrado ser una poderosa herramienta para resolver problemas en diferentes longitudes y escalas de tiempo. Algunas de las aplicaciones de LBM incluyen:

• Flujos de medios porosos ^[20]
• Flujos biomédicos
• Ciencias de la Tierra (Filtración de suelos).
• Ciencias de la Energía (Pilas de Combustible ^[21] ).

enlaces externos

• Método LBM
• Método de Boltzmann de celosía entrópica (ELBM)
• dsfd.org: sitio web de la serie de conferencias anuales DSFD (1986 - ahora) donde se discuten los avances en la teoría y la aplicación del método reticular de Boltzmann.
• Sitio web de la conferencia anual ICMMES sobre métodos de celosía de Boltzmann y sus aplicaciones

Otras lecturas

• Deutsch, Andreas; Sabine Dormann (2004). Modelado de autómatas celulares de la formación de patrones biológicos . Birkhäuser Verlag . ISBN 978-0-8176-4281-5.
• Succi, Sauro (2001). La ecuación de celosía de Boltzmann para la dinámica de fluidos y más allá . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-850398-9.
• Wolf-Gladrow, Dieter (2000). Autómatas celulares de celosía-gas y modelos de celosía de Boltzmann . Springer Verlag . ISBN 978-3-540-66973-9.
• Sukop, Michael C.; Daniel T. Thorne, hijo (2007). Modelado Lattice Boltzmann: una introducción para geocientíficos e ingenieros . Saltador . ISBN 978-3-540-27981-5.
• Jian Guo Zhou (2004). "Métodos de celosía de Boltzmann para flujos de aguas poco profundas" . Saltador . ISBN 978-3-540-40746-1.
• Él, X., Chen, S., Doolen, G. (1998). "Un nuevo modelo térmico para el método Lattice Boltzmann en límite incompresible" . Prensa académica .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Guo, ZL; Shu, C (2013). Método Lattice Boltzmann y sus aplicaciones en ingeniería . Publicaciones científicas mundiales .
• Huang, H.; MC Sukop; XY. Lu (2015). Métodos de Boltzmann de celosía multifásica: teoría y aplicación . Wiley-Blackwell . ISBN 978-1-118-97133-8.
• Krüger, T.; Kusumaatmaja, H.; Kuzmín, A.; Shardt, O.; Silva, G.; Viggen, EM (2017). El método Lattice Boltzmann: principios y práctica . Springer Verlag . ISBN 978-3-319-44647-9.

Notas

1. Chen, Shiyi; Doolen, Gary D. (1998). "Método Lattice Boltzmann para flujos de fluidos". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 30 (1): 329–364. Código Bib : 1998AnRFM..30..329C. doi :10.1146/annurev.fluid.30.1.329. ISSN  0066-4189.
2. Bhatnagar, PL; Bruto, EP; Krook, M. (1 de mayo de 1954). "Un modelo para procesos de colisión en gases. I. Procesos de pequeña amplitud en sistemas monocomponente cargados y neutros". Revisión física . 94 (3): 511–525. Código bibliográfico : 1954PhRv...94..511B. doi : 10.1103/PhysRev.94.511. ISSN  0031-899X.
3. Amir H. Hedjripour, David P. Callaghan y Tom E. Baldock, Transformación generalizada del método de celosía de Boltzmann para flujos de aguas poco profundas, https://doi.org/10.1080/00221686.2016.1168881
4. Succi, pág. 68
5. Succi, Apéndice D (págs. 261-262)
6. Succi, capítulo 8.3, p. 117-119
7. Di Rienzo, A. Fabio; Asinari, Pietro; Chiavazzo, Eliodoro; Prasianakis, Nikolaos; Mantzaras, Juan (2012). "Modelo de celosía de Boltzmann para simulaciones de flujo reactivo" (PDF) . EPL . 98 (3): 34001. Código bibliográfico : 2012EL.....9834001D. doi :10.1209/0295-5075/98/34001. S2CID  121908046.
8. Chiavazzo, Eliodoro; Karlin, Ilya; Gorban, Alejandro; Boulouchos, Konstantinos (2010). "Acoplamiento de la técnica de reducción de modelos con el método Lattice Boltzmann para simulaciones de combustión". Combustión. Fuego . 157 (10): 1833–1849. doi : 10.1016/j.combustflame.2010.06.009.
9. Chiavazzo, Eliodoro; Karlin, Ilya; Gorban, Alejandro; Boulouchos, Konstantinos (2012). "Simulaciones eficientes de campos de combustión detallados mediante el método Lattice Boltzmann". Revista internacional de métodos numéricos para flujo de fluidos y calor . 21 (5): 494–517. doi :10.1108/09615531111135792. S2CID  122060895.
10. Chiavazzo, Eliodoro; Karlin, Ilya; Gorban, Alejandro; Boulouchos, Konstantinos (2009). "Simulación de combustión mediante Lattice Boltzmann y cinética química reducida". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2009 (6): P06013. Código Bib : 2009JSMTE..06..013C. doi :10.1088/1742-5468/2009/06/P06013. S2CID  6459762.
11. McNamara, G., García, A. y Alder, B., "Un modelo de Boltzmann de red térmica hidrodinámicamente correcto", Journal of Statistical Physics, vol. 87, núm. 5, págs. 1111-1121, 1997.
12. Shan, X., "Simulación de la convección de Rayleigh-b'enard utilizando un método de celosía de Boltzmann", Physical Review E, vol. 55, págs. 2780-2788, Sociedad Estadounidense de Física, 1997.
13. He, X., Chen, S. y Doolen, GD, "Un nuevo modelo térmico para el método de celosía de Boltzmann en límite incompresible", Journal of Computational Physics, vol. 146, págs. 282-300, 1998.
14. Chen, S. y Doolen, GD, "Método Lattice Boltzmann para flujos de fluidos Archivado el 25 de febrero de 2019 en la Wayback Machine ", Revisión anual de mecánica de fluidos, vol. 30, pág. 329–364, 1998.
15. Frank, X., Almeida, G., Perre, P., "Flujo multifásico en el sistema vascular de la madera: desde la exploración microscópica hasta los experimentos de celosía tridimensional de Boltzmann", Revista internacional de flujo multifásico, vol. 36, págs. 599-607, 2010.
16. Yuan, P., Schaefer, L. , "Ecuaciones de estado en un modelo de celosía de Boltzmann", Física de fluidos, vol. 18, 2006.
17. Harting, J., Chin, J., Venturoli, M., Coveney, P., "Simulaciones de Lattice Boltzmann a gran escala de fluidos complejos: avances gracias a la llegada de las redes computacionales", Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. . 363, págs. 1895-1915 2005.
18. Yuan, P., Schaefer, L. , "Un modelo de flujo bifásico de Boltzmann de celosía térmica y su aplicación a problemas de transferencia de calor-Parte 1. Fundamentos teóricos", Journal of Fluid Engineering 142-150, vol. 128, 2006.
19. Yuan, P.; Schaefer, L. (2006). "Ecuaciones de estado en un modelo de celosía de Boltzmann". Física de Fluidos . 18 (4): 042101–042101–11. Código bibliográfico : 2006PhFl...18d2101Y. doi :10.1063/1.2187070.
20. Fu, Jinlong; Dong, Jiabin; Wang, Yongliang; Ju, Yang; Owen, D. Roger J.; Li, Chenfeng (abril de 2020). "Efecto de resolución: un modelo de corrección de errores para la permeabilidad intrínseca de medios porosos estimado a partir del método Lattice Boltzmann". Transporte en Medios Porosos . 132 (3): 627–656. doi :10.1007/s11242-020-01406-z. S2CID  214648297.
21. Espinoza, Mayken (2015). "Efectos de la compresión sobre la porosidad, la tortuosidad de la fase gaseosa y la permeabilidad del gas en una capa de difusión de gas PEM simulada". Revista Internacional de Investigación Energética . 39 (11): 1528-1536. doi : 10.1002/er.3348 . S2CID  93173199.