En topología diferencial , una rama de las matemáticas , las condiciones de Whitney son condiciones sobre un par de subvariedades de una variedad introducidas por Hassler Whitney en 1965.
Una estratificación de un espacio topológico es una filtración finita por subconjuntos cerrados Fi , de modo que la diferencia entre los miembros sucesivos Fi y F ( i − 1 ) de la filtración es una subvariedad vacía o suave de dimensión i . Los componentes conectados de la diferencia F i − F ( i − 1) son los estratos de dimensión i . Una estratificación se denomina estratificación de Whitney si todos los pares de estratos satisfacen las condiciones de Whitney A y B, como se define a continuación.
Sean X e Y dos subvariedades disjuntas ( localmente cerradas ) de R n , de dimensiones i y j .
John Mather señaló por primera vez que la condición B de Whitney implica la condición A de Whitney en las notas de sus conferencias en Harvard en 1970, que han sido ampliamente distribuidas. También definió la noción de espacio estratificado de Thom-Mather y demostró que cada estratificación de Whitney es un espacio estratificado de Thom-Mather y, por tanto, es un espacio topológicamente estratificado . René Thom dio otra aproximación a este resultado fundamental en 1969.
David Trotman demostró en su tesis de Warwick de 1977 que una estratificación de un subconjunto cerrado en una variedad suave M satisface la condición A de Whitney si y sólo si el subespacio del espacio de asignaciones suaves de una variedad suave N a M que consta de todas aquellas aplicaciones que son transversal a todos los estratos de la estratificación, es abierta (usando la topología Whitney o fuerte). El subespacio de asignaciones transversales a cualquier familia contable de subvariedades de M siempre es denso según el teorema de transversalidad de Thom . La densidad del conjunto de asignaciones transversales a menudo se interpreta diciendo que la transversalidad es una propiedad "genérica" para asignaciones suaves, mientras que la apertura a menudo se interpreta diciendo que la propiedad es "estable".
La razón por la que las condiciones de Whitney se han utilizado tan ampliamente es por el teorema de Whitney de 1965 de que toda variedad algebraica, o incluso variedad analítica, admite una estratificación de Whitney, es decir, admite una partición en subvariedades suaves que satisfacen las condiciones de Whitney. A los espacios singulares más generales se les pueden dar estratificaciones de Whitney, como conjuntos semialgebraicos (debido a René Thom ) y conjuntos subanalíticos (debido a Heisuke Hironaka ). Esto ha llevado a su uso en ingeniería, teoría de control y robótica. En una tesis dirigida por Wieslaw Pawlucki en la Universidad Jagellónica de Cracovia, Polonia, el matemático vietnamita Ta Lê Loi demostró además que a todo conjunto definible en una estructura mínima o se le puede dar una estratificación de Whitney. [ cita necesaria ]