Teoría del campo medio

Aproximación del comportamiento físico

En física y teoría de la probabilidad , la teoría del campo medio ( MFT ) o teoría del campo autoconsistente estudia el comportamiento de modelos aleatorios ( estocásticos ) de alta dimensión mediante el estudio de un modelo más simple que se aproxima al original promediando sobre los grados de libertad (la cantidad de valores en el cálculo final de una estadística que son libres de variar). Dichos modelos consideran muchos componentes individuales que interactúan entre sí.

La idea principal de la MFT es reemplazar todas las interacciones con cualquier cuerpo por una interacción promedio o efectiva, a veces llamada campo molecular . ^[1] Esto reduce cualquier problema de muchos cuerpos a un problema de un cuerpo efectivo . La facilidad de resolver problemas de MFT significa que se puede obtener cierta información sobre el comportamiento del sistema a un menor costo computacional.

Desde entonces, la MFT se ha aplicado a una amplia gama de campos fuera de la física, incluida la inferencia estadística , los modelos gráficos , la neurociencia , ^[2] la inteligencia artificial , los modelos epidémicos , ^[3] la teoría de colas , ^[4] el rendimiento de redes informáticas y la teoría de juegos , ^[5] como en el equilibrio de respuesta cuántica ^{[ cita requerida ]} .

Orígenes

La idea apareció por primera vez en física ( mecánica estadística ) en el trabajo de Pierre Curie ^[6] y Pierre Weiss para describir las transiciones de fase . ^[7] La ​​MFT se ha utilizado en la aproximación de Bragg-Williams, modelos sobre la red de Bethe , la teoría de Landau , la aproximación de Pierre-Weiss, la teoría de soluciones de Flory-Huggins y la teoría de Scheutjens-Fleer .

Los sistemas con muchos (a veces infinitos) grados de libertad son generalmente difíciles de resolver con exactitud o de calcular en forma analítica cerrada, excepto en algunos casos simples (por ejemplo, ciertas teorías de campos aleatorios gaussianos, el modelo de Ising 1D ). A menudo surgen problemas combinatorios que dificultan tareas como el cálculo de la función de partición de un sistema. La MFT es un método de aproximación que a menudo hace que el problema original sea solucionable y abierto al cálculo, y en algunos casos la MFT puede dar aproximaciones muy precisas.

En la teoría de campos , el hamiltoniano puede expandirse en términos de la magnitud de las fluctuaciones alrededor de la media del campo. En este contexto, la MFT puede verse como la expansión de "orden cero" del hamiltoniano en fluctuaciones. Físicamente, esto significa que un sistema MFT no tiene fluctuaciones, pero esto coincide con la idea de que se están reemplazando todas las interacciones con un "campo medio".

Muy a menudo, la MFT proporciona un punto de partida conveniente para estudiar fluctuaciones de orden superior. Por ejemplo, al calcular la función de partición , el estudio de la combinatoria de los términos de interacción en el hamiltoniano puede, en el mejor de los casos, producir resultados de perturbación o diagramas de Feynman que corrijan la aproximación del campo medio.

Validez

En general, la dimensionalidad desempeña un papel activo a la hora de determinar si un método de campo medio funcionará para un problema en particular. A veces hay una dimensión crítica por encima de la cual la MFT es válida y por debajo de la cual no lo es.

Heurísticamente, muchas interacciones se reemplazan en la MFT por una interacción efectiva. Por lo tanto, si el campo o la partícula exhiben muchas interacciones aleatorias en el sistema original, tienden a cancelarse entre sí, por lo que la interacción efectiva media y la MFT serán más precisas. Esto es cierto en casos de alta dimensionalidad, cuando el hamiltoniano incluye fuerzas de largo alcance o cuando las partículas son extendidas (por ejemplo, polímeros ). El criterio de Ginzburg es la expresión formal de cómo las fluctuaciones hacen que la MFT sea una aproximación deficiente, a menudo dependiendo del número de dimensiones espaciales en el sistema de interés.

Enfoque formal (hamiltoniano)

La base formal de la teoría del campo medio es la desigualdad de Bogoliubov . Esta desigualdad establece que la energía libre de un sistema con Hamiltoniano

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}}$

tiene el siguiente límite superior:

${\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},}$

donde es la entropía , y y son las energías libres de Helmholtz . El promedio se toma sobre el conjunto de equilibrio del sistema de referencia con Hamiltoniano . En el caso especial de que el Hamiltoniano de referencia sea el de un sistema no interactuante y por lo tanto se pueda escribir como ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),}$

donde son los grados de libertad de los componentes individuales de nuestro sistema estadístico (átomos, espines, etc.), se puede considerar agudizar el límite superior minimizando el lado derecho de la desigualdad. El sistema de referencia minimizado es entonces la "mejor" aproximación al sistema verdadero utilizando grados de libertad no correlacionados y se conoce como la aproximación del campo medio . ${\displaystyle \xi _{i}}$

Para el caso más común en el que el hamiltoniano objetivo contiene solo interacciones por pares, es decir,

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),}$

donde es el conjunto de pares que interactúan, el procedimiento de minimización se puede llevar a cabo formalmente. Se define como la suma generalizada de los observables sobre los grados de libertad del componente individual (suma para variables discretas, integrales para las continuas). La energía libre aproximada está dada por ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}}$

donde es la probabilidad de encontrar el sistema de referencia en el estado especificado por las variables . Esta probabilidad está dada por el factor de Boltzmann normalizado ${\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}}$

donde es la función de partición . Por lo tanto ${\displaystyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}}$

Para minimizar, tomamos la derivada con respecto a las probabilidades de un solo grado de libertad utilizando un multiplicador de Lagrange para asegurar una normalización adecuada. El resultado final es el conjunto de ecuaciones de autoconsistencia. ${\displaystyle P_{0}^{(i)}}$

${\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,}$

donde el campo medio viene dado por

${\displaystyle h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}$

Aplicaciones

La teoría del campo medio se puede aplicar a varios sistemas físicos para estudiar fenómenos como las transiciones de fase . ^[8]

Modelo de Ising

Derivación formal

La desigualdad de Bogoliubov, mostrada arriba, se puede utilizar para encontrar la dinámica de un modelo de campo medio de la red de Ising bidimensional . Se puede calcular una función de magnetización a partir de la energía libre aproximada resultante . ^[9] El primer paso es elegir una aproximación más manejable del hamiltoniano verdadero. Usando un hamiltoniano de campo no interactuante o efectivo,

${\displaystyle -m\sum _{i}s_{i}}$,

La energía libre variacional es

${\displaystyle F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.}$

Mediante la desigualdad de Bogoliubov, simplificando esta cantidad y calculando la función de magnetización que minimiza la energía libre variacional se obtiene la mejor aproximación a la magnetización real. El minimizador es

${\displaystyle m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,}$

que es el promedio del conjunto de espín. Esto se simplifica a

${\displaystyle m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h.}$

La equiparación del campo efectivo percibido por todos los espines con un valor de espín medio relaciona el enfoque variacional con la supresión de fluctuaciones. La interpretación física de la función de magnetización es entonces un campo de valores medios para espines individuales.

Aproximación de espines no interactuantes

Consideremos el modelo de Ising en una red de dimensión 1. El hamiltoniano viene dado por ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},}$

donde indica la suma sobre el par de vecinos más cercanos , y son espines de Ising vecinos. ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle s_{i},s_{j}=\pm 1}$

Transformemos nuestra variable de espín introduciendo la fluctuación de su valor medio . Podemos reescribir el hamiltoniano como ${\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},}$

donde definimos ; esta es la fluctuación del espín. ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}$

Si desarrollamos el lado derecho, obtenemos un término que depende completamente de los valores medios de los espines e independiente de las configuraciones de espín. Este es el término trivial, que no afecta las propiedades estadísticas del sistema. El siguiente término es el que implica el producto del valor medio del espín y el valor de fluctuación. Finalmente, el último término implica un producto de dos valores de fluctuación.

La aproximación del campo medio consiste en descuidar este término de fluctuación de segundo orden:

${\displaystyle H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.}$

Estas fluctuaciones se potencian en dimensiones bajas, lo que hace que MFT sea una mejor aproximación para dimensiones altas.

Nuevamente, el sumando puede volver a expandirse. Además, esperamos que el valor medio de cada espín sea independiente del sitio, ya que la cadena de Ising es invariante en la traducción. Esto produce

${\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.}$

La suma de los espines vecinos se puede reescribir como , donde significa "vecino más cercano de ", y el prefactor evita el doble conteo, ya que cada enlace participa en dos espines. La simplificación conduce a la expresión final ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}$ ${\displaystyle nn(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},}$

donde es el número de coordinación . En este punto, el hamiltoniano de Ising se ha desacoplado en una suma de hamiltonianos de un cuerpo con un campo medio efectivo , que es la suma del campo externo y del campo medio inducido por los espines vecinos. Vale la pena señalar que este campo medio depende directamente del número de vecinos más cercanos y, por lo tanto, de la dimensión del sistema (por ejemplo, para una red hipercúbica de dimensión , ). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}=h+Jzm}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z=2d}$

Sustituyendo este hamiltoniano en la función de partición y resolviendo el problema 1D efectivo, obtenemos

${\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}$

donde es el número de sitios de la red. Esta es una expresión cerrada y exacta para la función de partición del sistema. Podemos obtener la energía libre del sistema y calcular exponentes críticos . En particular, podemos obtener la magnetización como función de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$

Tenemos entonces dos ecuaciones entre y , que nos permiten determinar en función de la temperatura. Esto nos lleva a la siguiente observación: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$ ${\displaystyle m}$

• Para temperaturas superiores a un valor determinado , la única solución es . El sistema es paramagnético. ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle m=0}$
• Para , hay dos soluciones distintas de cero: . El sistema es ferromagnético. ${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle m=\pm m_{0}}$

${\displaystyle T_{\text{c}}}$viene dada por la siguiente relación: . ${\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}}$

Esto demuestra que la MFT puede explicar la transición de fase ferromagnética.

Aplicación a otros sistemas

De manera similar, la MFT se puede aplicar a otros tipos de hamiltoniano como en los siguientes casos:

• Para estudiar la transición metal- superconductor . En este caso, el análogo de la magnetización es el gap superconductor . ${\displaystyle \Delta }$
• El campo molecular de un cristal líquido que surge cuando el Laplaciano del campo director no es cero.
• Para determinar el empaquetamiento óptimo de la cadena lateral de aminoácidos dada una estructura proteica fija en la predicción de la estructura proteica (ver Campo de media autoconsistente (biología) ).
• Para determinar las propiedades elásticas de un material compuesto.

La minimización variacional, como la teoría del campo medio, también se puede utilizar en la inferencia estadística.

Extensión a campos medios dependientes del tiempo

En la teoría del campo medio, el campo medio que aparece en el problema de un solo sitio es una cantidad escalar o vectorial independiente del tiempo. Sin embargo, este no siempre es el caso: en una variante de la teoría del campo medio denominada teoría del campo medio dinámico (DMFT), el campo medio se convierte en una cantidad dependiente del tiempo. Por ejemplo, la DMFT se puede aplicar al modelo de Hubbard para estudiar la transición metal-aislante Mott.

Véase también

• Teoría del campo medio dinámico
• Teoría de juegos de campo medio

Referencias

1. Chaikin, PM; Lubensky, TC (2007). Principios de la física de la materia condensada (4.ª edición impresa). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79450-3.
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3. Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. (2007). "Un resultado genérico de convergencia de campo medio para sistemas de objetos en interacción". Cuarta Conferencia Internacional sobre la Evaluación Cuantitativa de Sistemas (QEST 2007) (PDF) . p. 3. CiteSeerX 10.1.1.110.2612 . doi :10.1109/QEST.2007.8. ISBN  978-0-7695-2883-0. Número de identificación del sujeto  15007784.
4. Baccelli, F.; Karpelevich, FI; Kelbert, MY; Puhalskii, AA; Rybko, AN; Suhov, YM (1992). "Un límite de campo medio para una clase de redes de colas". Journal of Statistical Physics . 66 (3–4): 803. Bibcode :1992JSP....66..803B. doi :10.1007/BF01055703. S2CID  120840517.
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