Longitud de dispersión

La longitud de dispersión en mecánica cuántica describe la dispersión de baja energía . Para potenciales que decaen más rápido que as , se define como el siguiente límite de baja energía : ${\displaystyle 1/r^{3}}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{k\to 0}k\cot \delta (k)=-{\frac {1}{a}}\;,}$

donde es la longitud de dispersión, es el número de onda y es el cambio de fase de la onda esférica saliente. La sección transversal elástica , , a bajas energías está determinada únicamente por la longitud de dispersión: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \delta (k)}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma _{e}=4\pi a^{2}\;.}$

Concepto general

Cuando una partícula lenta se dispersa desde un dispersor de corto alcance (por ejemplo, una impureza en un sólido o una partícula pesada), no puede resolver la estructura del objeto ya que su longitud de onda de De Broglie es muy larga. La idea es que entonces no debería ser importante qué potencial concreto se dispersa, sino sólo cómo se ve el potencial en escalas de gran longitud. La forma formal de resolver este problema es hacer una expansión de onda parcial (algo análoga a la expansión multipolar en la electrodinámica clásica ), donde se expanden los componentes del momento angular de la onda saliente. Con muy baja energía, la partícula entrante no ve ninguna estructura, por lo tanto, en el orden más bajo, solo se tiene una onda saliente esférica, llamada onda s en analogía con el orbital atómico en el momento angular número cuántico l =0. A energías más altas también es necesario considerar la dispersión de las ondas p y d ( l = 1,2), etc. ${\displaystyle V(r)}$

La idea de describir propiedades de baja energía en términos de unos pocos parámetros y simetrías es muy poderosa y también está detrás del concepto de renormalización .

El concepto de longitud de dispersión también se puede extender a potenciales que decaen más lentamente que as . Un ejemplo famoso, relevante para la dispersión protón-protón, es la longitud de dispersión modificada por Coulomb. ${\displaystyle 1/r^{3}}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

Ejemplo

Como ejemplo de cómo calcular la longitud de dispersión de la onda s (es decir, el momento angular) para un potencial dado, observamos el pozo de potencial esférico infinitamente repulsivo de radio en 3 dimensiones. La ecuación radial de Schrödinger ( ) fuera del pozo es exactamente la misma que para una partícula libre: ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

donde el potencial del núcleo duro requiere que la función de onda desaparezca en , . La solución se encuentra fácilmente: ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle u(r_{0})=0}$

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

Aquí y está el cambio de fase de la onda s (la diferencia de fase entre la onda entrante y saliente), que está fijado por la condición de contorno ; es una constante de normalización arbitraria. ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$ ${\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$ ${\displaystyle u(r_{0})=0}$ ${\displaystyle A}$

Se puede demostrar que, en general, para pequeñas (es decir, baja dispersión de energía). El parámetro de longitud de dimensión se define como longitud de dispersión . Por lo tanto, para nuestro potencial tenemos , en otras palabras, la longitud de dispersión de una esfera dura es solo el radio. (Como alternativa, se podría decir que un potencial arbitrario con una longitud de dispersión de onda s tiene las mismas propiedades de dispersión de baja energía que una esfera dura de radio ). Para relacionar la longitud de dispersión con los observables físicos que se pueden medir en un experimento de dispersión, necesitamos calcular la sección transversal . En la teoría de la dispersión, la función de onda asintótica se escribe como (asumimos que hay un dispersor de rango finito en el origen y hay una onda plana entrante a lo largo del eje): ${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a=r_{0}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

¿Dónde está la amplitud de dispersión ? Según la interpretación de probabilidad de la mecánica cuántica, la sección transversal diferencial viene dada por (la probabilidad por unidad de tiempo de dispersarse en la dirección ). Si consideramos solo la dispersión de la onda s, la sección transversal diferencial no depende del ángulo , y la sección transversal de dispersión total es justa . La parte de onda s de la función de onda se proyecta utilizando la expansión estándar de una onda plana en términos de ondas esféricas y polinomios de Legendre : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

Al hacer coincidir el componente de con la solución de la onda s (donde normalizamos de manera que la onda entrante tenga un prefactor de unidad) se tiene: ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{ikz}}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

Esto da:

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

Ver también

• Pseudopotencial de Fermi
• Longitud de dispersión de neutrones

Referencias

• Landau, LD; Lifshitz, EM (2003). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Ámsterdam: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3539-8.