Invariantes de Seiberg-Witten

Invariantes de 4 variedades

En matemáticas, y especialmente en teoría de gauge , los invariantes de Seiberg-Witten son invariantes de 4-variedades orientadas suaves y compactas introducidas por Edward Witten  (1994), utilizando la teoría de Seiberg-Witten estudiada por Nathan Seiberg y Witten  (1994a, 1994b) durante sus investigaciones de la teoría de gauge de Seiberg-Witten .

Los invariantes de Seiberg-Witten son similares a los invariantes de Donaldson y se pueden utilizar para demostrar resultados similares (pero a veces ligeramente más sólidos) sobre 4-variedades suaves. Técnicamente, es mucho más fácil trabajar con ellos que con los invariantes de Donaldson; por ejemplo, los espacios de módulos de las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten tienden a ser compactos, por lo que se evitan los problemas difíciles que implica compactar los espacios de módulos en la teoría de Donaldson.

Para descripciones detalladas de los invariantes de Seiberg-Witten, véase (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Nicolaescu 2000), (Scorpan 2005, Capítulo 10). Para la relación con las variedades simplécticas y los invariantes de Gromov-Witten, véase (Taubes 2000). Para la historia temprana, véase (Jackson 1995).

Girardo-estructuras

El grupo Spin ^c (en dimensión 4) es

${\displaystyle (U(1)\times \mathrm {Spin} (4))/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ).}$

donde actúa como signo en ambos factores. El grupo tiene un homomorfismo natural con SO(4) = Spin(4)/±1 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Dada una variedad compacta orientada 4, elija una métrica riemanniana suave con conexión de Levi Civita . Esto reduce el grupo de estructura del componente conectado GL(4) ₊ a SO(4) y es inofensivo desde un punto de vista homotópico. Una estructura de espín ^c o una estructura de espín compleja en M es una reducción del grupo de estructura a espín ^c , es decir, una elevación de la estructura SO(4) en el fibrado tangente al grupo espín ^c . Por un teorema de Hirzebruch y Hopf , toda variedad compacta orientada suave admite una estructura de espín ^c . ^[1] La existencia de una estructura de espín ^c es equivalente a la existencia de una elevación de la segunda clase de Stiefel–Whitney a una clase. A la inversa, dicha elevación determina la estructura de espín ^c hasta 2 torsión en Una estructura de espín propiamente dicha requiere la más restrictiva ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla ^{g}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle w_{2}(M)=0.}$

Una estructura de Spin ^c determina (y es determinada por) un fibrado espinoral que proviene de la representación espinoral positiva y negativa bidimensional compleja de Spin(4) sobre la que U(1) actúa por multiplicación. Tenemos . El fibrado espinoral viene con una representación de fibrado del álgebra de Clifford graduada, es decir, una función tal que para cada forma 1 tenemos y . Hay una métrica hermítica única en st que es hermítica sesgada para formas 1 reales . Da una acción inducida de las formas por antisimetrización. En particular, esto da un isomorfismo de de las dos formas autoduales con los endomorfismos hermíticos sesgados sin traza de los cuales luego se identifican. ${\displaystyle W=W^{+}\oplus W^{-}}$ ${\displaystyle K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \gamma :\mathrm {Cliff} (M,g)\to {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}(W)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma (a):W^{\pm }\to W^{\mp }}$ ${\displaystyle \gamma (a)^{2}=-g(a,a)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \gamma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}M}$ ${\displaystyle \wedge ^{+}M\cong {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}_{0}^{sh}(W^{+})}$ ${\displaystyle W^{+}}$

Ecuaciones de Seiberg-Witten

Sea el fibrado de líneas determinante con . Para cada conexión con en , existe una única conexión de espinor en es decir, una conexión tal que para cada 1-forma y cuerpo vectorial . La conexión de Clifford define entonces un operador de Dirac en . El grupo de aplicaciones actúa como un grupo de calibración en el conjunto de todas las conexiones en . La acción de puede ser "fijada en calibración", por ejemplo, por la condición , dejando una parametrización efectiva del espacio de todas esas conexiones de con una acción de grupo de calibración residual . ${\displaystyle L=\det(W^{+})\equiv \det(W^{-})}$ ${\displaystyle c_{1}(L)=K}$ ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle A\in iA_{\mathbb {R} }^{1}(M)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \nabla ^{A}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{A}=\gamma \otimes 1\circ \nabla ^{A}=\gamma (dx^{\mu })\nabla _{\mu }^{A}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{u:M\to U(1)\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle d^{*}A=0}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )^{\mathrm {harm} }/H^{1}(M,\mathbb {Z} )\oplus d^{*}A_{\mathbb {R} }^{+}(M)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Escriba para un campo de espinores de quiralidad positiva, es decir, una sección de . Las ecuaciones de Seiberg-Witten para son ahora ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$

${\displaystyle D^{A}\phi =0}$

${\displaystyle F_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega }$

Aquí está la forma 2-curvada cerrada de , es su parte autodual, y σ es la función de cuadratura de a un endomorfismo hermítico sin traza de identificado con una forma 2-curvada autodual imaginaria, y es una forma 2-curvada autodual real, que a menudo se toma como cero o armónica. El grupo de calibración actúa sobre el espacio de soluciones. Después de añadir la condición de fijación de calibración, el residuo U(1) actúa libremente, excepto para las "soluciones reducibles" con . Por razones técnicas, las ecuaciones están de hecho definidas en espacios de Sobolev adecuados de regularidad suficientemente alta. ${\displaystyle F^{A}\in iA_{\mathbb {R} }^{2}(M)}$ ${\displaystyle \nabla ^{A}}$ ${\displaystyle F_{A}^{+}}$ ${\displaystyle \phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{W^{+}}\right)}$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle d^{*}A=0}$ ${\displaystyle \phi =0}$

Una aplicación de la fórmula de Weitzenböck

${\displaystyle {\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi =(D^{A})^{2}\phi -({\tfrac {1}{2}}\gamma (F_{A}^{+})+s)\phi }$

y la identidad

${\displaystyle \Delta _{g}|\phi |_{h}^{2}=2h({\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi ,\phi )-2|\nabla ^{A}\phi |_{g\otimes h}}$

A las soluciones de las ecuaciones se les da una igualdad

${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}+|\nabla ^{A}\phi |^{2}+{\tfrac {1}{4}}|\phi |^{4}=(-s)|\phi |^{2}-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\gamma (\omega )\phi )}$.

Si es máxima , esto demuestra que para cualquier solución, la norma sup está limitada a priori y el límite depende únicamente de la curvatura escalar de y de la forma dual propia . Después de añadir la condición de fijación de norma, la regularidad elíptica de la ecuación de Dirac demuestra que las soluciones están, de hecho, limitadas a priori en normas de Sobolev de regularidad arbitraria, lo que demuestra que todas las soluciones son suaves y que el espacio de todas las soluciones hasta la equivalencia de norma es compacto. ${\displaystyle |\phi |^{2}}$ ${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle \|\phi \|_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \omega }$

Las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten se denominan monopolos , ya que estas ecuaciones son las ecuaciones de campo de los monopolos magnéticos sin masa en la variedad . ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$ ${\displaystyle M}$

El espacio de módulos de soluciones

El espacio de soluciones es actuado por el grupo gauge, y el cociente por esta acción se llama espacio de módulos de monopolos.

El espacio de módulos suele ser una variedad. Para métricas genéricas, después de la fijación de calibre, las ecuaciones cortan el espacio de solución transversalmente y, por lo tanto, definen una variedad uniforme. El grupo de calibre "fijo de calibre" residual U(1) U(1) actúa libremente excepto en monopolos reducibles, es decir, soluciones con . Según el teorema del índice de Atiyah-Singer, el espacio de módulos es de dimensión finita y tiene "dimensión virtual". ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle (K^{2}-2\chi _{\mathrm {top} }(M)-3\operatorname {sign} (M))/4}$

que para las métricas genéricas es la dimensión real alejada de los reducibles. Significa que el espacio de módulos está genéricamente vacío si la dimensión virtual es negativa.

Para una forma autodual 2 , las soluciones reducibles tienen , y por lo tanto están determinadas por conexiones en tales que para alguna forma anti autodual 2 . Por la descomposición de Hodge , dado que es cerrada, la única obstrucción para resolver esta ecuación para y dadas , es la parte armónica de y , y la parte armónica, o equivalentemente, la clase de cohomología (de Rham) de la forma de curvatura es decir . Por lo tanto, dado que la condición necesaria y suficiente para una solución reducible es ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F_{0}+dA=i(\alpha +\omega )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle [F_{0}]=F_{0}^{\mathrm {harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm} }+\alpha ^{\mathrm {harm} })\in H^{2}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K}$

${\displaystyle \omega ^{\mathrm {harm} }\in 2\pi K+{\mathcal {H}}^{-}\in H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

donde es el espacio de 2-formas anti-autoduales armónicas. Una dos forma es -admisible si no se cumple esta condición y las soluciones son necesariamente irreducibles. En particular, para , el espacio de módulos es una variedad compacta (posiblemente vacía) para métricas genéricas y admisible . Nótese que, si el espacio de dos formas -admisibles es conexo, mientras que si tiene dos componentes conexos (cámaras). Al espacio de módulos se le puede dar una orientación natural a partir de una orientación en el espacio de 2 formas armónicas positivas, y la primera cohomología. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b^{+}\geq 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle b_{+}\geq 2}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b_{+}=1}$

La cota a priori de las soluciones también da cotas a priori de . Por lo tanto, (para ) solo hay un número finito de , y por lo tanto solo un número finito de estructuras de espín ^c , con un espacio de módulos no vacío. ${\displaystyle F^{\mathrm {harm} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

Invariantes de Seiberg-Witten

El invariante de Seiberg-Witten de una variedad cuadridimensional M con b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 es una función de las estructuras de espín ^c en M a Z . El valor del invariante en una estructura de espín ^c es más fácil de definir cuando el espacio de módulos es de dimensión cero (para una métrica genérica). En este caso, el valor es el número de elementos del espacio de módulos contados con signos.

El invariante de Seiberg-Witten también se puede definir cuando b ₂ ⁺ ( M ) = 1, pero entonces depende de la elección de la cámara.

Se dice que una variedad M es de tipo simple si el invariante de Seiberg-Witten se anula siempre que la dimensión esperada del espacio de módulos sea distinta de cero. La conjetura de tipo simple establece que si M es simplemente conexa y b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, entonces la variedad es de tipo simple. Esto es cierto para las variedades simplécticas.

Si la variedad M tiene una métrica de curvatura escalar positiva y b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 entonces todos los invariantes de Seiberg-Witten de M se desvanecen.

Si la variedad M es la suma conexa de dos variedades que tienen b ₂ ⁺  ≥ 1, entonces todos los invariantes de Seiberg-Witten de M se desvanecen.

Si la variedad M es simplemente conexa y simpléctica y b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 entonces tiene una estructura de espín ^c s en la que el invariante de Seiberg-Witten es 1. En particular, no se puede dividir como una suma conexa de variedades con b ₂ ⁺  ≥ 1.

Referencias

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• Jackson, Allyn (1995), Una revolución en las matemáticas, archivado desde el original el 26 de abril de 2010
• Morgan, John W. (1996), Las ecuaciones de Seiberg–Witten y aplicaciones a la topología de cuatro variedades lisas, Mathematical Notes, vol. 44, Princeton, NJ: Princeton University Press , pp. viii+128, ISBN 978-0-691-02597-1, Sr.  1367507
• Moore, John Douglas (2001), Conferencias sobre invariantes de Seiberg-Witten , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1629 (2ª ed.), Berlín: Springer-Verlag, págs. viii+121, CiteSeerX  10.1.1.252.2658 , doi :10.1007/BFb0092948, ISBN 978-3-540-41221-2, Sr.  1830497
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• Nicolaescu, Liviu I. (2000), Notas sobre la teoría de Seiberg-Witten (PDF) , Graduate Studies in Mathematics , vol. 28, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xviii+484, doi :10.1090/gsm/028, ISBN 978-0-8218-2145-9, Sr.  1787219
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