Función logarítmicamente cóncava

En el análisis convexo , una función no negativa $f : R n \to R +$ es logarítmicamente cóncava (o log-cóncava para abreviar) si su dominio es un conjunto convexo y si satisface la desigualdad

f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }

para todo $x, y \in dom f$ y $0 < θ < 1$ . Si $f$ es estrictamente positivo, esto es equivalente a decir que el logaritmo de la función, $log \circ f$ , es cóncavo ; es decir,

\log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)

para todos $x, y \in dom f$ y $0 < θ < 1$ .

Ejemplos de funciones log-cóncavas son las funciones indicadoras 0-1 de conjuntos convexos (que requieren una definición más flexible) y la función gaussiana .

De manera similar, una función es log-convexa si satisface la desigualdad inversa

f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }

para todos $x, y \in dom f$ y $0 < θ < 1$ .

Propiedades

Una función logarítmica-cóncava también es cuasi-cóncava . Esto se deduce del hecho de que el logaritmo es monótono, lo que implica que los conjuntos de supernivel de esta función son convexos. ^[1]
Toda función cóncava que no sea negativa en su dominio es log-cóncava. Sin embargo, lo inverso no necesariamente se cumple. Un ejemplo es la función gaussiana $f (x)$ = $exp(- x 2 /2)$ que es log-cóncava ya que $log f (x)$ = $- x 2 /2$ es una función cóncava de $x$ . Pero $f$ no es cóncava ya que la segunda derivada es positiva para | $x$ | > 1:

f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0

A partir de los dos puntos anteriores, concavidad log-concavidad quasiconcavidad . $\Flecha derecha$ $\Flecha derecha$
Una función no negativa, dos veces diferenciable, con un dominio convexo es log-cóncava si y sólo si para todo $x$ que satisface $f (x) > 0$ ,

f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

, ^[1]

es decir

f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

Semidefinida negativa . Para funciones de una variable, esta condición se simplifica a

f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}

Operaciones que preservan la concavidad logarítmica

Productos: El producto de funciones logarítmicas cóncavas también es logarítmicamente cóncava. De hecho, si $f$ y $g$ son funciones logarítmicas cóncavas, entonces $log f$ y $log g$ son cóncavas por definición. Por lo tanto

\log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))

es cóncava y, por lo tanto, también

f g

es logaritmo-cóncava.

Marginales : si $f (x, y)$ : $R n + m \to R$ es log-cóncava, entonces

g(x)=\int f(x,y)dy

es logaritmo-cóncava (véase desigualdad de Prékopa-Leindler ).

Esto implica que la convolución preserva la concavidad logarítmica, ya que $h (x, y)$ = $f (x - y) g (y)$ es logarítmicamente cóncava si $f$ y $g$ son logarítmicamente cóncavas, y por lo tanto

(f*g)(x)=\int f(xy)g(y)dy=\int h(x,y)dy

es logarítmicamente cóncava.

Distribuciones logarítmicas cóncavas

Las distribuciones log-cóncavas son necesarias para varios algoritmos, por ejemplo, el muestreo de rechazo adaptativo . Toda distribución con densidad log-cóncava es una distribución de probabilidad de entropía máxima con una media especificada μ y una medida de riesgo de desviación D. ^[2] Resulta que muchas distribuciones de probabilidad comunes son log-cóncavas. Algunos ejemplos: [ ^3]

la distribución normal y las distribuciones normales multivariadas ,
la distribución exponencial ,
la distribución uniforme sobre cualquier conjunto convexo ,
la distribución logística ,
la distribución de valores extremos ,
la distribución de Laplace ,
la distribución chi ,
la distribución secante hiperbólica ,
la distribución de Wishart , si n ≥ p + 1, ^[4]
la distribución de Dirichlet , si todos los parámetros son ≥ 1, ^[4]
la distribución gamma si el parámetro de forma es ≥ 1,
la distribución de chi-cuadrado si el número de grados de libertad es ≥ 2,
la distribución beta si ambos parámetros de forma son ≥ 1, y
la distribución de Weibull si el parámetro de forma es ≥ 1.

Tenga en cuenta que todas las restricciones de parámetros tienen la misma fuente básica: el exponente de la cantidad no negativa debe ser no negativo para que la función sea logarítmica-cóncava.

Las siguientes distribuciones no son logarítmicamente cóncavas para todos los parámetros:

Tenga en cuenta que la función de distribución acumulativa (CDF) de todas las distribuciones logarítmicas cóncavas también es logarítmicamente cóncava. Sin embargo, algunas distribuciones no logarítmicas también tienen CDF logarítmicamente cóncavas:

la distribución log-normal ,
la distribución de Pareto ,
la distribución de Weibull cuando el parámetro de forma < 1, y
la distribución gamma cuando el parámetro de forma < 1.

Entre las propiedades de las distribuciones log-cóncavas se encuentran las siguientes:

Si una densidad es logarítmicamente cóncava, también lo es su función de distribución acumulativa (CDF).
Si una densidad multivariada es log-cóncava, también lo es la densidad marginal sobre cualquier subconjunto de variables.
La suma de dos variables aleatorias independientes log-cóncavas es log-cóncava. Esto se deduce del hecho de que la convolución de dos funciones log-cóncavas es log-cóncava.
El producto de dos funciones logarítmicas cóncavas es logarítmicamente cóncava. Esto significa que las densidades conjuntas formadas al multiplicar dos densidades de probabilidad (por ejemplo, la distribución normal-gamma , que siempre tiene un parámetro de forma ≥ 1) serán logarítmicamente cóncavas. Esta propiedad se utiliza mucho en programas de muestreo de Gibbs de propósito general , como BUGS y JAGS , que pueden utilizar el muestreo de rechazo adaptativo en una amplia variedad de distribuciones condicionales derivadas del producto de otras distribuciones.
Si una densidad es logarítmicamente cóncava, también lo es su función de supervivencia . ^[3]
Si una densidad es logarítmica-cóncava, tiene una tasa de riesgo monótona (MHR) y es una distribución regular ya que la derivada del logaritmo de la función de supervivencia es la tasa de riesgo negativa y, por concavidad, es monótona, es decir

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

que es decreciente ya que es la derivada de una función cóncava.

Véase también

Notas

^ ab Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). "Funciones log-cóncavas y log-convexas". Optimización convexa . Cambridge University Press. págs. 104–108. ISBN 0-521-83378-7.
^ Grechuk, Bogdan; Molyboha, Anton; Zabarankin, Michael (mayo de 2009). "Principio de máxima entropía con medidas de desviación general" (PDF) . Matemáticas de la investigación de operaciones . 34 (2): 445–467. doi :10.1287/moor.1090.0377.
^ ab Véase Bagnoli, Mark; Bergstrom, Ted (2005). "Probabilidad log-cóncava y sus aplicaciones" (PDF) . Teoría económica . 26 (2): 445–469. doi :10.1007/s00199-004-0514-4. S2CID 1046688.
^ ab Prékopa, András (1971). "Medidas cóncavas logarítmicas con aplicación a la programación estocástica" (PDF) . Acta Scientiarum Mathematicarum . 32 (3–4): 301–316.

Referencias

Barndorff-Nielsen, Ole (1978). Información y familias exponenciales en la teoría estadística . Serie Wiley en probabilidad y estadística matemática. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. pp. ix+238 pp. ISBN 0-471-99545-2.Sr . 0489333.
Dharmadhikari, Sudhakar; Joag-Dev, Kumar (1988). Unimodalidad, convexidad y aplicaciones . Probabilidad y estadística matemática. Boston, MA: Academic Press, Inc., págs. xiv+278. ISBN 0-12-214690-5.Sr. 0954608 .

Pfanzagl, Johann; con la ayuda de R. Hamböker (1994). Teoría estadística paramétrica . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8.Señor 1291393 .

Pečarić, Josip E.; Proschan, Frank; Tong, YL (1992). Funciones convexas, ordenamientos parciales y aplicaciones estadísticas . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. Vol. 187. Boston, MA: Academic Press, Inc. pp. xiv+467 pp. ISBN 0-12-549250-2.Señor 1162312 .