En la teoría matemática de grupos finitos , un grupo N es un grupo cuyos subgrupos locales (es decir, los normalizadores de p -subgrupos no triviales) son grupos resolubles . Los no resolubles fueron clasificados por Thompson durante su trabajo para encontrar todos los grupos simples finitos mínimos.
Grupos N simples
Los grupos N simples fueron clasificados por Thompson (1968, 1970, 1971, 1973, 1974, 1974b) en una serie de 6 artículos con un total de aproximadamente 400 páginas.
Los grupos N simples consisten en los grupos lineales especiales PSL 2 ( q ), PSL 3 (3), los grupos de Suzuki Sz(2 2 n +1 ), el grupo unitario U 3 (3), el grupo alternante A 7 , el grupo de Mathieu M 11 y el grupo de Tits . (El grupo de Tits fue pasado por alto en el anuncio original de Thomson en 1968, pero Hearn señaló que también era un grupo N simple). De manera más general, Thompson demostró que cualquier grupo N no resoluble es un subgrupo de Aut( G ) que contiene G para algún grupo N simple G .
Gorenstein y Lyons (1976) generalizaron el teorema de Thompson al caso de grupos donde todos los subgrupos 2-locales son resolubles. Los únicos grupos simples adicionales que aparecen son los grupos unitarios U 3 ( q ).
Prueba
Gorenstein (1980, 16.5) ofrece un resumen de la clasificación de Thompson de los N-grupos.
Los primos que dividen el orden del grupo se dividen en cuatro clases π 1 , π 2 , π 3 , π 4 de la siguiente manera
- π 1 es el conjunto de primos p tales que un p -subgrupo de Sylow es no trivial y cíclico.
- π 2 es el conjunto de primos p tales que un subgrupo p de Sylow P no es cíclico pero SCN 3 ( P ) está vacío
- π 3 es el conjunto de primos p tales que un p -subgrupo de Sylow P tiene SCN 3 ( P ) no vacío y normaliza un subgrupo abeliano no trivial de orden primo a p .
- π 4 es el conjunto de primos p tales que un p -subgrupo de Sylow P tiene SCN 3 ( P ) no vacío pero no normaliza un subgrupo abeliano no trivial de orden primo a p .
La prueba se subdivide en varios casos dependiendo de a cuál de estas cuatro clases pertenece el primo 2, y también de un entero e , que es el mayor entero para el que existe un subgrupo abeliano elemental de rango e normalizado por un 2-subgrupo no trivial que lo interseca trivialmente.
- Thompson (1968) ofrece una introducción general, enunciando el teorema principal y demostrando muchos lemas preliminares.
- Thompson (1970) caracteriza los grupos E 2 (3) y S 4 (3) (en la notación de Thompson; estos son el grupo excepcional G 2 (3) y el grupo simpléctico Sp 4 (3)) que no son N-grupos pero cuyas caracterizaciones son necesarias en la prueba del teorema principal.
- Thompson (1971) cubre el caso donde 2∉π 4 . El teorema 11.2 muestra que si 2∈π 2 entonces el grupo es PSL 2 ( q ), M 11 , A 7 , U 3 (3), o PSL 3 (3). La posibilidad de que 2∈π 3 se descarta mostrando que cualquier grupo de este tipo debe ser un grupo C y usando la clasificación de Suzuki de los grupos C para verificar que ninguno de los grupos encontrados por Suzuki satisface esta condición.
- Thompson (1973) y Thompson (1974) cubren los casos en los que 2∈π 4 y e ≥3, o e = 2. Thompson demuestra que G es un grupo C , por lo tanto un grupo de Suzuki, o satisface su caracterización de los grupos E 2 (3) y S 4 (3) en su segundo artículo, que no son grupos N.
- Thompson (1974) cubre el caso cuando 2∈π 4 y e = 1, donde las únicas posibilidades son que G sea un grupo C o el grupo de Tits .
Consecuencias
Un grupo simple mínimo es un grupo simple no cíclico cuyos subgrupos propios son todos resolubles. La lista completa de grupos simples finitos mínimos se da a continuación: Thompson (1968, corolario 1)
- PSL 2 (2 p ), p es primo.
- PSL 2 (3 p ), p es un primo impar.
- PSL 2 ( p ), p > 3 un primo congruente con 2 o 3 mod 5
- Sz(2 p ), p es un primo impar.
- Nivel 3 (3)
En otras palabras, un grupo simple finito no cíclico debe tener un subcociente isomorfo a uno de estos grupos.
Referencias
- Gorenstein, D. ; Lyons, Richard (1976), "Grupos finitos no resolubles con subgrupos 2-locales resolubles", Journal of Algebra , 38 (2): 453–522, doi : 10.1016/0021-8693(76)90233-7 , ISSN 0021-8693, MR 0407128
- Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, Sr. 0569209
- Thompson, John G. (1968), "Grupos finitos no resolubles cuyos subgrupos locales son todos resolubles", Bulletin of the American Mathematical Society , 74 (3): 383–437, doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11953-6 , ISSN 0002-9904, MR 0230809
- Thompson, John G. (1970), "Grupos finitos no resolubles cuyos subgrupos locales son todos resolubles. II", Pacific Journal of Mathematics , 33 (2): 451–536, doi : 10.2140/pjm.1970.33.451 , ISSN 0030-8730, MR 0276325
- Thompson, John G. (1971), "Grupos finitos no resolubles cuyos subgrupos locales son todos resolubles. III", Pacific Journal of Mathematics , 39 (2): 483–534, doi : 10.2140/pjm.1971.39.483 , ISSN 0030-8730, MR 0313378
- Thompson, John G. (1973), "Grupos finitos no resolubles cuyos subgrupos locales son todos resolubles. IV", Pacific Journal of Mathematics , 48 (2): 511–592, doi : 10.2140/pjm.1973.48.511 , ISSN 0030-8730, MR 0369512
- Thompson, John G. (1974), "Grupos finitos no resolubles cuyos subgrupos locales son todos resolubles. V", Pacific Journal of Mathematics , 50 : 215–297, doi : 10.2140/pjm.1974.50.215 , ISSN 0030-8730, MR 0369512
- Thompson, John G. (1974b), "Grupos finitos no resolubles cuyos subgrupos locales son todos resolubles. VI", Pacific Journal of Mathematics , 51 (2): 573–630, doi : 10.2140/pjm.1974.51.573 , ISSN 0030-8730, MR 0369512
