Lema de Van der Corput (análisis armónico)

En matemáticas , en el campo del análisis armónico , el lema de van der Corput es una estimación de integrales oscilatorias que lleva el nombre del matemático holandés J. G. van der Corput .

El siguiente resultado lo enuncia E. Stein : ^[1]

Supóngase que una función de valor real es suave en un intervalo abierto , y que para todo . Supóngase que o bien , o que y es monótona para . Entonces existe una constante , que no depende de , tal que ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle |\phi ^{(k)}(x)|\geq 1}$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \phi '(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\bigg |}\int _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}{\bigg |}\leq c_{k}\lambda ^{-1/k}}$

Para cualquier . ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

Estimaciones de conjuntos de subniveles

El lema de van der Corput está estrechamente relacionado con las estimaciones de conjuntos de subniveles , ^[2] que dan el límite superior de la medida del conjunto donde una función toma valores no mayores que . ${\displaystyle \epsilon }$

Supóngase que una función de valor real es suave en un intervalo finito o infinito , y que para todo . Existe una constante , que no depende de , tal que para cualquier la medida del conjunto de subniveles está acotada por . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\phi ^{(k)}(x)|\geq 1}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \epsilon \geq 0}$ ${\displaystyle \{x\in I:|\phi (x)|\leq \epsilon \}}$ ${\displaystyle c_{k}\epsilon ^{1/k}}$

Referencias

1. Elias Stein, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Princeton University Press, 1993. ISBN  0-691-03216-5
2. M. Christ, Hilbert transforma a lo largo de curvas , Ann. of Math. 122 (1985), 575–596