Lema de Van der Corput (análisis armónico)

En matemáticas , en el campo del análisis armónico , el lema de van der Corput es una estimación de integrales oscilatorias que lleva el nombre del matemático holandés J. G. van der Corput .

El siguiente resultado es declarado por E. Stein : ^[1]

Supongamos que una función de valor real es suave en un intervalo abierto , y eso para todos . Supongamos que cualquiera de los dos , o aquel y es monótono para . Entonces existe una constante que no depende de , tal que $\phi (x)$ $(a,b)$ $|\phi ^{(k)}(x)|\geq 1$ $x\en (a,b)$ $k\geq 2$ $k=1$ $\phi '(x)$ $x\in \mathbb {R}$ $c_{k}$ $\phi$

{\bigg |}\int _ {a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}{\bigg |}\leq c_{k}\lambda ^{-1/k}

para cualquier . $\lambda \in \mathbb {R}$

Estimaciones de conjuntos de subniveles

El lema de van der Corput está estrechamente relacionado con las estimaciones de conjuntos de subniveles , ^[2] que dan el límite superior de la medida del conjunto donde una función toma valores no mayores que . ${\displaystyle\epsilon}$

Supongamos que una función de valor real es suave en un intervalo finito o infinito , y eso para todos . Hay una constante , que no depende de , tal que para cualquiera la medida del conjunto de subniveles está acotada por . $\phi (x)$ $I\subset \mathbb {R}$ $|\phi ^{(k)}(x)|\geq 1$ $x\en I$ $c_{k}$ $\phi$ $\epsilon \geq 0$ $\{x\in I:|\phi (x)|\leq \epsilon \}$ $c_{k}\epsilon ^{1/k}$

Referencias

^ Elias Stein, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Prensa de la Universidad de Princeton, 1993. ISBN 0-691-03216-5
^ M. Christ, Hilbert se transforma a lo largo de curvas , Ann. de Matemáticas. 122 (1985), 575–596