Limitación de banda

Limitar una señal para que contenga solo componentes de baja frecuencia

La limitación de banda se refiere a un proceso que reduce la energía de una señal a un nivel aceptablemente bajo fuera de un rango de frecuencia deseado .

La limitación de banda es una parte esencial de muchas aplicaciones en el procesamiento de señales y comunicaciones. Algunos ejemplos incluyen el control de interferencias entre señales de comunicaciones por radiofrecuencia y la gestión de la distorsión por alias asociada con el muestreo para el procesamiento de señales digitales .

Espectro de una señal de banda base de banda limitada en función de la frecuencia

Señales de banda limitada

Una señal de banda limitada es, estrictamente hablando, una señal con energía cero fuera de un rango de frecuencia definido. En la práctica, una señal se considera de banda limitada si su energía fuera de un rango de frecuencia es lo suficientemente baja como para considerarse insignificante en una aplicación determinada.

Una señal de banda limitada puede ser aleatoria ( estocástica ) o no aleatoria ( determinista ).

En general, se requieren infinitos términos en una representación continua de la serie de Fourier de una señal, pero si se puede calcular un número finito de términos de la serie de Fourier a partir de esa señal, se considera que esa señal está limitada en banda. En terminología matemática, una señal limitada en banda tiene una transformada de Fourier o densidad espectral con soporte acotado .

Muestreo de señales de banda limitada

Una señal de banda limitada se puede reconstruir completamente a partir de sus muestras, siempre que la frecuencia de muestreo supere el doble del ancho de banda de la señal. Esta frecuencia de muestreo mínima se denomina frecuencia de Nyquist asociada con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .

Las señales del mundo real no están estrictamente limitadas por una banda y las señales de interés suelen tener energía no deseada fuera de la banda de interés. Debido a esto, las funciones de muestreo y las funciones de procesamiento de señales digitales que cambian las frecuencias de muestreo suelen requerir filtros limitadores de banda para controlar la cantidad de distorsión por alias . Los filtros limitadores de banda deben diseñarse con cuidado para gestionar otras distorsiones porque alteran la señal de interés tanto en su magnitud y fase en el dominio de frecuencia como en sus propiedades en el dominio del tiempo .

Un ejemplo de una señal determinista simple con banda limitada es una sinusoide de la forma Si esta señal se muestrea a una velocidad tal que tengamos las muestras para todos los números enteros , podemos recuperarnos completamente de estas muestras. De manera similar, las sumas de sinusoides con diferentes frecuencias y fases también están limitadas en banda a la más alta de sus frecuencias. ${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$ ${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$ ${\displaystyle x(nT),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x(t)}$

La señal cuya transformada de Fourier se muestra en la figura también está limitada en banda. Supongamos que es una señal cuya transformada de Fourier es la magnitud de la cual se muestra en la figura. El componente de frecuencia más alto en es Como resultado, la tasa de Nyquist es ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle B.}$

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

o el doble del componente de frecuencia más alta de la señal, como se muestra en la figura. Según el teorema de muestreo, es posible reconstruir de forma completa y exacta utilizando las muestras ${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$para todos los números enteros y ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

mientras

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

La reconstrucción de una señal a partir de sus muestras se puede lograr utilizando la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Limitado por banda versus limitado por tiempo

Una señal limitada en banda no puede estar limitada en el tiempo. Más precisamente, una función y su transformada de Fourier no pueden tener ambas un soporte finito a menos que sea idénticamente cero. Este hecho se puede demostrar mediante análisis complejos y propiedades de la transformada de Fourier.

Prueba: Supongamos que existe una señal f(t) que tiene un soporte finito en ambos dominios y no es idénticamente cero. Muestreémosla más rápido que la frecuencia de Nyquist y calculemos la transformada de Fourier y la transformada de Fourier de tiempo discreto respectivas . Según las propiedades de la DTFT, , donde es la frecuencia utilizada para la discretización. Si f está limitada en banda, es cero fuera de un cierto intervalo, por lo que con , será cero también en algunos intervalos, ya que los soportes individuales de en la suma de no se superpondrán. Según la definición de la DTFT, es una suma de funciones trigonométricas y, dado que f(t) está limitada en el tiempo, esta suma será finita, por lo que será en realidad un polinomio trigonométrico . Todos los polinomios trigonométricos son holomorfos en un plano complejo completo y hay un teorema simple en el análisis complejo que dice que todos los ceros de una función holomorfa no constante están aislados . Pero esto contradice nuestro hallazgo anterior de que los intervalos están llenos de ceros, porque los puntos en dichos intervalos no están aislados. Por lo tanto, la única señal limitada en el tiempo y el ancho de banda es un cero constante. ${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$ ${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Una consecuencia importante de este resultado es que es imposible generar una señal verdaderamente limitada en cualquier situación del mundo real, porque una señal limitada en banda requeriría un tiempo infinito para transmitirse. Todas las señales del mundo real están, por necesidad, limitadas en el tiempo , lo que significa que no pueden estar limitadas en banda. Sin embargo, el concepto de una señal limitada en banda es una idealización útil para fines teóricos y analíticos. Además, es posible aproximar una señal limitada en banda a cualquier nivel arbitrario de precisión deseado.

Una relación similar entre la duración en el tiempo y el ancho de banda en la frecuencia también forma la base matemática del principio de incertidumbre en la mecánica cuántica . En ese contexto, el "ancho" de las funciones del dominio del tiempo y del dominio de la frecuencia se evalúan con una medida similar a la varianza . Cuantitativamente, el principio de incertidumbre impone la siguiente condición en cualquier forma de onda real:

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

dónde

${\displaystyle W_{B}}$es una medida (adecuadamente elegida) de ancho de banda (en hercios), y

${\displaystyle T_{D}}$es una medida (adecuadamente elegida) de duración del tiempo (en segundos).

En el análisis de tiempo-frecuencia , estos límites se conocen como límite de Gabor y se interpretan como un límite en la resolución simultánea de tiempo-frecuencia que se puede lograr.

Véase también

• Filtro de paso de banda
• Filtro de eliminación de banda

Referencias

• William McC. Siebert (1986). Circuitos, señales y sistemas . Cambridge, MA: MIT Press.