Elemento de línea

Segmento de línea de longitud infinitesimalmente pequeña

En geometría , el elemento de línea o elemento de longitud se puede considerar informalmente como un segmento de línea asociado con un vector de desplazamiento infinitesimal en un espacio métrico . La longitud del elemento de línea, que se puede considerar como una longitud de arco diferencial , es una función del tensor métrico y se denota por . ${\displaystyle ds}$

Los elementos de línea se utilizan en física , especialmente en teorías de gravitación (especialmente la relatividad general ), donde el espacio-tiempo se modela como una variedad pseudo-riemanniana curva con un tensor métrico apropiado . ^[1]

Formulación general

Definición del elemento de línea y longitud de arco

La definición independiente de coordenadas del cuadrado del elemento de línea ds en una variedad riemanniana o pseudoriemanniana de dimensión n ( en física, normalmente una variedad lorentziana ) es el "cuadrado de la longitud" de un desplazamiento infinitesimal ^[2] (en variedades pseudoriemannianas, posiblemente negativo) cuya raíz cuadrada debería utilizarse para calcular la longitud de la curva: donde g es el tensor métrico , · denota el producto interno , y d q un desplazamiento infinitesimal en la variedad (pseudo)riemanniana. Al parametrizar una curva , podemos definir la longitud del arco de la curva longitud de la curva entre , y como la integral : ^[3] ${\displaystyle d\mathbf {q} }$ $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )}$$ ${\displaystyle q(\lambda )}$ ${\displaystyle q(\lambda _{1})}$ ${\displaystyle q(\lambda _{2})}$ $${\displaystyle s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}}$$

Para calcular una longitud sensata de curvas en variedades pseudoriemannianas, es mejor suponer que los desplazamientos infinitesimales tienen el mismo signo en todas partes. Por ejemplo, en física, el cuadrado de un elemento de línea a lo largo de una curva de línea de tiempo sería (en la convención de la firma) negativo y la raíz cuadrada negativa del cuadrado del elemento de línea a lo largo de la curva mediría el tiempo apropiado que pasa para un observador que se mueve a lo largo de la curva. Desde este punto de vista, la métrica también define, además del elemento de línea, los elementos de superficie y volumen , etc. ${\displaystyle -+++}$

Identificación del cuadrado del elemento de línea con el tensor métrico

Dado que es un "cuadrado de la longitud del arco" arbitrario, define completamente la métrica y, por lo tanto, generalmente es mejor considerar la expresión para como una definición del tensor métrico en sí, escrito en una notación sugerente pero no tensorial: Esta identificación del cuadrado de la longitud del arco con la métrica es aún más fácil de ver en coordenadas curvilíneas generales n -dimensionales q = ( q ¹ , q ² , q ³ , ..., q ⁿ ) , donde se escribe como un tensor simétrico de rango 2 ^{[3] [4]} que coincide con el tensor métrico: ${\displaystyle d\mathbf {q} }$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}}$ $${\displaystyle ds^{2}=g}$$ ${\displaystyle ds^{2}}$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g.}$$

Aquí los índices i y j toman los valores 1, 2, 3, ..., n y se utiliza la convención de suma de Einstein . Ejemplos comunes de espacios (pseudo)riemannianos incluyen el espacio tridimensional (sin inclusión de coordenadas temporales ) y, de hecho, el espacio-tiempo cuatridimensional .

Elementos de línea en el espacio euclidiano

Elemento vectorial de línea d r (verde) en el espacio euclidiano 3D , donde λ es un parámetro de la curva espacial (verde claro).

A continuación se muestran ejemplos de cómo se encuentran los elementos de línea a partir de la métrica.

Coordenadas cartesianas

El elemento de línea más simple está en coordenadas cartesianas , en cuyo caso la métrica es simplemente el delta de Kronecker : (aquí i, j = 1, 2, 3 para el espacio) o en forma de matriz ( i denota fila, j denota columna): $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$$ $${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Las coordenadas curvilíneas generales se reducen a coordenadas cartesianas: así $${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$

Coordenadas curvilíneas ortogonales

Para todas las coordenadas ortogonales la métrica viene dada por: ^[3] donde $${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$$

para i = 1, 2, 3 son factores de escala , por lo que el cuadrado del elemento de línea es: $${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}}$$

A continuación se muestran algunos ejemplos de elementos de línea en estas coordenadas. ^[2]

Coordenadas curvilíneas generales

Dada una base arbitraria de un espacio de dimensión , la métrica se define como el producto interno de los vectores base. ${\displaystyle \{{\hat {b}}_{i}\}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle }$$

Donde y el producto interno es con respecto al espacio ambiente (generalmente su ) ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

En una base de coordenadas ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

La base de coordenadas es un tipo especial de base que se utiliza regularmente en geometría diferencial.

Elementos de línea en el espacio-tiempo 4d

El espacio-tiempo de Minkowski

La métrica de Minkowski es: ^{[5] [1]} donde se elige un signo u otro, se utilizan ambas convenciones. Esto se aplica solo para el espacio-tiempo plano . Las coordenadas están dadas por la 4-posición : $${\displaystyle [g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )}$$

Entonces el elemento de línea es: $${\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).}$$

Coordenadas de Schwarzschild

En coordenadas de Schwarzschild las coordenadas son , siendo la métrica general de la forma: ${\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}$ $${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}$$

(nótese las similitudes con la métrica en coordenadas polares esféricas 3D).

Entonces el elemento de línea es: $${\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$$

Espacio-tiempo general

La definición independiente de coordenadas del cuadrado del elemento de línea d s en el espacio-tiempo es: ^[1] $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )}$$

En términos de coordenadas: donde para este caso los índices α y β recorren 0, 1, 2, 3 para el espacio-tiempo. $${\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$$

Este es el intervalo de espacio-tiempo , la medida de separación entre dos eventos arbitrariamente cercanos en el espacio-tiempo . En la relatividad especial, es invariante ante transformaciones de Lorentz . En la relatividad general, es invariante ante transformaciones arbitrarias de coordenadas diferenciables e invertibles .

Véase también

• Covarianza y contravarianza de vectores
• Primera forma fundamental
• Lista de temas de teoría de la medida e integración
• Tensor métrico
• Cálculo de Ricci
• Subida y bajada de índices
• Elemento de volumen

Referencias

1. Gravitación, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
2. Cálculo tensorial, DC Kay, Esquemas de Schaum, McGraw Hill (EE. UU.), 1988, ISBN 0-07-033484-6 
3. (2.ª edición), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
4. Introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados, JR Tyldesley, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 
5. La relatividad desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145545-0