Conjunto de ecuaciones que describen las trayectorias de objetos sujetos a una fuerza gravitacional constante en condiciones normales de la Tierra . Suponiendo una aceleración constante g debida a la gravedad de la Tierra, la ley de gravitación universal de Newton se simplifica a F = mg , donde F es la fuerza ejercida sobre una masa m por el campo gravitacional de la Tierra de intensidad g . Suponer una g constante es razonable para objetos que caen a la Tierra en las distancias verticales relativamente cortas de nuestra experiencia cotidiana, pero no es válido para distancias mayores involucradas en el cálculo de efectos más distantes, como las trayectorias de naves espaciales.
Galileo fue el primero en demostrar y luego formular estas ecuaciones. Utilizó una rampa para estudiar las bolas rodantes, la rampa ralentizaba la aceleración lo suficiente como para medir el tiempo que tardaba la bola en rodar una distancia conocida. [1] [2] Midió el tiempo transcurrido con un reloj de agua , utilizando una "balanza extremadamente precisa" para medir la cantidad de agua. [nota 1]
Las ecuaciones ignoran la resistencia del aire, que tiene un efecto dramático en los objetos que caen una distancia apreciable en el aire, haciendo que se acerquen rápidamente a una velocidad terminal . El efecto de la resistencia del aire varía enormemente dependiendo del tamaño y la geometría del objeto que cae; por ejemplo, las ecuaciones son irremediablemente erróneas para una pluma, que tiene una masa baja pero ofrece una gran resistencia al aire. (En ausencia de una atmósfera, todos los objetos caen a la misma velocidad, como demostró el astronauta David Scott al dejar caer un martillo y una pluma sobre la superficie de la Luna ).
Las ecuaciones también ignoran la rotación de la Tierra y no describen, por ejemplo, el efecto Coriolis . Sin embargo, suelen ser lo suficientemente precisas para objetos densos y compactos que caen desde alturas que no superan las estructuras más altas construidas por el hombre.
Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad g = 9,807 m/s 2 ( metros por segundo al cuadrado , que podrían considerarse como "metros por segundo, por segundo"; o 32,18 ft/s 2 como "pies por segundo por segundo") aproximadamente. Es esencial un conjunto coherente de unidades para g , d , t y v . Suponiendo unidades del SI , g se mide en metros por segundo al cuadrado, por lo que d debe medirse en metros, t en segundos y v en metros por segundo.
En todos los casos, se supone que el cuerpo parte del reposo y se desprecia la resistencia del aire. Por lo tanto, en general, en la atmósfera terrestre, todos los resultados a continuación serán bastante inexactos después de solo 5 segundos de caída (momento en el que la velocidad de un objeto será un poco menor que el valor de vacío de 49 m/s (9,8 m/s 2 × 5 s) debido a la resistencia del aire). La resistencia del aire induce una fuerza de arrastre sobre cualquier cuerpo que caiga a través de cualquier atmósfera que no sea un vacío perfecto, y esta fuerza de arrastre aumenta con la velocidad hasta que es igual a la fuerza gravitatoria, lo que hace que el objeto caiga a una velocidad terminal constante .
La velocidad terminal depende de la resistencia atmosférica, del coeficiente de resistencia del objeto, de la velocidad (instantánea) del objeto y del área expuesta al flujo de aire.
Aparte de la última fórmula, estas fórmulas también suponen que g varía de forma despreciable con la altura durante la caída (es decir, suponen una aceleración constante). La última ecuación es más precisa cuando los cambios significativos en la distancia fraccionaria desde el centro del planeta durante la caída provocan cambios significativos en g . Esta ecuación se da en muchas aplicaciones de la física básica.
Las siguientes ecuaciones parten de las ecuaciones generales del movimiento lineal:
y ecuación de gravitación universal (r+d= distancia del objeto sobre el suelo desde el centro de masa del planeta):
La primera ecuación muestra que, después de un segundo, un objeto habrá caído una distancia de 1/2 × 9,8 × 1 2 = 4,9 m. Después de dos segundos habrá caído 1/2 × 9,8 × 2 2 = 19,6 m; y así sucesivamente. Por otro lado, la penúltima ecuación se vuelve groseramente inexacta a grandes distancias. Si un objeto cayó 10 000 m sobre la Tierra, entonces los resultados de ambas ecuaciones difieren solo en un 0,08 %; sin embargo, si cayó desde una órbita geoestacionaria , que es de 42 164 km, entonces la diferencia cambia a casi el 64 %.
Por ejemplo, si se tiene en cuenta la resistencia del viento, la velocidad terminal de un paracaidista en caída libre boca abajo (es decir, boca abajo) es de unos 195 km/h (122 mph o 54 m/s). [3] Esta velocidad es el valor límite asintótico del proceso de aceleración, porque las fuerzas efectivas sobre el cuerpo se equilibran cada vez más entre sí a medida que se aproxima a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50 % de la velocidad terminal después de solo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90 %, 15 segundos para alcanzar el 99 %, y así sucesivamente.
Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista retrae sus extremidades (ver también vuelo libre ). [3] En este caso, la velocidad terminal aumenta a aproximadamente 320 km/h (200 mph o 90 m/s), [ cita requerida ] que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino que se lanza en picado sobre su presa. [4] La misma velocidad terminal se alcanza para una bala típica .30-06 que cae hacia abajo (cuando regresa a la tierra después de haber sido disparada hacia arriba o arrojada desde una torre), según un estudio de artillería del ejército de los EE. UU. de 1920. [ 5]
Para cuerpos astronómicos distintos de la Tierra , y para distancias cortas de caída a niveles distintos del "suelo", g en las ecuaciones anteriores puede reemplazarse por donde G es la constante gravitacional , M es la masa del cuerpo astronómico, m es la masa del cuerpo que cae y r es el radio desde el objeto que cae hasta el centro del cuerpo astronómico.
El tiempo t que tarda un objeto en caer desde una altura r a una altura x , medida desde los centros de los dos cuerpos, viene dado por:
donde es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los dos cuerpos. Esta ecuación debe utilizarse siempre que haya una diferencia significativa en la aceleración gravitacional durante la caída. Tenga en cuenta que cuando esta ecuación da , como se esperaba; y cuando da , que es el tiempo hasta la colisión.
La fuerza centrípeta hace que la aceleración medida en la superficie giratoria de la Tierra sea diferente de la aceleración que se mide para un cuerpo en caída libre: la aceleración aparente en el marco de referencia giratorio es el vector de gravedad total menos un pequeño vector hacia el eje norte-sur de la Tierra, que corresponde a permanecer estacionario en ese marco de referencia.
