Nudo satelital

Tipo de nudo matemático

En la teoría matemática de nudos , un nudo satélite es un nudo que contiene un toro incompresible , no paralelo a los límites, en su complemento . ^[1] Cada nudo es hiperbólico, un toro o un nudo satélite. La clase de nudos satélite incluye nudos compuestos , nudos de cable y nudos dobles de Whitehead . Un enlace satelital es uno que orbita un nudo compañero K en el sentido de que se encuentra dentro de un vecindario regular del compañero. ^{[2] : 217}

Un nudo satélite se puede describir pintorescamente de la siguiente manera: comience tomando un nudo no trivial que se encuentre dentro de un toro sólido sin anudar . Aquí, "no trivial" significa que el nudo no puede ubicarse dentro de una bola de 3 y no puede ser isotópico con respecto a la curva del núcleo central del toro sólido. Luego, ate el toro sólido en un nudo no trivial. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K'}$

Esto significa que hay una incrustación no trivial y . La curva del núcleo central del toro sólido se envía a un nudo , que se llama "nudo compañero" y se considera como el planeta alrededor del cual orbita el "nudo satélite". La construcción garantiza que es un toro incompresible paralelo no límite en el complemento de . Los nudos compuestos contienen un cierto tipo de toro incompresible llamado toro de seguimiento de golondrina , que se puede visualizar como si se tragara un sumando y siguiera a otro sumando. ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ ${\displaystyle K=f\left(K'\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f(\partial V)}$ ${\displaystyle K}$

Dado que es un toro sólido sin nudos, es un vecindario tubular de un nudo sin nudos . El vínculo de 2 componentes junto con la incrustación se denomina patrón asociado a la operación del satélite. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S^{3}\setminus V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K'\cup J}$ ${\displaystyle f}$

Una convención: la gente suele exigir que la incrustación se desenrolle en el sentido de que se debe enviar la longitud estándar de a la longitud estándar de . Dicho de otra manera, dadas dos curvas disjuntas cualesquiera , se conservan sus números de enlace, es decir: . ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(V)}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}\subset V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {lk} (f(c_{1}),f(c_{2}))=\operatorname {lk} (c_{1},c_{2})}$

Familias básicas

Cuando es un nudo toroidal , se denomina nudo de cable . Los ejemplos 3 y 4 son nudos de cable. El cable construido con un número dado de vueltas ( m , n ) a partir de otro nudo K , se denomina a menudo cable ( m , n ) de K. ${\displaystyle K'\subset \partial V}$ ${\displaystyle K}$

Si es un nudo no trivial en y si un disco de compresión para se interseca precisamente en un punto, entonces se denomina suma-conexión . Otra forma de decirlo es que el patrón es la suma-conexión de un nudo no trivial con un vínculo de Hopf. ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'\cup J}$ ${\displaystyle K'}$

Si el enlace es de tipo Whitehead , se denomina doble de Whitehead . Si no está torcido, se denomina doble de Whitehead no torcido. ${\displaystyle K'\cup J}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Ejemplos

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  Ejemplo 1: Una suma conectada de un nudo de trébol y un nudo en forma de 8.
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  Ejemplo 2: El doble de Whitehead de la figura 8.
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  Ejemplo 3: Un cable de una suma de conexión.
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  Ejemplo 4: Un cable de trébol.
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  Ejemplo 5: Un nudo que es un satélite doble, es decir: tiene toros seguidores de golondrina no paralelos.
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  Ejemplo 6: Un nudo que es un satélite doble, es decir: tiene toros seguidores de golondrina no paralelos.

Los ejemplos 5 y 6 son variantes de la misma construcción. Ambos tienen dos toros incompresibles no paralelos ni paralelos a los límites en sus complementos, lo que divide el complemento en la unión de tres variedades. En 5, esas variedades son: el complemento de anillos de Borromeo , el complemento de trébol y el complemento de figura en 8. En 6, el complemento de figura en 8 se reemplaza por otro complemento de trébol.

Orígenes

En 1949 ^[3] Horst Schubert demostró que cada nudo orientado en se descompone como una suma conexa de nudos primos de una manera única, hasta reordenar, haciendo que el monoide de clases de isotopía orientadas de nudos sea un monoide conmutativo libre en un número infinito numerable de generadores. Poco después, se dio cuenta de que podía dar una nueva prueba de su teorema mediante un análisis minucioso de los toros incompresibles presentes en el complemento de una suma conexa. Esto lo llevó a estudiar los toros incompresibles generales en los complementos de nudos en su obra épica Knoten und Vollringe ^[4] , donde definió los nudos satélite y compañero. ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Trabajo de seguimiento

La demostración de Schubert de que los toros incompresibles desempeñan un papel importante en la teoría de nudos fue una de las primeras ideas que condujeron a la unificación de la teoría de 3-variedades y la teoría de nudos. Atrajo la atención de Waldhausen, quien más tarde utilizó superficies incompresibles para demostrar que una gran clase de 3-variedades son homeomorfas si y solo si sus grupos fundamentales son isomorfos. ^[5] Waldhausen conjeturó lo que ahora es la descomposición de Jaco-Shalen-Johannson de 3-variedades, que es una descomposición de 3-variedades a lo largo de esferas y toros incompresibles. Esto más tarde se convirtió en un ingrediente principal en el desarrollo de la geometrización , que puede verse como una clasificación parcial de las variedades tridimensionales. Las ramificaciones de la teoría de nudos se describieron por primera vez en el manuscrito inédito de Bonahon y Siebenmann. ^[6]

Singularidad de la descomposición satelital

En Knoten und Vollringe , Schubert demostró que, en algunos casos, existe esencialmente una forma única de expresar un nudo como satélite. Pero también hay muchos ejemplos conocidos en los que la descomposición no es única. ^[7] Con una noción adecuadamente mejorada de operación de satélite llamada empalme, la descomposición JSJ proporciona un teorema de unicidad adecuado para los nudos satélite. ^{[8] [9]}

Véase también

• Nudo hiperbólico
• Nudo toroidal
• Bing doble

Referencias

1. Colin Adams, El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , (2001), ISBN  0-7167-4219-5
2. Menasco, William ; Thistlethwaite, Morwen , eds. (2005). Manual de teoría de nudos. Elsevier. ISBN 0080459544. Recuperado el 18 de agosto de 2014 .
3. Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Matemáticas.-Nat. kl. 1949 (1949), 57-104.
4. Schubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Matemáticas. 90 (1953), 131–286.
5. Waldhausen, F. Sobre 3-variedades irreducibles que son suficientemente grandes. Ann. of Math. (2) 87 (1968), 56–88.
6. F. Bonahon, L. Siebenmann, Nuevas divisiones geométricas de nudos clásicos y la clasificación y simetrías de nudos arborescentes, [1]
7. Motegi, K. Tipos de nudos: nudos satelitales y nudos torcidos. Conferencias en Knots '96. World Scientific.
8. Eisenbud, D. Neumann, W. Teoría de vínculos tridimensionales e invariantes de singularidades de curvas planas. Ann. of Math. Stud. 110
9. Budney, R. Descomposiciones JSJ de complementos de nudos y enlaces en S^3. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3–4 (2006). arXiv:math.GT/0506523