Teoría del campo medio

Aproximación del comportamiento físico.

En física y teoría de la probabilidad , la teoría del campo medio ( MFT ) o teoría del campo autoconsistente estudia el comportamiento de modelos aleatorios ( estocásticos ) de alta dimensión estudiando un modelo más simple que se aproxima al original promediando los grados de libertad (el número de valores en el cálculo final de una estadística que pueden variar libremente). Estos modelos consideran muchos componentes individuales que interactúan entre sí.

La idea principal de MFT es reemplazar todas las interacciones con cualquier cuerpo con una interacción promedio o efectiva, a veces llamada campo molecular . ^[1] Esto reduce cualquier problema de muchos cuerpos a un problema efectivo de un solo cuerpo . La facilidad para resolver problemas de MFT significa que se puede obtener cierta información sobre el comportamiento del sistema a un costo computacional menor.

Desde entonces, MFT se ha aplicado a una amplia gama de campos fuera de la física, incluida la inferencia estadística , modelos gráficos , neurociencia , ^[2] inteligencia artificial , modelos epidémicos , ^[3] teoría de colas , ^[4] rendimiento de redes informáticas y teoría de juegos . ^[5] como en el equilibrio de respuesta cuántica ^{[ cita necesaria ]} .

Orígenes

La idea apareció por primera vez en física ( mecánica estadística ) en el trabajo de Pierre Curie ^[6] y Pierre Weiss para describir las transiciones de fase . ^[7] MFT se ha utilizado en la aproximación de Bragg-Williams, modelos de red de Bethe , teoría de Landau , aproximación de Pierre-Weiss, teoría de soluciones de Flory-Huggins y teoría de Scheutjens-Fleer .

Los sistemas con muchos (a veces infinitos) grados de libertad son generalmente difíciles de resolver exactamente o calcular en forma analítica cerrada, excepto en algunos casos simples (por ejemplo, ciertas teorías gaussianas de campos aleatorios , el modelo 1D de Ising ). A menudo surgen problemas combinatorios que dificultan cosas como calcular la función de partición de un sistema. MFT es un método de aproximación que a menudo hace que el problema original tenga solución y esté abierto al cálculo y, en algunos casos, MFT puede proporcionar aproximaciones muy precisas.

En teoría de campos , el hamiltoniano puede ampliarse en términos de la magnitud de las fluctuaciones alrededor de la media del campo. En este contexto, la MFT puede verse como la expansión de "orden cero" del hamiltoniano en las fluctuaciones. Físicamente, esto significa que un sistema MFT no tiene fluctuaciones, pero esto coincide con la idea de que se están reemplazando todas las interacciones con un "campo medio".

Muy a menudo, MFT proporciona un punto de partida conveniente para estudiar fluctuaciones de orden superior. Por ejemplo, al calcular la función de partición , estudiar la combinatoria de los términos de interacción en el hamiltoniano a veces puede, en el mejor de los casos, producir resultados de perturbación o diagramas de Feynman que corrijan la aproximación del campo medio.

Validez

En general, la dimensionalidad juega un papel activo a la hora de determinar si un enfoque de campo medio funcionará para un problema en particular. A veces hay una dimensión crítica por encima de la cual la MFT es válida y por debajo de la cual no lo es.

Heurísticamente, muchas interacciones se reemplazan en MFT por una interacción efectiva. Entonces, si el campo o la partícula exhiben muchas interacciones aleatorias en el sistema original, tienden a cancelarse entre sí, por lo que la interacción efectiva media y la MFT serán más precisas. Esto es cierto en casos de alta dimensionalidad, cuando el hamiltoniano incluye fuerzas de largo alcance o cuando las partículas están extendidas (por ejemplo, polímeros ). El criterio de Ginzburg es la expresión formal de cómo las fluctuaciones hacen que la MFT sea una mala aproximación, a menudo dependiendo del número de dimensiones espaciales del sistema de interés.

Enfoque formal (hamiltoniano)

La base formal de la teoría del campo medio es la desigualdad de Bogoliubov . Esta desigualdad establece que la energía libre de un sistema con hamiltoniano

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}}$

tiene el siguiente límite superior:

${\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},}$

donde está la entropía y y son energías libres de Helmholtz . El promedio se toma sobre el conjunto de equilibrio del sistema de referencia con el hamiltoniano . En el caso especial de que el hamiltoniano de referencia sea el de un sistema que no interactúa y, por tanto, pueda escribirse como ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),}$

¿Dónde están los grados de libertad de los componentes individuales de nuestro sistema estadístico (átomos, espines, etc.)? Se puede considerar afinar el límite superior minimizando el lado derecho de la desigualdad. El sistema de referencia minimizador es entonces la "mejor" aproximación al sistema verdadero que utiliza grados de libertad no correlacionados y se conoce como aproximación de campo medio . ${\displaystyle \xi _{i}}$

Para el caso más común en el que el hamiltoniano objetivo contiene sólo interacciones por pares, es decir,

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),}$

donde está el conjunto de pares que interactúan, el procedimiento de minimización se puede realizar formalmente. Definir como la suma generalizada de lo observable sobre los grados de libertad del componente único (suma para variables discretas, integrales para continuas). La energía libre aproximada está dada por ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}}$

donde es la probabilidad de encontrar el sistema de referencia en el estado especificado por las variables . Esta probabilidad viene dada por el factor de Boltzmann normalizado. ${\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}}$

¿Dónde está la función de partición ? De este modo ${\displaystyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}}$

Para minimizar, tomamos la derivada con respecto a las probabilidades de un solo grado de libertad usando un multiplicador de Lagrange para asegurar una normalización adecuada. El resultado final es el conjunto de ecuaciones de autoconsistencia. ${\displaystyle P_{0}^{(i)}}$

${\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,}$

donde el campo medio está dado por

${\displaystyle h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}$

Aplicaciones

La teoría del campo medio se puede aplicar a varios sistemas físicos para estudiar fenómenos como las transiciones de fase . ^[8]

modelo ising

Derivación formal

La desigualdad de Bogoliubov, mostrada arriba, se puede utilizar para encontrar la dinámica de un modelo de campo medio de la red de Ising bidimensional . Se puede calcular una función de magnetización a partir de la energía libre aproximada resultante . ^[9] El primer paso es elegir una aproximación más manejable del verdadero hamiltoniano. Utilizando un hamiltoniano de campo efectivo o que no interactúa,

${\displaystyle -m\sum _{i}s_{i}}$,

la energía libre variacional es

${\displaystyle F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.}$

Según la desigualdad de Bogoliubov, simplificar esta cantidad y calcular la función de magnetización que minimiza la energía libre variacional produce la mejor aproximación a la magnetización real. El minimizador es

${\displaystyle m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,}$

que es el promedio conjunto de espín. Esto simplifica a

${\displaystyle m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h.}$

Equiparar el campo efectivo sentido por todos los espines con un valor medio de espín relaciona el enfoque variacional con la supresión de fluctuaciones. La interpretación física de la función de magnetización es entonces un campo de valores medios para espines individuales.

Aproximación de giros que no interactúan

Considere el modelo de Ising en una red de dimensiones. El hamiltoniano está dado por ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},}$

donde indica la suma del par de vecinos más cercanos y son giros de Ising vecinos. ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle s_{i},s_{j}=\pm 1}$

Transformemos nuestra variable de espín introduciendo la fluctuación de su valor medio . Podemos reescribir el hamiltoniano como ${\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},}$

donde definimos ; esta es la fluctuación del giro. ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}$

Si expandimos el lado derecho, obtenemos un término que depende completamente de los valores medios de los espines e independiente de las configuraciones de los espines. Este es el término trivial, que no afecta las propiedades estadísticas del sistema. El siguiente término es el que involucra el producto del valor medio del giro y el valor de fluctuación. Finalmente, el último término implica un producto de dos valores de fluctuación.

La aproximación del campo medio consiste en despreciar este término de fluctuación de segundo orden:

${\displaystyle H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.}$

Estas fluctuaciones aumentan en dimensiones bajas, lo que hace que MFT sea una mejor aproximación para dimensiones altas.

Nuevamente, el monto se puede volver a ampliar. Además, esperamos que el valor medio de cada espín sea independiente del sitio, ya que la cadena de Ising es invariante traslacionalmente. Esto produce

${\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.}$

La suma de los espines vecinos se puede reescribir como , donde significa "vecino más cercano de ", y el prefactor evita la doble contabilización, ya que cada enlace participa en dos espines. La simplificación conduce a la expresión final. ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}$ ${\displaystyle nn(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},}$

¿Dónde está el número de coordinación ? En este punto, el hamiltoniano de Ising se ha desacoplado en una suma de hamiltonianos de un cuerpo con un campo medio efectivo , que es la suma del campo externo y del campo medio inducido por los espines vecinos. Vale la pena señalar que este campo medio depende directamente del número de vecinos más cercanos y, por tanto, de la dimensión del sistema (por ejemplo, para una red hipercúbica de dimensión , ). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}=h+Jzm}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z=2d}$

Sustituyendo este hamiltoniano en la función de partición y resolviendo el problema 1D efectivo, obtenemos

${\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}$

¿Dónde está el número de sitios de la red? Esta es una expresión cerrada y exacta para la función de partición del sistema. Podemos obtener la energía libre del sistema y calcular exponentes críticos . En particular, podemos obtener la magnetización en función de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$

Tenemos así dos ecuaciones entre y , que nos permiten determinar en función de la temperatura. Esto lleva a la siguiente observación: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$ ${\displaystyle m}$

• Para temperaturas superiores a un determinado valor , la única solución es . El sistema es paramagnético. ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle m=0}$
• Para , hay dos soluciones distintas de cero: . El sistema es ferromagnético. ${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle m=\pm m_{0}}$

${\displaystyle T_{\text{c}}}$viene dada por la siguiente relación: . ${\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}}$

Esto muestra que MFT puede explicar la transición de fase ferromagnética.

Aplicación a otros sistemas

De manera similar, MFT se puede aplicar a otros tipos de hamiltoniano como en los siguientes casos:

• Estudiar la transición metal- superconductor . En este caso, el análogo de la magnetización es la brecha superconductora . ${\displaystyle \Delta }$
• El campo molecular de un cristal líquido que emerge cuando el laplaciano del campo director es distinto de cero.
• Determinar el empaquetamiento óptimo de la cadena lateral de aminoácidos dada una columna vertebral de proteína fija en la predicción de la estructura de la proteína (consulte Campo de media autoconsistente (biología) ).
• Determinar las propiedades elásticas de un material compuesto.

La minimización variacional, como la teoría del campo medio, también se puede utilizar en la inferencia estadística.

Ampliación a campos medios dependientes del tiempo

En la teoría del campo medio, el campo medio que aparece en el problema de un solo sitio es una cantidad vectorial o escalar independiente del tiempo. Sin embargo, este no es siempre el caso: en una variante de la teoría del campo medio llamada teoría dinámica del campo medio (DMFT), el campo medio se convierte en una cantidad dependiente del tiempo. Por ejemplo, DMFT se puede aplicar al modelo de Hubbard para estudiar la transición metal-aislante Mott.

Ver también

• Teoría dinámica del campo medio
• Teoría del juego de campo medio
• Modelo de campo medio epidémico generalizado.

Referencias

1. Chaikin, primer ministro; Lubensky, TC (2007). Principios de la física de la materia condensada (4ª edición impresa). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-79450-3.
2. Parr, Thomas; Sajid, Noor; Friston, Karl (2020). "¿Módulos o campos medios?" (PDF) . Entropía . 22 (552): 552. doi : 10.3390/e22050552 . PMC 7517075 . PMID  33286324 . Consultado el 22 de mayo de 2020 . 
3. Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. (2007). "Un resultado genérico de convergencia de campo medio para sistemas de objetos que interactúan". Cuarta Conferencia Internacional sobre Evaluación Cuantitativa de Sistemas (QEST 2007) (PDF) . pag. 3. CiteSeerX 10.1.1.110.2612 . doi :10.1109/QEST.2007.8. ISBN  978-0-7695-2883-0. S2CID  15007784.
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