Ley de Curie-Weiss

Modelo de susceptibilidad magnética en determinadas condiciones

En magnetismo , la ley de Curie-Weiss describe la susceptibilidad magnética χ de un ferroimán en la región paramagnética por encima de la temperatura de Curie :

${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}}$

donde C es una constante de Curie específica del material , T es la temperatura absoluta y T _C es la temperatura de Curie , ambas medidas en kelvin . La ley predice una singularidad en la susceptibilidad a T = T _C. Por debajo de esta temperatura, el ferroimán tiene una magnetización espontánea . El nombre se le da en honor a Pierre Curie y Pierre Weiss .

Fondo

Un momento magnético que está presente incluso en ausencia del campo magnético externo se llama magnetización espontánea . Los materiales con esta propiedad se conocen como ferroimanes , como el hierro , el níquel y la magnetita . Sin embargo, cuando estos materiales se calientan, a una determinada temperatura pierden su magnetización espontánea y se vuelven paramagnéticos . Esta temperatura umbral por debajo de la cual un material es ferromagnético se llama temperatura de Curie y es diferente para cada material.

La ley de Curie-Weiss describe los cambios en la susceptibilidad magnética de un material , , cerca de su temperatura de Curie. La susceptibilidad magnética es la relación entre la magnetización del material y el campo magnético aplicado. ${\displaystyle \chi }$

Limitaciones

En muchos materiales, la ley de Curie-Weiss no describe la susceptibilidad en la proximidad inmediata del punto de Curie, ya que se basa en una aproximación de campo medio . En cambio, existe un comportamiento crítico de la forma

${\displaystyle \chi \propto {\frac {1}{(T-T_{\rm {C}})^{\gamma }}}}$

con el exponente crítico γ . Sin embargo, a temperaturas T ≫ T _C la expresión de la ley de Curie-Weiss sigue siendo válida, pero con T _C reemplazada por una temperatura Θ que es algo más alta que la temperatura real de Curie. Algunos autores llaman a Θ la constante de Weiss para distinguirla de la temperatura del punto de Curie real.

Enfoques clásicos de la susceptibilidad magnética y el teorema de Bohr-van Leeuwen

Según el teorema de Bohr-van Leeuwen , cuando se aplican de forma coherente la mecánica estadística y la mecánica clásica, el promedio térmico de la magnetización es siempre cero. El magnetismo no se puede explicar sin la mecánica cuántica. Esto significa que no se puede explicar sin tener en cuenta que la materia está formada por átomos. A continuación se enumeran algunos enfoques semiclásicos para ello, utilizando un modelo atómico simple, ya que son fáciles de entender y relacionar aunque no sean perfectamente correctos.

El momento magnético de un átomo libre se debe al momento angular orbital y al giro de sus electrones y núcleo. Cuando los átomos son tales que sus capas están completamente llenas, no tienen ningún momento dipolar magnético neto en ausencia de un campo magnético externo. Cuando está presente, dicho campo distorsiona las trayectorias (concepto clásico) de los electrones de modo que el campo aplicado podría ser opuesto como predice la ley de Lenz . En otras palabras, el dipolo magnético neto inducido por el campo externo está en la dirección opuesta, y dichos materiales son repelidos por él. Estos se denominan materiales diamagnéticos .

A veces, un átomo tiene un momento dipolar magnético neto incluso en ausencia de un campo magnético externo. Las contribuciones de los electrones individuales y del núcleo al momento angular total no se cancelan entre sí. Esto sucede cuando las capas de los átomos no están completamente llenas ( regla de Hund ). Sin embargo, una colección de tales átomos puede no tener ningún momento magnético neto ya que estos dipolos no están alineados. Un campo magnético externo puede servir para alinearlos hasta cierto punto y desarrollar un momento magnético neto por volumen. Tal alineación depende de la temperatura, ya que la agitación térmica actúa para desorientar los dipolos. Estos materiales se denominan paramagnéticos .

En algunos materiales, los átomos (con momentos dipolares magnéticos netos) pueden interactuar entre sí para alinearse incluso en ausencia de cualquier campo magnético externo cuando la agitación térmica es lo suficientemente baja. La alineación puede ser paralela ( ferromagnetismo ) o antiparalela. En el caso del antiparalelo, los momentos dipolares pueden o no cancelarse entre sí ( antiferromagnetismo , ferromagnetismo ).

Enfoque de matriz de densidad para la susceptibilidad magnética

Tomemos una situación muy simple en la que cada átomo puede ser aproximado como un sistema de dos estados. La energía térmica es tan baja que el átomo está en el estado fundamental. En este estado fundamental, se supone que el átomo no tiene momento angular orbital neto, sino solo un electrón desapareado que le da un espín de la mitad. En presencia de un campo magnético externo, el estado fundamental se dividirá en dos estados que tienen una diferencia de energía proporcional al campo aplicado. El espín del electrón desapareado es paralelo al campo en el estado de mayor energía y antiparalelo en el de menor energía.

Una matriz de densidad , , es una matriz que describe un sistema cuántico en un estado mixto, un conjunto estadístico de varios estados cuánticos (aquí varios átomos de 2 estados similares). Esto debe contrastarse con un único vector de estado que describe un sistema cuántico en un estado puro. El valor esperado de una medición, , sobre el conjunto es . En términos de un conjunto completo de estados, , se puede escribir ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {Tr} (A\rho )}$ ${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =\sum _{ij}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|.}$

La ecuación de von Neumann nos dice cómo evoluciona la matriz de densidad con el tiempo.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[H,\rho (t)]}$

En equilibrio, se tiene , y las matrices de densidad permitidas son . El conjunto canónico tiene , donde . ${\displaystyle [H,\rho ]=0}$ ${\displaystyle f(H)}$ ${\displaystyle \rho =\exp(-H/T)/Z}$ ${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \exp(-H/T)}$

Para el sistema de dos estados, podemos escribir . Aquí está la relación giromagnética . Por lo tanto , y ${\displaystyle H=-\gamma \hbar B\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle Z=2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))}$

${\displaystyle \rho (B,T)={\frac {1}{2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))}}{\begin{pmatrix}\exp(-\gamma \hbar B/(2T))&0\\0&\exp(\gamma \hbar B/(2T))\end{pmatrix}}.}$

De donde

${\displaystyle \langle J_{x}\rangle =\langle J_{y}\rangle =0,\langle J_{z}\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}\tanh(\gamma \hbar B/(2T)).}$

Explicación del paramagnetismo y diamagnetismo mediante la teoría de perturbaciones

En presencia de un campo magnético externo uniforme a lo largo de la dirección z, el hamiltoniano del átomo cambia en ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Delta H=\alpha J_{z}B+\beta B^{2}\sum _{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}),}$

donde son números reales positivos que son independientes del átomo que estemos mirando pero dependen de la masa y la carga del electrón. corresponde a electrones individuales del átomo. ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle i}$

Aplicamos la teoría de perturbación de segundo orden a esta situación. Esto se justifica por el hecho de que incluso para las intensidades de campo más altas alcanzables actualmente, los cambios en el nivel de energía debido a son bastante pequeños con respecto a las energías de excitación atómica. La degeneración del hamiltoniano original se maneja eligiendo una base que diagonaliza en los subespacios degenerados. Sea una base de este tipo para el estado del átomo (en lugar de los electrones en el átomo). Sea el cambio de energía en . Por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle \Delta E_{n}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle \Delta E_{n}=\langle n|\Delta H|n\rangle +\sum _{m,E_{m}\neq E_{n}}{\frac {|\langle n|\Delta H|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}.}$

En nuestro caso podemos ignorar los términos de orden superior. Obtenemos ${\displaystyle B^{3}}$

${\displaystyle \Delta E_{n}=\alpha B\langle n|J_{z}|n\rangle +\alpha ^{2}B^{2}\sum _{m,E_{m}\neq E_{n}}{\frac {|\langle n|J_{z}|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}+\beta B^{2}\sum _{i}\langle n|x_{i}^{2}+y_{i}^{2}|n\rangle .}$

En el caso de los materiales diamagnéticos, los dos primeros términos no están presentes, ya que no tienen momento angular en su estado fundamental. En el caso de los materiales paramagnéticos, los tres términos sí lo están.

Añadiendo interacción espín-espín en el hamiltoniano: modelo de Ising

Hasta ahora, hemos asumido que los átomos no interactúan entre sí. Aunque esta es una suposición razonable en el caso de sustancias diamagnéticas y paramagnéticas, esta suposición falla en el caso del ferromagnetismo, donde los espines del átomo intentan alinearse entre sí en la medida que lo permite la agitación térmica. En este caso, tenemos que considerar el hamiltoniano del conjunto del átomo. Tal hamiltoniano contendrá todos los términos descritos anteriormente para átomos individuales y términos correspondientes a la interacción entre los pares del átomo. El modelo de Ising es una de las aproximaciones más simples de dicha interacción por pares.

${\displaystyle H_{\text{pairs}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{R,R'}S(R)\cdot S(R')J(R-R')}$

Aquí los dos átomos de un par están en . Su interacción está determinada por su vector de distancia . Para simplificar el cálculo, a menudo se supone que la interacción ocurre solo entre átomos vecinos y es constante. El efecto de dicha interacción se suele aproximar como un campo medio y, en nuestro caso, el campo de Weiss. ${\displaystyle R,R'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R-R'}$ ${\displaystyle J}$

Modificación de la ley de Curie debido al campo de Weiss

La ley de Curie-Weiss es una versión adaptada de la ley de Curie, que para un material paramagnético puede escribirse en unidades SI de la siguiente manera, ^[1] asumiendo : ${\displaystyle \chi \ll 1}$ $${\displaystyle \chi ={\frac {M}{H}}\approx {\frac {M\mu _{0}}{B}}={\frac {C}{T}}.}$$

Aquí μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre ; M la magnetización ( momento magnético por unidad de volumen), B = μ ₀ H es el campo magnético y C la constante de Curie específica del material : donde k _B es la constante de Boltzmann , N el número de átomos (o moléculas) magnéticos por unidad de volumen, g el factor g de Landé , μ _B el magnetón de Bohr , J el número cuántico del momento angular . ^[2] $${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}Ng^{2}J(J+1),}$$

Para la Ley de Curie-Weiss, el campo magnético total es B + λM donde λ es la constante del campo molecular de Weiss y luego se puede reorganizar para obtener que es la Ley de Curie-Weiss donde la temperatura de Curie T _C es $${\displaystyle \chi ={\frac {M\mu _{0}}{B}}\rightarrow {\frac {M\mu _{0}}{B+\lambda M}}={\frac {C}{T}}}$$ $${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-{\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}}}}$$ $${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}}$$ $${\displaystyle T_{\rm {C}}={\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}}$$

Véase también

• Ley de Curie
• Paramagnetismo
• Pierre Curie
• Pierre-Ernest Weiss
• Interacción de intercambio

Notas

1. Hall 1994, págs. 205-206
2. Levy 1968, págs. 201-202

Referencias

• Kittel, Charles (1996). Introducción a la física del estado sólido (7.ª ed.). Nueva York [ua]: Wiley. ISBN 978-0471111818.
• Hall, HE Hook, JR (1994). Física del estado sólido (2.ª ed.). Chichester: Wiley. ISBN 0471928054.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Levy, Robert A (1968). Principios de la física del estado sólido . Academic Press. ISBN 978-0124457508.
• Neil Ashcroft , David Mermin (1976). Física del estado sólido . Holt, Rinehart y Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.

Enlaces externos

• Magnetismo: modelos y mecanismos en E. Pavarini, E. Koch y U. Schollwöck: fenómenos emergentes en materia correlacionada, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6