En el campo matemático de la teoría de nudos , un invariante de nudo es una cantidad (en sentido amplio) definida para cada nudo que es la misma para nudos equivalentes . La equivalencia a menudo se da por isotopía ambiental , pero puede darse por homeomorfismo . [1] Algunos invariantes son de hecho números (algebraicos [2] ), pero los invariantes pueden variar desde los simples, como una respuesta sí/no, hasta aquellos tan complejos como una teoría de homología (por ejemplo, "un invariante de nudo es una regla que asigna a cualquier nudo K una cantidad φ( K ) tal que si K y K' son equivalentes entonces φ( K ) = φ( K' ) ". [3] ). La investigación sobre invariantes no solo está motivada por el problema básico de distinguir un nudo de otro, sino también para comprender las propiedades fundamentales de los nudos y sus relaciones con otras ramas de las matemáticas. Los invariantes de nudos se utilizan, por lo tanto, en la clasificación de nudos, [3] [4] tanto en la "enumeración" como en la "eliminación de duplicaciones". [2]
Un invariante de nudos es una cantidad definida en el conjunto de todos los nudos, que toma el mismo valor para dos nudos equivalentes cualesquiera. Por ejemplo, un grupo de nudos es un invariante de nudos. [5]
Por lo general, un invariante de nudo es una cantidad combinatoria definida en diagramas de nudos. Por lo tanto, si dos diagramas de nudos difieren con respecto a algún invariante de nudo, deben representar nudos diferentes. Sin embargo, como suele suceder con los invariantes topológicos, si dos diagramas de nudos comparten los mismos valores con respecto a un invariante de nudo [único], entonces no podemos concluir que los nudos sean iguales. [6]
Desde la perspectiva moderna, es natural definir un invariante de nudo a partir de un diagrama de nudos . Por supuesto, debe permanecer invariable (es decir, invariante) ante los movimientos de Reidemeister ("movimientos triangulares" [4] ). La tricolorabilidad (y la n -colorabilidad) es un ejemplo particularmente simple y común. Otros ejemplos son los polinomios de nudo , como el polinomio de Jones , que actualmente se encuentran entre los invariantes más útiles para distinguir nudos entre sí, aunque actualmente no se sabe si existe un polinomio de nudo que distinga a todos los nudos entre sí. [7] [8] [9] Sin embargo, existen invariantes que distinguen el nudo no determinado de todos los demás nudos, como la homología de Khovanov y la homología de Floer del nudo .
Se pueden definir otros invariantes considerando alguna función de valor entero de los diagramas de nudos y tomando su valor mínimo sobre todos los diagramas posibles de un nudo dado. Esta categoría incluye el número de cruces , que es el número mínimo de cruces para cualquier diagrama del nudo, y el número de puentes , que es el número mínimo de puentes para cualquier diagrama del nudo.
Históricamente, muchos de los primeros invariantes de nudos no se definen seleccionando primero un diagrama, sino que se definen intrínsecamente, lo que puede hacer que el cálculo de algunos de estos invariantes sea un desafío. Por ejemplo, el género de nudos es particularmente complicado de calcular, pero puede ser eficaz (por ejemplo, para distinguir mutantes ).
El complemento de un nudo en sí mismo (como un espacio topológico ) se conoce como un "invariante completo" del nudo por el teorema de Gordon-Luecke en el sentido de que distingue el nudo dado de todos los demás nudos hasta la isotopía ambiental y la imagen especular . Algunos invariantes asociados con el complemento del nudo incluyen el grupo de nudos que es simplemente el grupo fundamental del complemento. El quandle del nudo también es un invariante completo en este sentido, pero es difícil determinar si dos quandles son isomorfos. El subgrupo periférico también puede funcionar como un invariante completo. [10]
Según la rigidez de Mostow-Prasad , la estructura hiperbólica en el complemento de un enlace hiperbólico es única, lo que significa que el volumen hiperbólico es un invariante para estos nudos y enlaces. El volumen y otros invariantes hiperbólicos han demostrado ser muy eficaces y se han utilizado en algunos de los extensos esfuerzos de tabulación de nudos .
En los últimos años, ha habido mucho interés en los invariantes homológicos de los nudos que categorizan invariantes bien conocidos. La homología de Heegaard Floer es una teoría de homología cuya característica de Euler es el polinomio de Alexander del nudo. Se ha demostrado que es eficaz para deducir nuevos resultados sobre los invariantes clásicos. En una línea de estudio diferente, existe una teoría de cohomología de nudos definida combinatoriamente llamada homología de Khovanov cuya característica de Euler es el polinomio de Jones . Esto ha demostrado recientemente ser útil para obtener límites en géneros de rebanadas cuyas pruebas anteriores requerían la teoría de calibre . Desde entonces, Mikhail Khovanov y Lev Rozansky han definido varias otras teorías de cohomología relacionadas cuyas características de Euler recuperan otros invariantes clásicos. Catharina Stroppel dio una interpretación teórica de la representación de la homología de Khovanov al categorizar los invariantes de grupos cuánticos.
También existe un creciente interés, tanto por parte de los teóricos de nudos como de los científicos, por comprender las propiedades "físicas" o geométricas de los nudos y relacionarlas con los invariantes topológicos y el tipo de nudo. Un antiguo resultado en esta dirección es el teorema de Fáry-Milnor, que establece que si la curvatura total de un nudo K en satisface
donde κ ( p ) es la curvatura en p , entonces K es un nudo no anudado. Por lo tanto, para curvas anudadas,
Un ejemplo de un invariante "físico" es ropelength , que es la longitud de cuerda de diámetro unitario necesaria para realizar un tipo de nudo particular.
