Transformada de Fourier de tiempo discreto

Técnica de análisis de Fourier aplicada a secuencias

En matemáticas , la transformada de Fourier de tiempo discreto ( DTFT ) es una forma de análisis de Fourier que se aplica a una secuencia de valores discretos.

La DTFT se utiliza a menudo para analizar muestras de una función continua. El término tiempo discreto se refiere al hecho de que la transformada opera sobre datos discretos, a menudo muestras cuyo intervalo tiene unidades de tiempo. A partir de muestras espaciadas uniformemente, produce una función de frecuencia que es una suma periódica de la transformada de Fourier continua de la función continua original. Bajo ciertas condiciones teóricas, descritas por el teorema de muestreo , la función continua original se puede recuperar perfectamente a partir de la DTFT y, por lo tanto, de las muestras discretas originales. La DTFT en sí es una función continua de frecuencia, pero las muestras discretas de ella se pueden calcular fácilmente mediante la transformada de Fourier discreta (DFT) (ver § Muestreo de la DTFT), que es, con mucho, el método más común de análisis de Fourier moderno.

Ambas transformadas son invertibles. La DTFT inversa es la secuencia de datos muestreados original. La DFT inversa es una suma periódica de la secuencia original. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular un ciclo de la DFT, y su inversa produce un ciclo de la DFT inversa.

Introducción

Relación con la transformada de Fourier

Comenzamos con una definición común de la integral de la transformada de Fourier :

${\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.}$

Esto se reduce a una suma (ver Transformada de Fourier § Integración numérica de una serie de pares ordenados ) cuando se reemplaza por una secuencia discreta de sus muestras, para valores enteros de también se reemplaza por dejando : ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(nT),}$ ${\displaystyle n.}$  ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle T,}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn},}$

que es una serie de Fourier en frecuencia, con periodicidad El subíndice la distingue de y de la forma de frecuencia angular de la DTFT. Es decir, cuando la variable de frecuencia, tiene unidades normalizadas de radianes/muestra , la periodicidad es y la serie de Fourier es : ^{[1] : p.147} ${\displaystyle 1/T.}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle 2\pi ,}$

Fig. 1. Representación de una transformada de Fourier (arriba a la izquierda) y su suma periódica (DTFT) en la esquina inferior izquierda. La esquina inferior derecha muestra muestras de la DTFT calculadas mediante una transformada de Fourier discreta (DFT).

La utilidad de la DTFT se basa en la fórmula de suma de Poisson , que nos dice que la función periódica representada por la serie de Fourier es una suma periódica de la transformada de Fourier : ^{[a] [A]}

Suma de Poisson

El entero tiene unidades de ciclos/muestra y es la frecuencia de muestreo ( muestras/seg ). Por lo tanto, comprende copias exactas de que se desplazan en múltiplos de hercios y se combinan mediante la adición. Para valores suficientemente grandes, el término se puede observar en la región con poca o ninguna distorsión ( aliasing ) de los otros términos.  La figura 1 muestra un ejemplo en el que no es lo suficientemente grande como para evitar el aliasing. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}$ ${\displaystyle 1/T}$

También observamos que es la transformada de Fourier de Por lo tanto, una definición alternativa de DTFT es : ^[B] ${\displaystyle e^{-i2\pi fTn}}$ ${\displaystyle \delta (t-nT).}$

La función de peine de Dirac modulada es una abstracción matemática a la que a veces se hace referencia como muestreo de impulsos . ^[3]

Transformada inversa

Una operación que recupera la secuencia de datos discretos de la función DTFT se denomina DTFT inversa . Por ejemplo, la transformada de Fourier continua inversa de ambos lados de la ecuación 3 produce la secuencia en forma de una función de peine de Dirac modulada :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Sin embargo, teniendo en cuenta que es periódica, toda la información necesaria está contenida dentro de cualquier intervalo de longitud.   En las ecuaciones 1 y 2 , las sumas sobre son una serie de Fourier , con coeficientes   Las fórmulas estándar para los coeficientes de Fourier también son las transformadas inversas : ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$ ${\displaystyle 1/T.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s[n].}$

Datos periódicos

Cuando la secuencia de datos de entrada es -periódica, la ecuación 2 se puede reducir computacionalmente a una transformada de Fourier discreta (DFT), porque : ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle N}$

• Toda la información disponible está contenida en muestras. ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$converge a cero en todas partes excepto en múltiplos enteros de las frecuencias conocidas como armónicas . En esas frecuencias, la DTFT diverge a diferentes tasas dependientes de la frecuencia. Y esas tasas están dadas por la DFT de un ciclo de la secuencia. ${\displaystyle 1/(NT),}$ ${\displaystyle s[n]}$
• La DTFT es periódica, por lo que el número máximo de amplitudes armónicas únicas es ${\displaystyle (1/T)/(1/(NT))=N.}$

La DFT de un ciclo de la secuencia es : ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .}$

Y se puede expresar en términos de la transformada inversa, a la que a veces se hace referencia como serie de Fourier discreta (DFS) : ^{[1] : pág. 542} ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .}$

Con estas definiciones podemos demostrar la relación entre la DTFT y la DFT :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$      ^{[b] [C]}

Debido a la periodicidad de ambas funciones esto se puede simplificar a : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}$

que satisface el requisito de transformación inversa :

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}$

Muestreo de la DTFT

Cuando la DTFT es continua, una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras de un ciclo de la función periódica : ^{[1] : pp 557–559 y 703} ${\displaystyle (N)}$ ${\displaystyle S_{1/T}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}S_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

donde es una suma periódica : ${\displaystyle s_{_{N}}}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}$     (ver Serie de Fourier discreta )

La secuencia es la DFT inversa. Por lo tanto, nuestro muestreo de la DTFT hace que la transformada inversa se vuelva periódica. La matriz de valores se conoce como periodograma y el parámetro se denomina NFFT en la función de Matlab del mismo nombre. ^[4] ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle |S_{k}|^{2}}$ ${\displaystyle N}$

Para evaluar numéricamente un ciclo, necesitamos una secuencia de longitud finita. Por ejemplo, una secuencia larga podría truncarse mediante una función de ventana de longitud, lo que daría lugar a tres casos que merecen una mención especial. Para simplificar la notación, considere los valores siguientes para representar los valores modificados por la función de ventana. ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s[n]}$

Caso: Decimación de frecuencia para algún número entero (normalmente 6 u 8) ${\displaystyle L=N\cdot I,}$ ${\displaystyle I}$

Un ciclo se reduce a una suma de segmentos de longitud.   La DFT luego recibe varios nombres, como : ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N.}$

• ventana-supuesta FFT ^[5]
• Peso, superposición, adición (WOLA) ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [D] [E]}

• DFT polifásica ^{[9] [10]}
• banco de filtros polifásicos ^[12]
• Ventanas de bloques múltiples y aliasing temporal . ^[13]

Recordemos que la decimación de los datos muestreados en un dominio (tiempo o frecuencia) produce superposición (a veces conocida como aliasing ) en el otro, y viceversa. En comparación con una DFT de longitud, la suma/superposición causa una decimación en la frecuencia, ^{[1] : p.558} dejando solo las muestras DTFT menos afectadas por la fuga espectral . Esto suele ser una prioridad cuando se implementa un banco de filtros FFT (canalizador). Con una función de ventana convencional de longitud, la pérdida por festoneado sería inaceptable. Por lo tanto, se crean ventanas de múltiples bloques utilizando herramientas de diseño de filtros FIR . ^{[14] [15]}   Su perfil de frecuencia es plano en el punto más alto y cae rápidamente en el punto medio entre las muestras DTFT restantes. Cuanto mayor sea el valor del parámetro, mejor será el rendimiento potencial. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle I,}$

Caso: ${\displaystyle L=N+1}$

Cuando una función de ventana simétrica de longitud ( ) se trunca en 1 coeficiente, se denomina periódica o DFT-par . Se trata de una práctica común, pero el truncamiento afecta a la DTFT (fuga espectral) en una pequeña cantidad. Al menos es de interés académico caracterizar ese efecto. Una DFT de longitud de la ventana truncada produce muestras de frecuencia a intervalos de en lugar de   Las muestras tienen valores reales, ^{[16] : p.52}   pero sus valores no coinciden exactamente con la DTFT de la ventana simétrica. La suma periódica, junto con una DFT de longitud, también se puede utilizar para muestrear la DTFT a intervalos de   Esas muestras también tienen valores reales y coinciden exactamente con la DTFT (ejemplo: Archivo:Muestreo de la transformada de Fourier de tiempo discreto.svg ). Para utilizar la ventana simétrica completa para el análisis espectral en el espaciado, se combinarían las muestras de datos y (por adición, porque la ventana simétrica las pondera por igual) y luego se aplicaría la ventana simétrica truncada y la DFT de longitud. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/N,}$ ${\displaystyle 1/L.}$ ${\displaystyle s_{_{N}},}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/N.}$ ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=N}$ ${\displaystyle N}$

Fig. 2. DFT de e ^i2πn/8 para L = 64 y N = 256

Fig. 3. DFT de e ^i2πn/8 para L = 64 y N = 64

Caso: Interpolación de frecuencia. ${\displaystyle L\leq N}$

En este caso, la DFT se simplifica a una forma más familiar :

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Para aprovechar el algoritmo de transformada rápida de Fourier para calcular la DFT, la suma se realiza generalmente sobre todos los términos, incluso si algunos de ellos son ceros. Por lo tanto, el caso se conoce a menudo como relleno de ceros . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N-L}$ ${\displaystyle L<N}$

La fuga espectral, que aumenta a medida que disminuye, es perjudicial para ciertas métricas de rendimiento importantes, como la resolución de múltiples componentes de frecuencia y la cantidad de ruido medida por cada muestra de DTFT. Pero esas cosas no siempre importan, por ejemplo, cuando la secuencia es una sinusoide sin ruido (o una constante), moldeada por una función de ventana. En ese caso, es una práctica común utilizar relleno de ceros para mostrar y comparar gráficamente los patrones de fuga detallados de las funciones de ventana. Para ilustrar eso para una ventana rectangular, considere la secuencia: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$y ${\displaystyle L=64.}$

Las figuras 2 y 3 son gráficos de la magnitud de dos DFT de diferentes tamaños, como se indica en sus etiquetas. En ambos casos, el componente dominante está en la frecuencia de la señal: . También es visible en la figura 2 el patrón de fuga espectral de la ventana rectangular. La ilusión en la figura 3 es el resultado de muestrear la DTFT solo en sus cruces por cero. En lugar de la DTFT de una secuencia de longitud finita, da la impresión de una secuencia sinusoidal infinitamente larga. Los factores que contribuyen a la ilusión son el uso de una ventana rectangular y la elección de una frecuencia (1/8 = 8/64) con exactamente 8 ciclos (un entero) por 64 muestras. Una ventana de Hann produciría un resultado similar, excepto que el pico se ampliaría a 3 muestras (ver DFT-ventana de Hann par). ${\displaystyle f=1/8=0.125}$ ${\displaystyle L=64}$

Circunvolución

El teorema de convolución para secuencias es :

${\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[17] : pág. 297  [c]}

Un caso especial importante es la convolución circular de las secuencias s e y definidas por donde es una suma periódica. La naturaleza de frecuencia discreta de significa que el producto con la función continua también es discreto, lo que resulta en una simplificación considerable de la transformada inversa : ${\displaystyle s_{_{N}}*y,}$ ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[18] [1] : pág. 548}

Para las secuencias s e y cuya duración distinta de cero es menor o igual a N , una simplificación final es :

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

La importancia de este resultado se explica en Algoritmos de convolución circular y convolución rápida .

Propiedades de simetría

Cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay una correspondencia biunívoca entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja : ^{[17] : p.291}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ s\quad &=\quad &s_{_{RE}}\quad &+\quad &s_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &s_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ s_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &S\quad &=\quad &S_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ S_{IO}} \quad &+\quad i\ &S_{IE}\quad &+\quad &S_{RO}\end{aligned}}}$

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real es la función simétrica conjugada . Por el contrario, una transformada simétrica conjugada implica un dominio de tiempo de valor real. ${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$ ${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• La transformada de una función de valor imaginario es la función antisimétrica conjugada y la inversa es verdadera. ${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$ ${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• La transformada de una función simétrica conjugada es la función de valor real y la inversa es verdadera. ${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$ ${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• La transformada de una función antisimétrica conjugada es la función de valor imaginario y la recíproca es verdadera. ${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$ ${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

Relación con la transformada Z

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$es una serie de Fourier que también puede expresarse en términos de la transformada Z bilateral . Es decir :

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\left.S_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=S_{z}(e^{i\omega }),}$

donde la notación distingue la transformada Z de la transformada de Fourier. Por lo tanto, también podemos expresar una parte de la transformada Z en términos de la transformada de Fourier : ${\displaystyle S_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{z}(e^{i\omega })&=\ S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Nótese que cuando el parámetro T cambia, los términos de permanecen separados por una distancia constante y su ancho aumenta o disminuye. Los términos de S _{1/ T} ( f ) permanecen separados por una distancia constante y su ancho aumenta o disminuye . ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Tabla de transformadas de Fourier de tiempo discreto

En la siguiente tabla se muestran algunos pares de transformaciones comunes. Se aplica la siguiente notación :

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$es un número real que representa la frecuencia angular continua (en radianes por muestra). ( está en ciclos/seg, y está en segundos/muestra). En todos los casos de la tabla, la DTFT es 2π-periódica (en ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$designa una función definida en . ${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$
• ${\displaystyle S_{o}(\omega )}$designa una función definida en , y cero en cualquier otro lugar. Entonces: ${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$ $${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k).}$$
• ${\displaystyle \delta (\omega )}$es la función delta de Dirac
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$ es la función sinc normalizada
• ${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$es la función triangular
• n es un número entero que representa el dominio del tiempo discreto (en muestras)
• ${\displaystyle u[n]}$es la función escalón unitario de tiempo discreto
• ${\displaystyle \delta [n]}$¿Es el delta de Kronecker? ${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Propiedades

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y los efectos correspondientes en el dominio de la frecuencia.

• ${\displaystyle *\!}$es la convolución discreta de dos secuencias
• ${\displaystyle s^{*}[n]}$es el complejo conjugado de ${\displaystyle s[n].}$

Véase también

• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Transformación multidimensional
• Transformación de Zak

Notas

1. Cuando la dependencia de T no es importante, una práctica común es reemplazarla con Entonces f   tiene unidades de ( ciclos/muestra ), llamada frecuencia normalizada . ${\displaystyle 1.}$
2. De hecho, la ecuación 2 a menudo se justifica de la siguiente manera : ^{[1] : p.143} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}}$$
3. De la § Tabla de transformadas de Fourier de tiempo discreto tenemos:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\\&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(2\pi fT-2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\\&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{2\pi T}}\ \delta \left({\tfrac {1}{2\pi T}}\left(2\pi fT-2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\right)\\&={\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$

4. WOLA no debe confundirse con el método de superposición-adición de convolución por partes.
5. Ejemplo de WOLA: Archivo:WOLA channelizer example.png
6. Esta expresión se deriva de la siguiente manera: ^{[1] : p.168}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad S_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}}$

Citas de páginas

1. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 147 (4.20), p 694 (10.1), y Prandoni y Vetterli, ^[2] p 255, (9.33), donde:   por lo tanto   También   y   ${\displaystyle x[n]\triangleq s(nT)={\tfrac {1}{T}}s[n],}$ ${\displaystyle X(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}S_{2\pi }(\omega ).}$ ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq S(f).}$
2. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 551 (8.35), y Prandoni y Vetterli, ^[2] p 82, (4.43). Con definiciones :     y   esta expresión difiere de las referencias por un factor de porque la perdieron al pasar del 3er paso al 4º. Específicamente, la DTFT de en § Tabla de transformadas de Fourier de tiempo discreto tiene un factor que las referencias omitieron. ${\displaystyle {\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}S_{2\pi }(\omega ),}$   ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$  ${\displaystyle {\tilde {X}}[k]\triangleq S[k],}$ ${\displaystyle \delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T),}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{-ian}}$ ${\displaystyle 2\pi }$
3. Oppenheim y Schafer, ^[1] pág. 60, (2.169), y Prandoni y Vetterli, ^[2] pág. 122, (5.21)

Referencias

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16. Harris, Fredric J. (enero de 1978). "Sobre el uso de Windows para el análisis armónico con la transformada discreta de Fourier" (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 51–83. Bibcode :1978IEEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548. 
17. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996). Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3.ª ed.). Nueva Jersey: Prentice-Hall International. Bibcode :1996dspp.book.....P. ISBN 9780133942897. sAcfAQAAIAAJ.
18. Rabiner, Lawrence R .; Gold, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. p. 59 (2.163). ISBN 978-0139141010.

Lectura adicional

• Porat, Boaz (1996). Un curso sobre procesamiento de señales digitales . John Wiley and Sons. Págs. 27-29 y 104-105. ISBN 0-471-14961-6.
• Siebert, William M. (1986). Circuitos, señales y sistemas . Serie de ingeniería eléctrica y ciencias de la computación del MIT. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 0262690950.
• Lyons, Richard G. (2010). Comprensión del procesamiento de señales digitales (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0137027415.