En matemáticas , los espacios de Esakia son espacios topológicos ordenados especiales introducidos y estudiados por Leo Esakia en 1974. [1] Los espacios de Esakia juegan un papel fundamental en el estudio de las álgebras de Heyting , principalmente en virtud de la dualidad de Esakia : la equivalencia dual entre la categoría de álgebras de Heyting y la categoría de espacios de Esakia.
Para un conjunto parcialmente ordenado ( X , ≤) y para x ∈ X , sea ↓ x = { y ∈ X : y ≤ x } y sea ↑ x = { y ∈ X : x ≤ y }. Además, para A ⊆ X , sea ↓ A = { y ∈ X : y ≤ x para algún x ∈ A } y ↑ A = { y ∈ X : y ≥ x para algún x ∈ A }.
Un espacio de Esakia es un espacio de Priestley ( X , τ ,≤) tal que para cada subconjunto abierto C del espacio topológico ( X , τ ) , el conjunto ↓ C también es abierto.
Hay varias formas equivalentes de definir los espacios de Esakia.
Teorema: [2] Dado que ( X , τ ) es un espacio de Stone , las siguientes condiciones son equivalentes:
Dado que los espacios de Priestley se pueden describir en términos de espacios espectrales , la propiedad de Esakia se puede expresar en terminología de espacio espectral de la siguiente manera: El espacio de Priestley correspondiente a un espacio espectral X es un espacio de Esakia si y solo si el cierre de cada subconjunto construible de X es construible. [3]
Sean ( X ,≤) y ( Y ,≤) conjuntos parcialmente ordenados y sea f : X → Y una función que preserva el orden . La función f es un morfismo acotado (también conocido como p-morfismo ) si para cada x ∈ X e y ∈ Y , si f( x )≤ y , entonces existe z ∈ X tal que x ≤ z y f( z ) = y .
Teorema: [4] Las siguientes condiciones son equivalentes:
Sean ( X , τ , ≤) y ( Y , τ ′ , ≤) espacios de Esakia y sea f : X → Y una función. La función f se denomina morfismo de Esakia si f es un morfismo continuo acotado.