Diferencial exacto

Tipos de infinitesimales en el cálculo

En el cálculo multivariado , se dice que una diferencial o forma diferencial es exacta o perfecta ( diferencial exacta ), en contraste con una diferencial inexacta , si es igual a la diferencial general para alguna función diferenciable en un sistema de coordenadas ortogonales (por lo tanto, es una función multivariable cuyas variables son independientes , como siempre se espera que lo sean cuando se tratan en el cálculo multivariable ). ${\displaystyle dQ}$  ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

A una diferencial exacta a veces también se la denomina diferencial total , diferencial completa o, en el estudio de la geometría diferencial , forma exacta .

La integral de una diferencial exacta sobre cualquier trayectoria integral es independiente de la trayectoria , y este hecho se utiliza para identificar funciones de estado en termodinámica .

Descripción general

Definición

Incluso si trabajamos en tres dimensiones, las definiciones de diferenciales exactos para otras dimensiones son estructuralmente similares a la definición tridimensional. En tres dimensiones, una forma del tipo

${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

se llama forma diferencial . Esta forma se llama exacta en un dominio abierto en el espacio si existe alguna función escalar diferenciable definida en tal que ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,}$   ${\displaystyle dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

en todas partes , donde son coordenadas ortogonales (por ejemplo, coordenadas cartesianas , cilíndricas o esféricas ). En otras palabras, en algún dominio abierto de un espacio, una forma diferencial es una diferencial exacta si es igual a la diferencial general de una función diferenciable en un sistema de coordenadas ortogonales. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x,y,z}$

Nota: En esta expresión matemática, los subíndices fuera del paréntesis indican qué variables se mantienen constantes durante la diferenciación. Debido a la definición de la derivada parcial , estos subíndices no son obligatorios, pero se muestran aquí explícitamente como recordatorio.

Independencia de trayectoria integral

La diferencial exacta para una función escalar diferenciable definida en un dominio abierto es igual a , donde es el gradiente de , representa el producto escalar , y es el vector de desplazamiento diferencial general, si se utiliza un sistema de coordenadas ortogonal. Si es de clase de diferenciabilidad ( continuamente diferenciable ), entonces es un campo vectorial conservativo para el potencial correspondiente por definición. Para espacios tridimensionales, se pueden hacer expresiones como y . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$ ${\displaystyle \nabla Q=({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}})}$

El teorema del gradiente establece

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

que no depende de qué camino integral entre los puntos finales del camino dado y se elija. Por lo tanto, se concluye que la integral de una diferencial exacta es independiente de la elección de un camino integral entre los puntos finales del camino dado (independencia del camino) . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

Para espacios tridimensionales, si se define en un dominio abierto es de clase diferenciabilidad (equivalentemente es de ), entonces esta independencia de trayectoria integral también se puede demostrar utilizando la identidad del cálculo vectorial y el teorema de Stokes . ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

para un bucle simplemente cerrado con la superficie orientada lisa en él. Si el dominio abierto es un espacio abierto simplemente conectado (en términos generales, un espacio abierto de una sola pieza sin un agujero dentro de él), entonces cualquier campo vectorial irrotacional (definido como un campo vectorial cuyo rizo es cero, es decir, ) tiene la independencia de la trayectoria por el teorema de Stokes, por lo que se hace la siguiente afirmación; En una región abierta simplemente conectada, cualquier campo vectorial que tenga la propiedad de independencia de la trayectoria (por lo que es un campo vectorial conservativo) también debe ser irrotacional y viceversa. La igualdad de la independencia de la trayectoria y los campos vectoriales conservativos se muestra aquí . ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C^{1}}$

Función de estado termodinámica

En termodinámica , cuando es exacta, la función es una función de estado del sistema: una función matemática que depende únicamente del estado de equilibrio actual , no del camino tomado para alcanzar ese estado. La energía interna , la entropía , la entalpía , la energía libre de Helmholtz y la energía libre de Gibbs son funciones de estado . En general, ni el trabajo ni el calor son funciones de estado. (Nota: se usa comúnmente para representar el calor en física. No debe confundirse con el uso anterior en este artículo como parámetro de una diferencial exacta). ${\displaystyle dQ}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

Una dimensión

En una dimensión, una forma diferencial

${\displaystyle A(x)\,dx}$

es exacta si y solo si tiene una antiderivada (pero no necesariamente una en términos de funciones elementales). Si tiene una antiderivada y sea una antiderivada de por lo que , entonces obviamente satisface la condición de exactitud. Si no tiene una antiderivada, entonces no podemos escribir con para una función diferenciable por lo que es inexacta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$ ${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$

Dos y tres dimensiones

Por simetría de las segundas derivadas , para cualquier función "de buen comportamiento" (no patológica ) , tenemos ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

Por lo tanto, en una región simplemente conexa R del plano xy , donde son independientes, ^[1] se obtiene una forma diferencial ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

es una diferencial exacta si y sólo si la ecuación

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

se cumple. Si es una diferencial exacta , entonces y es una función diferenciable (suavemente continua) a lo largo de y , por lo que . Si se cumple, entonces y son funciones diferenciables (de nuevo, suavemente continuas) a lo largo de y respectivamente, y es el único caso. ${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ ${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

Para tres dimensiones, en una región simplemente conexa R del sistema de coordenadas xyz , por una razón similar, una diferencial

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

es una diferencial exacta si y sólo si entre las funciones A , B y C existen las relaciones

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$;  ; ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$  ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

Estas condiciones son equivalentes a la siguiente oración: Si G es la gráfica de esta función con valores vectoriales, entonces para todos los vectores tangentes X , Y de la superficie G entonces s ( X ,  Y ) = 0 con s la forma simpléctica .

Estas condiciones, que son fáciles de generalizar, surgen de la independencia del orden de las diferenciaciones en el cálculo de las derivadas segundas. Así, para que una diferencial dQ , que es función de cuatro variables, sea una diferencial exacta, hay que cumplir seis condiciones (la combinación ). ${\displaystyle C(4,2)=6}$

Relaciones diferenciales parciales

Si una función diferenciable es biunívoca (inyectiva) para cada variable independiente, por ejemplo, es biunívoca para en un fijo mientras que no es necesariamente biunívoca para , entonces existen los siguientes diferenciales totales porque cada variable independiente es una función diferenciable para las otras variables, por ejemplo, . ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x(y,z)}$

${\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}$

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y reordenando, obtenemos

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}$

Dado que y son variables independientes, y pueden elegirse sin restricción. Para que esta última ecuación se cumpla en general, los términos entre corchetes deben ser iguales a cero. ^[2] El corchete izquierdo igual a cero conduce a la relación de reciprocidad, mientras que el corchete derecho igual a cero conduce a la relación cíclica, como se muestra a continuación. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dz}$

Relación de reciprocidad

Establecer el primer término entre paréntesis igual a cero da como resultado

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

Un ligero reordenamiento da una relación de reciprocidad,

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

Hay dos permutaciones más de la derivación anterior que dan un total de tres relaciones de reciprocidad entre , y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Relación cíclica

La relación cíclica también se conoce como regla cíclica o regla del triple producto . Si se establece el segundo término entre paréntesis como igual a cero, se obtiene

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

Usando una relación de reciprocidad para esta ecuación y reordenando se obtiene una relación cíclica (la regla del triple producto ), ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

Si, en cambio , se utilizan relaciones de reciprocidad para y con un reordenamiento posterior, se obtiene una forma estándar para la diferenciación implícita : ${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$

Algunas ecuaciones útiles derivadas de diferenciales exactas en dos dimensiones

(Véase también las ecuaciones termodinámicas de Bridgman para el uso de diferenciales exactas en la teoría de ecuaciones termodinámicas )

Supongamos que tenemos cinco funciones de estado , y . Supongamos que el espacio de estados es bidimensional y cualquiera de las cinco cantidades es diferenciable. Entonces, por la regla de la cadena ${\displaystyle z,x,y,u}$ ${\displaystyle v}$

pero también por la regla de la cadena:

y

de modo que (sustituyendo (2) y (3) en (1)):

lo que implica que (comparando (4) con (1)):

Dejando entrar (5) se obtiene: ${\displaystyle v=y}$

Dejando entrar (5) se obtiene: ${\displaystyle u=y}$

Dejando y en (7) se obtiene: ${\displaystyle u=y}$ ${\displaystyle v=z}$

usando ( da la regla del triple producto : ${\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}$

Véase también

• Formas diferenciales cerradas y exactas para un tratamiento de alto nivel
• Diferencial (matemáticas)
• Diferencial inexacto
• Factor integrador para resolver ecuaciones diferenciales no exactas haciéndolas exactas
• Ecuación diferencial exacta

Referencias

1. Si el par de variables independientes es una función (localmente reversible) de las variables dependientes , todo lo que se necesita para que se cumpla el siguiente teorema es reemplazar las derivadas parciales con respecto a o a , por las derivadas parciales con respecto a y a que involucren sus componentes jacobianos . Es decir: es una diferencial exacta, si y solo si: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A(u,v)du+B(u,v)dv,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial A}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial B}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$
2. Çengel, Yunus A.; Boles, Michael A.; Kanoğlu, Mehmet (2019) [1989]. "Relaciones de propiedades en termodinámica". Termodinámica: un enfoque de ingeniería (9.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill Education. págs. 647–648. ISBN 978-1-259-82267-4.

• Perrot, P. (1998). De la A a la Z de la termodinámica. Nueva York: Oxford University Press.
• Dennis G. Zill (14 de mayo de 2008). Un primer curso sobre ecuaciones diferenciales. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

Enlaces externos

• Diferencial inexacto – de Wolfram MathWorld
• Diferenciales exactas e inexactas – Universidad de Arizona
• Diferenciales exactas e inexactas – Universidad de Texas
• Diferencial exacto – de Wolfram MathWorld