Catástrofe ultravioleta

Predicción de la física clásica de que la radiación del cuerpo negro crece sin límites con la frecuencia

La catástrofe ultravioleta es el error en longitudes de onda cortas de la ley de Rayleigh-Jeans (representada como "teoría clásica" en el gráfico) para la energía emitida por un cuerpo negro ideal . El error, mucho más pronunciado para longitudes de onda cortas, es la diferencia entre la curva negra (como se predice clásicamente por la ley de Rayleigh-Jeans ) y la curva azul (la curva medida como se predice por la ley de Planck ).

La catástrofe ultravioleta , también llamada catástrofe de Rayleigh-Jeans , fue la predicción de la física clásica de finales del siglo XIX y principios del siglo XX de que un cuerpo negro ideal en equilibrio térmico emitiría una cantidad ilimitada de energía a medida que la longitud de onda disminuyera en el rango ultravioleta . ^{[1] : 6–7} El término "catástrofe ultravioleta" fue utilizado por primera vez en 1911 por Paul Ehrenfest , ^[2] pero el concepto se originó con la derivación estadística de 1900 de la ley de Rayleigh-Jeans .

La frase se refiere al hecho de que la ley de Rayleigh-Jeans derivada empíricamente, que predijo con precisión los resultados experimentales en longitudes de onda grandes, no lo hizo para longitudes de onda cortas. (Véase la imagen para mayor elaboración.) Como la teoría divergía de las observaciones empíricas cuando estas frecuencias alcanzaban la región ultravioleta del espectro electromagnético , había un problema. ^[3] Más tarde se descubrió que este problema se debía a una propiedad de los cuantos propuesta por Max Planck : no podía haber ninguna fracción de un paquete de energía discreto que ya llevara una energía mínima.

Desde el primer uso de este término, también se ha utilizado para otras predicciones de naturaleza similar, como en la electrodinámica cuántica y casos como la divergencia ultravioleta .

Problema

La ley de Rayleigh-Jeans es una aproximación a la radiancia espectral de la radiación electromagnética en función de la longitud de onda de un cuerpo negro a una temperatura dada mediante argumentos clásicos. Para la longitud de onda , es: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}},}$

donde es la radiancia espectral , la potencia emitida por unidad de área de emisión, por estereorradián , por unidad de longitud de onda; es la velocidad de la luz ; es la constante de Boltzmann ; y es la temperatura en kelvins . Para la frecuencia , la expresión es en cambio ${\displaystyle B_{\lambda }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2\nu ^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.}$

Esta fórmula se obtiene del teorema de equipartición de la mecánica estadística clásica que establece que todos los modos del oscilador armónico (grados de libertad) de un sistema en equilibrio tienen una energía promedio de . ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$

La "catástrofe ultravioleta" es la expresión del hecho de que la fórmula se comporta mal en frecuencias más altas, es decir, como . ${\displaystyle B_{\nu }(T)\to \infty }$ ${\displaystyle \nu \to \infty }$

Un ejemplo, de la Historia de las Ciencias de Mason ^[4] , ilustra la vibración multimodo a través de un trozo de cuerda. Como un vibrador natural , la cuerda oscilará con modos específicos (las ondas estacionarias de una cuerda en resonancia armónica), dependiendo de la longitud de la cuerda. En física clásica, un radiador de energía actuará como un vibrador natural. Además, dado que cada modo tendrá la misma energía, la mayor parte de la energía en un vibrador natural estará en las longitudes de onda más pequeñas y las frecuencias más altas, donde se encuentran la mayoría de los modos.

Según el electromagnetismo clásico, el número de modos electromagnéticos en una cavidad tridimensional, por unidad de frecuencia, es proporcional al cuadrado de la frecuencia. Esto implica que la potencia radiada por unidad de frecuencia debería ser proporcional al cuadrado de la frecuencia. Por lo tanto, tanto la potencia a una frecuencia dada como la potencia radiada total son ilimitadas a medida que se consideran frecuencias cada vez más altas: esto no es físico ya que no se observa que la potencia radiada total de una cavidad sea infinita, un punto que fue planteado independientemente por Einstein , Lord Rayleigh y Sir James Jeans en 1905.

Solución

En 1900, Max Planck derivó la forma correcta de la función de distribución espectral de intensidad a partir de algunas suposiciones extrañas (para la época). En particular, Planck supuso que la radiación electromagnética puede emitirse o absorberse únicamente en paquetes discretos, llamados cuantos , de energía: donde: $${\displaystyle E_{\text{quanta}}=h\nu =h{\frac {c}{\lambda }},}$$

• h es la constante de Planck ,
• ν es la frecuencia de la luz,
• c es la velocidad de la luz ,
• λ es la longitud de onda de la luz.

Al aplicar esta nueva energía a la función de partición en mecánica estadística , las suposiciones de Planck condujeron a la forma correcta de las funciones de distribución espectral: donde: $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$

• T es la temperatura absoluta del cuerpo,
• k _B es la constante de Boltzmann ,
• exp denota la función exponencial .

Albert Einstein (en 1905) resolvió el problema postulando que los cuantos de Planck eran partículas físicas reales –lo que ahora llamamos fotones– , no sólo una ficción matemática. Modificaron la mecánica estadística al estilo de Boltzmann para convertirla en un conjunto de fotones. El fotón de Einstein tenía una energía proporcional a su frecuencia y también explicaba una ley inédita de Stokes y el efecto fotoeléctrico . ^[5] Este postulado publicado fue citado específicamente por el comité del Premio Nobel de Física en su decisión de otorgar el premio de 1921 a Einstein. ^[6]

Véase también

• Aproximación de Viena
• Catástrofe del vacío
• Lugar geométrico planckiano

Referencias

1. Vázquez, M.; Hanslmeier, Arnold (2005). Radiación ultravioleta en el sistema solar. Springer. ISBN 978-1-4020-3726-9.
2. Fiesta de los testigos de 1911
3. McQuarrie, Donald A.; Simon, John D. (1997). Química física: un enfoque molecular (edición revisada). Sausalito, California: Univ. Science Books. ISBN 978-0-935702-99-6.
4. Mason, Stephen F. (1962). Una historia de las ciencias . Collier Books. pág. 550.
5. Stone, A. Douglas (2013). Einstein y la teoría cuántica . Princeton University Press. ISBN 9780691139685.
6. "El Premio Nobel de Física: 1921". Nobelprize.org . Nobel Media AB. 2017. Consultado el 13 de diciembre de 2017. Por sus servicios a la Física Teórica, y especialmente por su descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico.

Bibliografía

• Ehrenfest, P. (1911). "Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?" [¿En qué características de la hipótesis cuántica de la luz juega un papel esencial la radiación térmica?]. Annalen der Physik . 341 (11): 91-118. Código bibliográfico : 1911AnP...341...91E. doi : 10.1002/andp.19113411106.

Lectura adicional

• Kroemer, Herbert ; Kittel, Charles (1980). "Capítulo 4". Física térmica (2.ª ed.). WH Freeman Company. ISBN 0-7167-1088-9.
• Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernardo; Laloe; Franck (1977). Mecánica cuántica: volumen uno . Hermann, París. págs. 624–626. ISBN 0-471-16433-X.