Un cuadrado mágico geométrico , a menudo abreviado como cuadrado geomágico , es una generalización de los cuadrados mágicos inventados por Lee Sallows en 2001. [1] Un cuadrado mágico tradicional es una matriz cuadrada de números (casi siempre enteros positivos ) cuya suma tomada en cualquier fila, columna o diagonal es el mismo número objetivo . Un cuadrado geomágico, por otro lado, es una matriz cuadrada de formas geométricas en la que las que aparecen en cada fila, columna o diagonal se pueden encajar para crear una forma idéntica llamada forma objetivo . Al igual que con los tipos numéricos, se requiere que las entradas en un cuadrado geomágico sean distintas. De manera similar, las ocho variantes triviales de cualquier cuadrado resultantes de su rotación y/o reflexión se cuentan todas como el mismo cuadrado. Por la dimensión de un cuadrado geomágico se entiende la dimensión de las piezas que utiliza. Hasta ahora, el interés se ha centrado principalmente en los cuadrados 2D que utilizan piezas planas, pero se permiten piezas de cualquier dimensión.
La figura 1 muestra un cuadrado geomágico de 3 × 3. Las 3 piezas que ocupan cada fila, columna y diagonal forman un objetivo rectangular, como se ve a la izquierda y a la derecha, y arriba y abajo. Aquí las 9 piezas son todos decominoes , pero pueden aparecer piezas de cualquier forma y no es un requisito que sean del mismo tamaño. En la figura 2, por ejemplo, las piezas son poliominós de tamaños consecutivos desde 1 hasta 9 unidades. El objetivo es un cuadrado de 4 × 4 con un agujero cuadrado interior.
Sorprendentemente, las investigaciones informáticas muestran que la Figura 2 es sólo una entre 4.370 cuadrados geomágicos 3 × 3 distintos que utilizan piezas con los mismos tamaños y el mismo objetivo. Por el contrario, la Figura 1 es una de las dos únicas soluciones que utilizan piezas de tamaño similar y un objetivo idéntico. En general, la repetición de tamaños de piezas implica menos soluciones. Sin embargo, en la actualidad no existe una base teórica que explique estos hallazgos empíricos. [2]
Las piezas de un cuadrado geomágico también pueden estar disjuntas o compuestas de islas separadas, como se ve en la Figura 3. Dado que se pueden colocar de manera que se superpongan entre sí, las piezas disjuntas a menudo pueden cubrir áreas que las piezas conectadas no pueden. Las ventajas de esta flexibilidad adicional se pueden ver a menudo en geomágicos que poseen simetrías negadas a los especímenes numéricos. [3]
Además de los cuadrados que utilizan formas planas, existen muestras 3D cuyas celdas contienen piezas sólidas que se combinarán para formar el mismo objetivo sólido constante. La figura 5 muestra un ejemplo en el que el objetivo es un cubo.
Una fórmula bien conocida debido al matemático Édouard Lucas caracteriza la estructura de cada cuadrado mágico de 3 × 3 de números. [4] Sallows, ya autor de un trabajo original en esta área, [5] había especulado durante mucho tiempo que la fórmula de Lucas podría contener potencial oculto. [6] Esta suposición se confirmó en 1997 cuando publicó un breve artículo que examinaba los cuadrados utilizando números complejos, una estratagema que condujo a un nuevo teorema que correlacionaba cada cuadrado mágico de 3 × 3 con un paralelogramo único en el plano complejo. [7] Continuando en la misma línea, un siguiente paso decisivo fue interpretar las variables en la fórmula de Lucas como si representaran formas geométricas, una idea extravagante que condujo directamente al concepto de un cuadrado geomágico. [8] Resultó ser una consecuencia inesperada de este hallazgo que los cuadrados mágicos tradicionales ahora se revelaron como cuadrados geomágicos unidimensionales.
Otros investigadores también tomaron nota. Charles Ashbacher, coeditor del Journal of Recreational Mathematics , habla de que el campo de los cuadrados mágicos se está "expandiendo drásticamente" [9]. Peter Cameron , ganador del Premio Whitehead de la London Mathematical Society y ganador conjunto de la Medalla Euler , llamó a los cuadrados geomágicos "una maravillosa nueva pieza de matemáticas recreativas, que deleitará a los no matemáticos y dará a los matemáticos material para pensar". [2] El escritor de matemáticas Alex Bellos dijo: "Llegar a esto después de miles de años de estudio de los cuadrados mágicos es bastante asombroso". [10] Se puede preguntar si los cuadrados geomágicos podrían tener aplicaciones fuera del estudio de los rompecabezas. Cameron está convencido de ello, diciendo: "Puedo ver de inmediato muchas cosas que me gustaría hacer con esto". [10]
Salvo algunos ejemplos triviales, no se conocen métodos sencillos para producir cuadrados geomágicos. Hasta la fecha, se han explorado dos enfoques. [11] Cuando las piezas que se van a utilizar son poliformas o formas construidas a partir de unidades repetidas, es posible realizar una búsqueda exhaustiva por ordenador.
En el caso de la Figura 1, por ejemplo, un primer paso sería decidir los tamaños de las piezas que se utilizarán (en este caso, todas iguales) y la forma del objetivo deseado. Un programa inicial podría entonces generar una lista L correspondiente a cada posible teselación de esta forma de objetivo mediante 3 decominoes distintos (poliominós de tamaño 10). Cada decomino está representado por un entero único, de modo que L consistirá en una lista de tríadas de enteros. Una rutina posterior puede entonces ejecutar y probar cada combinación de tres tríadas diferentes por turno. La prueba consistirá en tratar las tríadas candidatas como las entradas de fila en un cuadrado de 3 × 3, y luego verificar si las columnas y diagonales así formadas contienen cada una 3 enteros que también están en L , es decir, también son tríadas de teselación de objetivos. Si es así, se ha identificado un cuadrado geomágico de 3 × 3 que utiliza 9 decominoes y el objetivo seleccionado. Si esto falla, se pueden probar formas de objetivo alternativas. Se puede utilizar una versión elaborada del mismo método para buscar cuadrados más grandes o cuadrados que incluyan piezas de diferentes tamaños.
Un método alternativo de construcción comienza con un cuadrado geomágico trivial que muestra piezas repetidas, cuyas formas se modifican para que cada una sea distinta, pero sin alterar la propiedad mágica del cuadrado. Esto se logra por medio de una plantilla algebraica como la que se muestra a continuación, cuyas variables distintas se interpretan como formas diferentes que se pueden agregar o eliminar de las piezas iniciales, según su signo.
La figura 4 ilustra una interpretación geométrica de la plantilla en la que k se interpreta como una pequeña forma cuadrada, mientras que a , b , c y d representan las protuberancias (+) y/o hendiduras (-) mediante las cuales se modifica para dar lugar a 16 piezas de rompecabezas distintas.
Contrariamente a la impresión que da a primera vista, es un malentendido considerar que el término «cuadrado geomágico» se refiere a alguna categoría de cuadrado mágico. De hecho, ocurre exactamente lo contrario: cada cuadrado mágico (aditivo) es una instancia particular de un cuadrado geomágico, pero nunca al revés. El siguiente ejemplo, que aparece en un artículo de gran alcance sobre cuadrados geomágicos escrito por Jean-Paul Delahaye en Pour la Science , la versión francesa de Scientific American , deja claro este punto . [12] En este caso, la «forma» objetivo para el cuadrado geomágico de la derecha es simplemente un segmento de línea unidimensional de 15 unidades de longitud, y las piezas no son más que segmentos de línea recta. Como tal, este último es obviamente una traducción directa a términos geométricos del cuadrado mágico numérico de la izquierda.
Como dice Delahaye, "este ejemplo demuestra que el concepto de cuadrado geomágico generaliza los cuadrados mágicos. El resultado no es espectacular, pero afortunadamente hay otros cuadrados geomágicos que no son el resultado de una traducción de este tipo". [12] [13]
El punto es que cada cuadrado mágico numérico puede ser entendido como un cuadrado geomágico unidimensional como el que se mencionó anteriormente. O como lo expresa el propio Sallows, "los cuadrados mágicos tradicionales que presentan números se revelan entonces como ese caso particular de cuadrados 'geomágicos' en el que los elementos son todos unidimensionales". [3] Sin embargo, esto no agota el caso unidimensional, porque existen cuadrados geomágicos unidimensionales cuyos componentes son segmentos de línea desconectados y que no corresponden a ningún cuadrado mágico numérico. Por lo tanto, incluso en la dimensión uno, los tipos tradicionales corresponden solo a un subconjunto minúsculo de todos los cuadrados mágicos geométricos.
La estructura más rica de los cuadrados geomágicos se refleja en la existencia de ejemplares que muestran un grado de "magia" mucho mayor que el que es posible con los tipos numéricos. Así, un cuadrado panmágico es aquel en el que cada diagonal, incluidas las denominadas diagonales rotas , comparte la misma propiedad mágica que las filas y columnas. Sin embargo, se demuestra fácilmente que un cuadrado panmágico de tamaño 3 × 3 es imposible de construir con números, mientras que un ejemplo geométrico se puede ver en la Figura 3. No se ha informado aún de ningún ejemplo comparable que utilice piezas conectadas. [3]
Además de ser geomágicos, existen cuadrados con propiedades auxiliares que los hacen aún más distintivos. En la Figura 6, por ejemplo, que es mágica solo en filas y columnas, las 16 piezas forman un conjunto de mosaicos autoensamblables . Un conjunto de este tipo se define como cualquier conjunto de n formas distintas, cada una de las cuales puede ser enlosada por réplicas más pequeñas del conjunto completo de n formas. [14]
Un segundo ejemplo es la Figura 4, que es un cuadrado geomágico denominado "autoentrelazado". En este caso, las 16 piezas ya no están contenidas en celdas separadas, sino que definen las formas de las celdas cuadradas, de modo que se entrelazan para completar un rompecabezas con forma de cuadrado.
El 9 de octubre de 2014, la oficina de correos de Macao emitió una serie de sellos basados en cuadrados mágicos . [15] El sello a continuación, que muestra uno de los cuadrados geomágicos creados por Sallows, fue elegido para estar en esta colección. [16]
