En matemáticas , el teorema de los ideales primos de Boole establece que los ideales de un álgebra de Boole pueden extenderse a los ideales primos . Una variación de esta afirmación para los filtros sobre conjuntos se conoce como el lema del ultrafiltro . Otros teoremas se obtienen considerando diferentes estructuras matemáticas con nociones apropiadas de ideales, por ejemplo, anillos e ideales primos (de la teoría de anillos), o redes distributivas e ideales maximales (de la teoría del orden ). Este artículo se centra en los teoremas de los ideales primos de la teoría del orden.
Aunque los diversos teoremas de los ideales primos pueden parecer simples e intuitivos, no se pueden deducir en general a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (abreviado ZF). En cambio, algunos de los enunciados resultan ser equivalentes al axioma de elección (AC), mientras que otros (el teorema de los ideales primos de Boole, por ejemplo) representan una propiedad que es estrictamente más débil que AC. Es debido a este estatus intermedio entre ZF y ZF + AC (ZFC) que el teorema de los ideales primos de Boole se toma a menudo como un axioma de la teoría de conjuntos. Las abreviaturas BPI o PIT (para álgebras de Boole) se utilizan a veces para referirse a este axioma adicional.
Un ideal de orden es un conjunto inferior dirigido (no vacío) . Si el conjunto parcialmente ordenado considerado (conjunto parcial) tiene suprema binaria (también conocido como uniones ), como los conjuntos parciales de este artículo, entonces se caracteriza de manera equivalente como un conjunto inferior no vacío I que está cerrado para suprema binaria (es decir, implica ). Un ideal I es primo si su complemento teórico de conjuntos en el conjunto parcial es un filtro (es decir, implica o ). Los ideales son propios si no son iguales a todo el conjunto parcial.
Históricamente, la primera afirmación relacionada con los teoremas de ideales primos posteriores se refería de hecho a los filtros, subconjuntos que son ideales con respecto al orden dual . El lema del ultrafiltro afirma que cada filtro de un conjunto está contenido dentro de algún filtro máximo (propio), un ultrafiltro . Recordemos que los filtros de los conjuntos son filtros propios del álgebra de Boole de su conjunto potencia . En este caso especial, los filtros máximos (es decir, los filtros que no son subconjuntos estrictos de ningún filtro propio) y los filtros primos (es decir, los filtros que con cada unión de subconjuntos X e Y contienen también X o Y ) coinciden. El dual de esta afirmación asegura, por tanto, que cada ideal de un conjunto potencia está contenido en un ideal primo.
La afirmación anterior dio lugar a varios teoremas generalizados de ideales primos, cada uno de los cuales existe en una forma débil y en una forma fuerte. Los teoremas débiles de ideales primos establecen que cada álgebra no trivial de una determinada clase tiene al menos un ideal primo. Por el contrario, los teoremas fuertes de ideales primos exigen que cada ideal que sea disjunto de un filtro dado pueda extenderse a un ideal primo que siga siendo disjunto de ese filtro. En el caso de las álgebras que no son conjuntos parciales, se utilizan diferentes subestructuras en lugar de filtros. Se sabe que muchas formas de estos teoremas son equivalentes, de modo que la afirmación de que "PIT" es válida suele tomarse como la afirmación de que la afirmación correspondiente para las álgebras de Boole (BPI) es válida.
Otra variación de teoremas similares se obtiene reemplazando cada ocurrencia de ideal primo por ideal maximalista . Los teoremas de ideal maximalista correspondientes (MIT) son a menudo —aunque no siempre— más fuertes que sus equivalentes PIT.
El teorema del ideal primo de Boole es el teorema fuerte del ideal primo para las álgebras de Boole. Por lo tanto, el enunciado formal es:
El teorema del ideal primo débil para las álgebras de Boole establece simplemente:
A estas afirmaciones las llamamos BPI débil y BPI fuerte . Ambas son equivalentes, ya que el BPI fuerte implica claramente el BPI débil, y la implicación inversa se puede lograr utilizando el BPI débil para encontrar ideales primos en el álgebra de cocientes adecuada.
El BPI se puede expresar de diversas formas. Para ello, recordemos el siguiente teorema:
Para cualquier ideal I de un álgebra de Boole B , son equivalentes:
Este teorema es un hecho bien conocido en el caso de las álgebras de Boole. Su dualidad establece la equivalencia de los filtros primos y los ultrafiltros. Nótese que la última propiedad es, de hecho, autodual: solo la suposición previa de que I es un ideal proporciona la caracterización completa. Todas las implicaciones de este teorema se pueden demostrar en ZF.
Por lo tanto, el siguiente teorema del ideal máximo (fuerte) para las álgebras de Boole es equivalente a BPI:
Obsérvese que se requiere maximalidad "global", no solo maximalidad con respecto a ser disjunto de F . Sin embargo, esta variación produce otra caracterización equivalente de BPI:
El hecho de que esta afirmación sea equivalente a BPI se establece fácilmente observando el siguiente teorema: Para cualquier red distributiva L , si un ideal I es máximo entre todos los ideales de L que son disjuntos a un filtro dado F , entonces I es un ideal primo. La prueba de esta afirmación (que también se puede llevar a cabo en la teoría de conjuntos ZF) se incluye en el artículo sobre ideales. Dado que cualquier álgebra de Boole es una red distributiva, esto muestra la implicación deseada.
Ahora resulta fácil ver que todas las afirmaciones anteriores son equivalentes. Yendo aún más lejos, se puede aprovechar el hecho de que los órdenes duales de las álgebras de Boole son exactamente las álgebras de Boole en sí mismas. Por lo tanto, al tomar los duales equivalentes de todas las afirmaciones anteriores, se termina con una serie de teoremas que se aplican igualmente a las álgebras de Boole, pero donde cada ocurrencia de ideal se reemplaza por filtro [ cita requerida ] . Vale la pena señalar que para el caso especial donde el álgebra de Boole en consideración es un conjunto potencia con el orden de subconjuntos , el "teorema del filtro máximo" se llama lema del ultrafiltro.
En resumen, para las álgebras de Boole, el MIT débil y fuerte, el PIT débil y fuerte, y estas afirmaciones con filtros en lugar de ideales son todas equivalentes. Se sabe que todas estas afirmaciones son consecuencias del Axioma de Elección , AC , (la prueba fácil hace uso del lema de Zorn ), pero no pueden probarse en ZF (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin AC ), si ZF es consistente . Sin embargo, el BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección, aunque la prueba de esta afirmación, debido a JD Halpern y Azriel Lévy, es bastante no trivial.
Las propiedades prototípicas que se analizaron para las álgebras de Boole en la sección anterior se pueden modificar fácilmente para incluir redes más generales , como redes distributivas o álgebras de Heyting . Sin embargo, en estos casos los ideales maximales son diferentes de los ideales primos, y la relación entre los PIT y los MIT no es obvia.
De hecho, resulta que los MIT para los retículos distributivos e incluso para las álgebras de Heyting son equivalentes al axioma de elección. Por otra parte, se sabe que el PIT fuerte para los retículos distributivos es equivalente al BPI (es decir, al MIT y al PIT para las álgebras de Boole). Por lo tanto, esta afirmación es estrictamente más débil que el axioma de elección. Además, observe que las álgebras de Heyting no son autoduales y, por lo tanto, el uso de filtros en lugar de ideales produce teoremas diferentes en este contexto. Tal vez sea sorprendente que el MIT para los duales de las álgebras de Heyting no sea más fuerte que el BPI, lo que contrasta marcadamente con el MIT mencionado anteriormente para las álgebras de Heyting.
Por último, también existen teoremas de ideales primos para otras álgebras abstractas (no teóricas del orden). Por ejemplo, el MIT para anillos implica el axioma de elección. Esta situación requiere reemplazar el término teórico del orden "filtro" por otros conceptos: para los anillos es apropiado un "subconjunto multiplicativamente cerrado".
Un filtro sobre un conjunto X es una colección no vacía de subconjuntos no vacíos de X que está cerrada bajo intersección finita y bajo superconjunto. Un ultrafiltro es un filtro maximal. El lema del ultrafiltro establece que cada filtro sobre un conjunto X es un subconjunto de algún ultrafiltro sobre X . [1] Un ultrafiltro que no contiene conjuntos finitos se denomina "no principal". El lema del ultrafiltro, y en particular la existencia de ultrafiltros no principales (consideremos el filtro de todos los conjuntos con complementos finitos), se puede demostrar utilizando el lema de Zorn .
El lema del ultrafiltro es equivalente al teorema del ideal primo de Boole, cuya equivalencia se puede demostrar en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección. La idea detrás de la prueba es que los subconjuntos de cualquier conjunto forman un álgebra de Boole parcialmente ordenada por inclusión, y cualquier álgebra de Boole es representable como un álgebra de conjuntos mediante el teorema de representación de Stone .
Si el conjunto X es finito, entonces el lema del ultrafiltro puede demostrarse a partir de los axiomas ZF. Esto ya no es cierto para conjuntos infinitos; se debe suponer un axioma adicional. El lema de Zorn , el axioma de elección y el teorema de Tichonoff pueden usarse para demostrar el lema del ultrafiltro. El lema del ultrafiltro es estrictamente más débil que el axioma de elección.
El lema del ultrafiltro tiene muchas aplicaciones en topología . El lema del ultrafiltro se puede utilizar para demostrar el teorema de Hahn-Banach y el teorema de la subbase de Alexander .
Intuitivamente, el teorema de los ideales primos de Boole establece que hay "suficientes" ideales primos en un álgebra de Boole en el sentido de que podemos extender cada ideal a uno máximo. Esto es de importancia práctica para probar el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole , un caso especial de dualidad de Stone , en el que se dota al conjunto de todos los ideales primos de una cierta topología y se puede recuperar de hecho el álgebra de Boole original ( hasta el isomorfismo ) a partir de estos datos. Además, resulta que en las aplicaciones se puede elegir libremente trabajar con ideales primos o con filtros primos, porque cada ideal determina de forma única un filtro: el conjunto de todos los complementos booleanos de sus elementos. Ambos enfoques se encuentran en la literatura.
Muchos otros teoremas de topología general que a menudo se dice que dependen del axioma de elección son, de hecho, equivalentes a BPI. Por ejemplo, el teorema de que un producto de espacios de Hausdorff compactos es compacto es equivalente a él. Si omitimos "Hausdorff", obtenemos un teorema equivalente al axioma de elección completo.
En teoría de grafos , el teorema de De Bruijn–Erdős es otro equivalente de BPI. Afirma que, si un grafo infinito dado requiere al menos algún número finito k en cualquier coloración de grafos , entonces tiene un subgrafo finito que también requiere k . [2]
Una aplicación no demasiado conocida del teorema del ideal primo de Boole es la existencia de un conjunto no medible [3] (el ejemplo que se suele dar es el conjunto de Vitali , que requiere el axioma de elección). De esto y del hecho de que el BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección, se sigue que la existencia de conjuntos no mesurables es estrictamente más débil que el axioma de elección.
En álgebra lineal, el teorema del ideal primo de Boole se puede utilizar para demostrar que dos bases cualesquiera de un espacio vectorial dado tienen la misma cardinalidad .
