Invariante de Reshetikhin-Turaev

Familia de invariantes cuánticos

En el campo matemático de la topología cuántica , los invariantes de Reshetikhin-Turaev ( RT-invariantes ) son una familia de invariantes cuánticos de enlaces enmarcados . Dichos invariantes de enlaces enmarcados también dan lugar a invariantes de 3-variedades a través de la construcción de cirugía de Dehn . Estos invariantes fueron descubiertos por Nicolai Reshetikhin y Vladimir Turaev en 1991, ^[1] y estaban destinados a ser una realización matemática de los invariantes de enlaces y 3-variedades propuestos por Witten utilizando la teoría cuántica de campos . ^[2]

Descripción general

Para obtener un invariante RT, primero se debe tener a mano una categoría de cinta -lineal . Cada categoría de cinta -lineal viene equipada con un cálculo diagramático en el que los morfismos se representan mediante ciertos diagramas de enredos decorados enmarcados , donde los objetos inicial y terminal se representan mediante los componentes de contorno del enredo. En este cálculo, un diagrama de enlace (decorado enmarcado) , al ser un enredo (decorado enmarcado) sin contorno, representa un endomorfismo de la identidad monoidal (el conjunto vacío en este cálculo), o en otras palabras, un elemento de . Este elemento de es el invariante RT asociado a . Dada cualquier 3-variedad orientada cerrada , existe un enlace enmarcado en la 3-esfera de modo que es homeomorfo a la variedad obtenida al surgir a lo largo de . Dos de estas variedades y son homeomorfas si y solo si y están relacionadas por una secuencia de movimientos de Kirby . Reshetikhin y Turaev ^[1] utilizaron esta idea para construir invariantes de 3-variedades combinando ciertos invariantes RT en una expresión que es invariante ante movimientos de Kirby. Tales invariantes de 3-variedades se conocen como invariantes de Witten–Reshetikhin–Turaev ( invariantes WRT ). ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{L}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M_{L}}$ ${\displaystyle M_{L^{\prime }}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{\prime }}$

Ejemplos

Sea un álgebra de Hopf de cinta sobre un cuerpo (se puede tomar, por ejemplo, cualquier grupo cuántico sobre ). Considérese la categoría , de representaciones de dimensión finita de . Hay un cálculo diagramático en el que los morfismos en se representan mediante diagramas de enredos enmarcados con cada componente conexo decorado por una representación de dimensión finita de . ^[3] Es decir, es una categoría de cinta -lineal. De esta manera, cada álgebra de Hopf de cinta da lugar a un invariante de enlaces enmarcados coloreados por representaciones de (un invariante RT). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)}$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Para el grupo cuántico sobre el campo , el invariante RT correspondiente para enlaces y 3-variedades da lugar a la siguiente familia de invariantes de enlace, que aparecen en la teoría de madejas . Sea un enlace enmarcado en con componentes. Para cada , sea el invariante RT obtenido decorando cada componente de por la representación única en dimensión de . Entonces ${\displaystyle A=U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (q)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(S^{3},L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(S^{3},L)=\langle e_{n},e_{n},\dots ,e_{n}\rangle _{L}\in \mathbb {C} (q)}$

donde la -tupla, denota el polinomio de Kauffman del enlace , donde cada uno de los componentes está cableado por el idempotente de Jones-Wenzl , un elemento especial del álgebra de Temperley-Lieb . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \langle e_{n},e_{n},\dots ,e_{n}\rangle _{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e_{n}}$

Para definir el invariante WRT correspondiente para 3-variedades, en primer lugar elegimos que sea una -ésima raíz de la unidad o una -ésima raíz de la unidad con impar . Supongamos que se obtiene haciendo una cirugía de Dehn en un enlace enmarcado . Entonces, el invariante RT para la 3-variedad se define como ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle M_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(M_{L})=\langle \omega _{r}\rangle _{O^{+}}^{b_{-}}\langle \omega _{r}\rangle _{O^{-}}^{b_{+}}\langle \omega _{r},\omega _{r},\dots ,\omega _{r}\rangle _{L}(t)\in \mathbb {C} ,}$

donde es la coloración de Kirby, son los nudos sin enmarcar y son los números de valores propios positivos y negativos para la matriz de enlace de respectivamente. En términos generales, el primer y el segundo corchete aseguran que es invariante bajo la explosión hacia arriba/abajo (primer movimiento de Kirby) y el tercer corchete asegura que es invariante bajo el deslizamiento del mango (segundo movimiento de Kirby). ${\displaystyle \omega _{r}=\sum _{n=0}^{r-2}\langle e_{n}\rangle _{O}e_{n}}$ ${\displaystyle O^{\pm }}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle b_{\pm }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M_{L})}$ ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M_{L})}$

Propiedades

Los invariantes de Witten–Reshetikhin–Turaev para 3-variedades satisfacen las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M\#N)={\text{RT}}_{r}(M){\text{RT}}_{r}(N),}$donde denota la suma conectada de y ${\displaystyle M\#N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(-M)={\overline {{\text{RT}}_{r}(M)}},}$donde es la variedad con orientación opuesta, y denota el complejo conjugado de ${\displaystyle -M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {{\text{RT}}_{r}(M)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(M)}$
3. ${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(S^{3})=1}$

Estas tres propiedades coinciden con las propiedades satisfechas por los invariantes de 3 variedades definidos por Witten usando la teoría de Chern-Simons (bajo cierta normalización) ^[2]

Problemas abiertos

Conjetura de expansión asintótica de Witten

La conjetura de expansión asintótica de Witten sugiere que para cada 3 - variedad , la asintótica -ésima grande de está gobernada por las contribuciones de las conexiones planas. ^[4] ${\displaystyle t=e^{\frac {\pi i}{r}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M)}$

Conjetura: Existen constantes y (dependiendo de ) para y para tales que la expansión asintótica de en el límite está dada por ${\displaystyle d_{j}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle b_{j}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j=0,1,\dots ,n}$ ${\displaystyle a_{j}^{l}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle j=0,1,\dots ,n,l=1,2,\dots }$ ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M)}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(M)\sim \sum _{j=0}^{n}e^{2\pi irq_{j}}r^{d_{j}}b_{j}\left(1+\sum _{\ell =1}^{\infty }a_{j}^{\ell }r^{-\ell }\right)}$

¿Dónde están los valores finitos diferentes de la función de Chern-Simons en el espacio de conexiones planas en ? ${\displaystyle q_{0}=0,q_{1},\dots q_{n}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle M}$

Conjetura de volumen para el invariante de Reshetikhin-Turaev

La conjetura de expansión asintótica de Witten sugiere que en , los invariantes RT crecen polinomialmente en . Por el contrario, en con impar , en 2018 Q. Chen y T. Yang sugirieron la conjetura de volumen para los invariantes RT, que esencialmente dice que los invariantes RT para 3-variedades hiperbólicas crecen exponencialmente en y la tasa de crecimiento da el volumen hiperbólico y los invariantes de Chern–Simons para la 3-variedad. ^[5] ${\displaystyle t=e^{{\pi i}/{r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t=e^{{2\pi i}/{r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Conjetura: Sea una variedad hiperbólica cerrada y orientada. Entonces, para una elección adecuada de argumentos, ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }{\frac {4\pi }{r}}\log \left(\operatorname {RT} _{r}{\big (}M,e^{{2\pi i}/{r}}{\big )}\right)=\operatorname {Vol} (M)-i\operatorname {CS} (M)\mod \pi ^{2}i\mathbb {Z} }$

donde es un entero positivo impar. ${\displaystyle r}$

Referencias

1. Reshetikhin, Nicolai; Turaev, Vladimir G. (1991). "Invariantes de 3 variedades mediante polinomios de enlace y grupos cuánticos". Invenciones Mathematicae . 103 (1): 547–597. Código Bib : 1991 InMat.103..547R. doi :10.1007/BF01239527. S2CID  123376541.
2. Witten, Edward (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.
3. Turaev, Vladimir G. (2016). Invariantes cuánticos de nudos y variedades tridimensionales . De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 18. Berlín: Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-044266-3.
4. Andersen, Jørgen Ellegaard; Hansen, Søren Kold (2006). "Asintótica de los invariantes cuánticos para cirugías en el nudo en forma de 8". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 15 (4): 479–548. arXiv : math/0506456 . doi :10.1142/S0218216506004555. S2CID  8713259.
5. Chen, Qingtao; Yang, Tian (2018). "Conjeturas de volumen para los invariantes de Reshetikhin–Turaev y Turaev–Viro". Topología cuántica . 9 (3): 419–460. arXiv : 1503.02547 . doi :10.4171/QT/111. S2CID  18870964.

Enlaces externos

• https://ncatlab.org/nlab/show/Reshetikhin-Turaev+construction