En matemáticas , particularmente en el análisis p -ádico , la función exponencial p -ádica es un análogo p -ádico de la función exponencial habitual en los números complejos . Como en el caso complejo, tiene una función inversa, llamada logaritmo p -ádico .
La función exponencial habitual en C está definida por la serie infinita
De manera completamente análoga, se define la función exponencial en C p , la completitud del cierre algebraico de Q p , por
Sin embargo, a diferencia de exp que converge en todo C , exp p solo converge en el disco
Esto se debe a que las series p -ádicas convergen si y solo si los sumandos tienden a cero, y dado que el n ! en el denominador de cada sumando tiende a hacerlos grandes p -ádicamente, se necesita un valor pequeño de z en el numerador. De la fórmula de Legendre se deduce que si entonces tiende a , p -ádicamente.
Aunque la exponencial p -ádica a veces se denota e x , el número e en sí mismo no tiene un análogo p -ádico. Esto se debe a que la serie de potencias exp p ( x ) no converge en x = 1 . Es posible elegir un número e como raíz p -ésima de exp p ( p ) para p ≠ 2 , [a] pero hay múltiples raíces de este tipo y no hay una elección canónica entre ellas. [1]
La serie de potencia
converge para x en C p satisfaciendo | x | p < 1 y por lo tanto define la función logaritmo p-ádico log p ( z ) para | z − 1| p < 1 satisfaciendo la propiedad habitual log p ( zw ) = log p z + log p w . La función log p se puede extender a todos los C ×
(el conjunto de elementos distintos de cero de C p ) imponiendo que continúa satisfaciendo esta última propiedad y fijando log p ( p ) = 0. Específicamente, cada elemento w de C ×
se puede escribir como w = p r ·ζ· z con r un número racional, ζ una raíz de la unidad y | z − 1| p < 1, [2] en cuyo caso log p ( w ) = log p ( z ). [b] Esta función en C ×
A veces se lo denomina logaritmo de Iwasawa para enfatizar la elección de log p ( p ) = 0. De hecho, existe una extensión del logaritmo desde | z − 1 | p < 1 a todos los C ×
para cada elección de log p ( p ) en C p . [3]
Si z y w están ambos en el radio de convergencia para exp p , entonces su suma también lo es y tenemos la fórmula de adición habitual: exp p ( z + w ) = exp p ( z )exp p ( w ).
De manera similar, si z y w son elementos distintos de cero de C p, entonces log p ( zw ) = log p z + log p w .
Para z en el dominio de exp p , tenemos exp p (log p (1+ z )) = 1+ z y log p (exp p ( z )) = z .
Las raíces del logaritmo de Iwasawa log p ( z ) son exactamente los elementos de C p de la forma p r ·ζ donde r es un número racional y ζ es una raíz de la unidad. [4]
Nótese que no existe análogo en C p de la identidad de Euler , e 2 πi = 1. Este es un corolario del teorema de Strassmann .
Otra diferencia importante con la situación en C es que el dominio de convergencia de exp p es mucho menor que el de log p . En su lugar, se puede utilizar una función exponencial modificada (la exponencial de Artin-Hasse ) que converge en | z | p < 1.
