En matemáticas , dos operadores lineales se denominan isoespectrales o coespectrales si tienen el mismo espectro . En términos generales, se supone que tienen los mismos conjuntos de valores propios , cuando estos se cuentan con multiplicidad .
La teoría de los operadores isoespectrales es marcadamente diferente según se trate de un espacio de dimensión finita o infinita. En dimensiones finitas, se trata esencialmente de matrices cuadradas .
En dimensiones infinitas, el espectro no necesita consistir únicamente en valores propios aislados. Sin embargo, el caso de un operador compacto en un espacio de Hilbert (o espacio de Banach ) todavía es manejable, ya que los valores propios son como máximo contables con como máximo un único punto límite λ = 0. El problema isoespectral más estudiado en dimensiones infinitas es el del operador de Laplace en un dominio en R 2 . Dos de estos dominios se denominan isoespectrales si sus laplacianos son isoespectrales. El problema de inferir las propiedades geométricas de un dominio a partir del espectro de su laplaciano a menudo se conoce como escuchar la forma de un tambor .
En el caso de operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, para matrices cuadradas complejas , la relación de ser isoespectral para dos matrices diagonalizables es simplemente semejanza . Sin embargo, esto no reduce completamente el interés del concepto, ya que podemos tener una familia isoespectral de matrices de forma A ( t ) = M ( t ) −1 AM ( t ) dependiendo de un parámetro t de una manera complicada. Esta es una evolución de una matriz que ocurre dentro de una clase de semejanza.
Una idea fundamental en la teoría del solitón fue que el análogo infinitesimal de esa ecuación, es decir
estaba detrás de las leyes de conservación que eran responsables de evitar que los solitones se disiparan. Es decir, la preservación del espectro era una interpretación del mecanismo de conservación. La identificación de los llamados pares Lax (P,L) que dan lugar a ecuaciones análogas, por Peter Lax , mostró cómo la maquinaria lineal podía explicar el comportamiento no lineal.
Se dice que dos variedades riemannianas cerradas son isoespectrales si los valores propios de sus operadores de Laplace-Beltrami (laplacianos), multiplicidades contadas, coinciden. Uno de los problemas fundamentales de la geometría espectral es preguntarse en qué medida los valores propios determinan la geometría de una variedad dada.
Hay muchos ejemplos de variedades isoespectrales que no son isométricas. El primer ejemplo fue dado en 1964 por John Milnor . Construyó un par de toros planos de 16 dimensiones, utilizando redes aritméticas estudiadas por primera vez por Ernst Witt . Después de este ejemplo, se construyeron muchos pares isoespectrales en dimensión dos y superiores (por ejemplo, por MF Vignéras, A. Ikeda, H. Urakawa, C. Gordon). En particular, Vignéras (1980), basado en la fórmula de traza de Selberg para PSL(2, R ) y PSL(2, C ), construyó ejemplos de 2-variedades hiperbólicas cerradas isoespectrales, no isométricas y 3-variedades como cocientes del 2-espacio hiperbólico y el 3-espacio mediante subgrupos aritméticos, construidos utilizando álgebras de cuaterniones asociadas con extensiones cuadráticas de los racionales mediante la teoría de cuerpos de clases . [1] En este caso, la fórmula de traza de Selberg muestra que el espectro del Laplaciano determina completamente el espectro de longitud [ cita requerida ] , el conjunto de longitudes de geodésicas cerradas en cada clase de homotopía libre, junto con el giro a lo largo de la geodésica en el caso tridimensional. [2]
En 1985 Toshikazu Sunada encontró un método general de construcción basado en una técnica de espacio de recubrimiento , que, ya sea en su versión original o en ciertas versiones generalizadas, llegó a conocerse como el método Sunada o construcción Sunada. Al igual que los métodos anteriores, se basa en la fórmula de la traza, a través de la función zeta de Selberg . Sunada notó que el método de construcción de cuerpos numéricos con la misma función zeta de Dedekind podría adaptarse a variedades compactas. Su método se basa en el hecho de que si M es un recubrimiento finito de una variedad compacta de Riemann M 0 con G el grupo finito de transformaciones de baraja y H 1 , H 2 son subgrupos de G que cumplen cada clase de conjugación de G en el mismo número de elementos, entonces las variedades H 1 \ M y H 2 \ M son isoespectrales pero no necesariamente isométricas. Aunque esto no retoma los ejemplos aritméticos de Milnor y Vignéras [ cita requerida ] , el método de Sunada produce muchos ejemplos conocidos de variedades isoespectrales. Condujo a C. Gordon, D. Webb y S. Wolpert al descubrimiento en 1991 de un contraejemplo al problema de Mark Kac " ¿Se puede oír la forma de un tambor? ". Un tratamiento elemental, basado en el método de Sunada, fue dado más tarde en Buser et al. (1994).
La idea de Sunada también estimuló el intento de encontrar ejemplos isoespectrales que no se podían obtener con su técnica. Entre muchos ejemplos, el más llamativo es un ejemplo simplemente conexo de Schueth (1999). Por otra parte, Alan Reid demostró que ciertas variedades hiperbólicas aritméticas isoespectrales en son conmensurables. [3]