Independencia lineal

Vectores cuyas combinaciones lineales no son cero

Vectores linealmente independientes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Vectores linealmente dependientes en un plano en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

En la teoría de espacios vectoriales , se dice que un conjunto de vectores esLinealmente independientes si no existeuna combinación linealde los vectores que sea igual al vector cero. Si existe tal combinación lineal, entonces se dice que los vectores sonlinealmente dependiente . Estos conceptos son fundamentales para la definición dedimensión.^[1]

Un espacio vectorial puede ser de dimensión finita o infinita, dependiendo del número máximo de vectores linealmente independientes. La definición de dependencia lineal y la capacidad de determinar si un subconjunto de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente son fundamentales para determinar la dimensión de un espacio vectorial.

Definición

Se dice que una secuencia de vectores de un espacio vectorial V es linealmente dependiente , si existen escalares no todos cero, tales que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

donde denota el vector cero. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Esto implica que al menos uno de los escalares es distinto de cero, digamos , y la ecuación anterior se puede escribir como ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},}$

si y si ${\displaystyle k>1,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle k=1.}$

Así, un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si uno de ellos es cero o una combinación lineal de los otros.

Se dice que una secuencia de vectores es linealmente independiente si no es linealmente dependiente, es decir, si la ecuación ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,}$

solo puede satisfacerse mediante para Esto implica que ningún vector en la secuencia puede representarse como una combinación lineal de los vectores restantes en la secuencia. En otras palabras, una secuencia de vectores es linealmente independiente si la única representación de como una combinación lineal de sus vectores es la representación trivial en la que todos los escalares son cero. ^[2] Aún más concisamente, una secuencia de vectores es linealmente independiente si y solo si puede representarse como una combinación lineal de sus vectores de una manera única. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\textstyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Si una secuencia de vectores contiene dos veces el mismo vector, es necesariamente dependiente. La dependencia lineal de una secuencia de vectores no depende del orden de los términos de la secuencia. Esto permite definir la independencia lineal para un conjunto finito de vectores: Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si la secuencia obtenida al ordenarlos es linealmente independiente. En otras palabras, se tiene el siguiente resultado que suele ser útil.

Una secuencia de vectores es linealmente independiente si y sólo si no contiene el mismo vector dos veces y el conjunto de sus vectores es linealmente independiente.

Caso infinito

Un conjunto infinito de vectores es linealmente independiente si cada subconjunto finito no vacío es linealmente independiente. A la inversa, un conjunto infinito de vectores es linealmente dependiente si contiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente o, equivalentemente, si algún vector del conjunto es una combinación lineal de otros vectores del conjunto.

Una familia de vectores indexada es linealmente independiente si no contiene el mismo vector dos veces y si el conjunto de sus vectores es linealmente independiente. En caso contrario, se dice que la familia es linealmente dependiente .

Un conjunto de vectores que es linealmente independiente y abarca un espacio vectorial forma una base para ese espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio vectorial de todos los polinomios en x sobre los números reales tiene como base el subconjunto (infinito) {1, x , x ² , ...} .

Ejemplos geométricos

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$y son independientes y definen el plano P. ${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, y son dependientes porque los tres están contenidos en el mismo plano. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$y son dependientes porque son paralelas entre sí. ${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, y son independientes porque y son independientes entre sí y no es una combinación lineal de ellos o, equivalentemente, porque no pertenecen a un plano común. Los tres vectores definen un espacio tridimensional. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Los vectores (vector nulo, cuyos componentes son iguales a cero) y son dependientes ya que ${\displaystyle {\vec {o}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}$

Ubicación geográfica

Una persona que describe la ubicación de un lugar determinado podría decir: "Está a 3 millas al norte y 4 millas al este de aquí". Esta es información suficiente para describir la ubicación, porque el sistema de coordenadas geográficas puede considerarse como un espacio vectorial bidimensional (ignorando la altitud y la curvatura de la superficie de la Tierra). La persona podría agregar: "El lugar está a 5 millas al noreste de aquí". Esta última afirmación es verdadera , pero no es necesaria para encontrar la ubicación.

En este ejemplo, el vector "3 millas al norte" y el vector "4 millas al este" son linealmente independientes. Es decir, el vector norte no se puede describir en términos del vector este, y viceversa. El tercer vector "5 millas al noreste" es una combinación lineal de los otros dos vectores, y hace que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente , es decir, uno de los tres vectores es innecesario para definir una ubicación específica en un plano.

También tenga en cuenta que si no se ignora la altitud, se hace necesario agregar un tercer vector al conjunto linealmente independiente. En general, se requieren n vectores linealmente independientes para describir todas las ubicaciones en el espacio n -dimensional.

Evaluación de la independencia lineal

El vector cero

Si uno o más vectores de una secuencia dada de vectores es el vector cero , entonces los vectores son necesariamente linealmente dependientes (y, en consecuencia, no son linealmente independientes). Para ver por qué, supongamos que es un índice (es decir, un elemento de ) tal que Entonces sea (alternativamente, siendo igual a cualquier otro escalar distinto de cero también funcionará) y luego sean todos los demás escalares (explícitamente, esto significa que para cualquier índice distinto de (es decir, para ), sea de modo que, en consecuencia, ). Simplificando obtenemos: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{i}:=1}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle a_{j}:=0}$ ${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Como no todos los escalares son cero (en particular, ), esto demuestra que los vectores son linealmente dependientes. ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

En consecuencia, el vector cero no puede pertenecer a ninguna colección de vectores que sea linealmente independiente .

Ahora considere el caso especial donde la secuencia de tiene longitud (es decir, el caso donde ). Una colección de vectores que consta exactamente de un vector es linealmente dependiente si y solo si ese vector es cero. Explícitamente, si es cualquier vector, entonces la secuencia (que es una secuencia de longitud ) es linealmente dependiente si y solo si ; alternativamente, la colección es linealmente independiente si y solo si ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

Dependencia e independencia lineal de dos vectores

Este ejemplo considera el caso especial en el que hay exactamente dos vectores y de algún espacio vectorial real o complejo. Los vectores y son linealmente dependientes si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ) o ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ). ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

Si entonces, al establecer tenemos (esta igualdad se cumple sin importar cuál sea el valor de ), lo que demuestra que (1) es verdadera en este caso particular. De manera similar, si entonces (2) es verdadera porque Si (por ejemplo, si ambos son iguales al vector cero ) entonces tanto (1) como (2) son verdaderas (al usar para ambos). ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=1}$

Si entonces solo es posible si y ; en este caso, es posible multiplicar ambos lados por para concluir Esto muestra que si y entonces (1) es verdadero si y solo si (2) es verdadero; es decir, en este caso particular o bien (1) y (2) son verdaderos (y los vectores son linealmente dependientes) o bien (1) y (2) son falsos (y los vectores son linealmente dependientes ). Si pero en cambio entonces al menos uno de y debe ser cero. Además, si exactamente uno de y es (mientras que el otro no es cero) entonces exactamente uno de (1) y (2) es verdadero (y el otro es falso). ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$ ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Los vectores y son linealmente independientes si y sólo si no es un múltiplo escalar de y no es un múltiplo escalar de . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Vectores en R2

Tres vectores: Consideremos el conjunto de vectores y luego la condición para la dependencia lineal busca un conjunto de escalares distintos de cero, tales que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Reduce esta ecuación matricial restando la primera fila de la segunda para obtener,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Continúe la reducción de filas (i) dividiendo la segunda fila por 5, y luego (ii) multiplicando por 3 y sumando a la primera fila, es decir

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Reordenando esta ecuación podemos obtener

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

lo que demuestra que existen a _i distintos de cero tales que pueden definirse en términos de y Por lo tanto, los tres vectores son linealmente dependientes. ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

Dos vectores: Ahora considere la dependencia lineal de los dos vectores y verifique, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

La misma reducción de filas presentada anteriormente produce,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Esto demuestra que los vectores y son linealmente independientes. ${\displaystyle a_{i}=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$

Vectores en R4

Para determinar si los tres vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

son linealmente dependientes, forman la ecuación matricial,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Reduce esta ecuación para obtener,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Reordenar para resolver v ₃ y obtener,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente para definir un a _i distinto de cero ,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

donde se puede elegir arbitrariamente. Por lo tanto, los vectores y son linealmente dependientes. ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

Método alternativo que utiliza determinantes

Un método alternativo se basa en el hecho de que los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de la matriz formada al tomar los vectores como sus columnas no es cero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En este caso, la matriz formada por los vectores es

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Podemos escribir una combinación lineal de las columnas como

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Nos interesa saber si A Λ = 0 para algún vector Λ distinto de cero. Esto depende del determinante de , que es ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Como el determinante no es cero, los vectores y son linealmente independientes. ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (-3,2)}$

De lo contrario, supongamos que tenemos vectores de coordenadas, con Entonces A es una matriz n × m y Λ es un vector columna con entradas, y nuevamente estamos interesados ​​en A Λ = 0 . Como vimos anteriormente, esto es equivalente a una lista de ecuaciones. Considere las primeras filas de , las primeras ecuaciones; cualquier solución de la lista completa de ecuaciones también debe ser verdadera para la lista reducida. De hecho, si ⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩ es cualquier lista de filas, entonces la ecuación debe ser verdadera para esas filas. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m<n.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Además, lo inverso es cierto. Es decir, podemos comprobar si los vectores son linealmente dependientes comprobando si ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

para todas las listas posibles de filas. (En el caso , esto requiere solo un determinante, como se indicó anteriormente. Si , entonces es un teorema que los vectores deben ser linealmente dependientes). Este hecho es valioso para la teoría; en los cálculos prácticos hay métodos más eficientes disponibles. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle m>n}$

Más vectores que dimensiones

Si hay más vectores que dimensiones, los vectores son linealmente dependientes. Esto se ilustra en el ejemplo anterior de tres vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Vectores de base natural

Sean y consideremos los siguientes elementos en , conocidos como vectores base naturales : ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

Entonces son linealmente independientes. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

Prueba

Supongamos que son números reales tales que ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .}$

Desde

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),}$

entonces para todos ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Independencia lineal de funciones

Sea el espacio vectorial de todas las funciones diferenciables de una variable real . Entonces las funciones y en son linealmente independientes. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle V}$

Prueba

Supongamos que y son dos números reales tales que ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Tome la primera derivada de la ecuación anterior:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

para todos los valores de Necesitamos demostrar que y Para ello, restamos la primera ecuación de la segunda, obteniendo . Como no es cero para algunos , Se deduce que también. Por lo tanto, según la definición de independencia lineal, y son linealmente independientes. ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle be^{2t}=0}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$

Espacio de dependencias lineales

Una dependencia lineal o relación lineal entre los vectores v ₁ , ..., v _n es una tupla ( a ₁ , ..., a _n ) con n componentes escalares tales que

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Si existe una dependencia lineal con al menos un componente distinto de cero, entonces los n vectores son linealmente dependientes. Las dependencias lineales entre v ₁ , ..., v _n forman un espacio vectorial.

Si los vectores se expresan por sus coordenadas, entonces las dependencias lineales son las soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales , con las coordenadas de los vectores como coeficientes. Por lo tanto, se puede calcular una base del espacio vectorial de dependencias lineales mediante eliminación gaussiana .

Generalizaciones

Independencia afín

Se dice que un conjunto de vectores es afínmente dependiente si al menos uno de los vectores del conjunto puede definirse como una combinación afín de los demás. En caso contrario, el conjunto se denomina afínmente independiente . Cualquier combinación afín es una combinación lineal; por lo tanto, todo conjunto afínmente dependiente es linealmente dependiente. A la inversa, todo conjunto linealmente independiente es afínmente independiente.

Consideremos un conjunto de vectores de tamaño cada uno y consideremos el conjunto de vectores aumentados de tamaño cada uno. Los vectores originales son afínmente independientes si y sólo si los vectores aumentados son linealmente independientes. ^{[3] : 256} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$ ${\displaystyle n+1}$

Subespacios vectoriales linealmente independientes

Se dice que dos subespacios vectoriales y de un espacio vectorial son linealmente independientes si ^[4] De manera más general, se dice que una colección de subespacios de son linealmente independientes si para cada índice donde ^[4] Se dice que el espacio vectorial es una suma directa de si estos subespacios son linealmente independientes y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$

Véase también

• Matroid  – Abstracción de la independencia lineal de los vectores

Referencias

1. GE Shilov, Álgebra lineal (Trad. RA Silverman), Dover Publications, Nueva York, 1977.
2. Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2003). Álgebra lineal . Pearson, 4.ª edición. Págs. 48-49. ISBN. 0130084514.
3. Lovász, László ; Plummer, MD (1986), Teoría de correspondencias , Annals of Discrete Mathematics, vol. 29, Holanda Septentrional, ISBN 0-444-87916-1, Sr.  0859549
4. Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Análisis funcional (segunda edición). Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512.OCLC 829157984  .págs. 3–7

Enlaces externos

• "Independencia lineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones linealmente dependientes en WolframMathWorld.
• Tutorial y programa interactivo sobre Independencia Lineal.
• Introducción a la independencia lineal en KhanAcademy.