Problema de celosía

Problema de optimización en informática

En informática , los problemas de celosía son una clase de problemas de optimización relacionados con objetos matemáticos llamados retículos . La supuesta intratabilidad de tales problemas es fundamental para la construcción de criptosistemas seguros basados ​​en retículos : los problemas de celosía son un ejemplo de problemas NP-difíciles que han demostrado ser difíciles en el caso promedio , lo que proporciona un caso de prueba para la seguridad de los algoritmos criptográficos. Además, algunos problemas de celosía que son difíciles en el peor de los casos se pueden utilizar como base para esquemas criptográficos extremadamente seguros. El uso de la dureza del peor de los casos en tales esquemas los convierte en uno de los pocos esquemas que es muy probable que sean seguros incluso contra las computadoras cuánticas . Para aplicaciones en tales criptosistemas , generalmente se consideran retículos sobre espacios vectoriales (a menudo ) o módulos libres (a menudo ). ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Para todos los problemas que se presentan a continuación, supongamos que se nos proporciona (además de otras entradas más específicas) una base para el espacio vectorial V y una norma N. La norma que se considera habitualmente es la norma euclidiana L 2 . Sin embargo, también se consideran otras normas (como L p ) que aparecen en una variedad de resultados. ^[1]

A lo largo de este artículo, denotemos la longitud del vector distinto de cero más corto en la red L : es decir, ${\displaystyle \lambda (L)}$

${\displaystyle \lambda (L)=\min _{v\in L\smallsetminus \{\mathbf {0} \}}\|v\|_{N}.}$

Problema del vector más corto (SVP)

Esta es una ilustración del problema del vector más corto (vectores base en azul, vector más corto en rojo).

En el SVP, se dan una base de un espacio vectorial V y una norma N (a menudo L 2 ) para una red L y se debe encontrar el vector distinto de cero más corto en V , medido por N , en L . En otras palabras, el algoritmo debe generar un vector distinto de cero v tal que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \|v\|_{N}=\lambda (L)}$ .

En la versión de aproximación γ SVP _γ , se debe encontrar un vector reticular distinto de cero de longitud como máximo para ⁠ ⁠ dado . ${\displaystyle \gamma \cdot \lambda (L)}$ ${\displaystyle \gamma \geq 1}$

Resultados de dureza

Sólo se sabe que la versión exacta del problema es NP-difícil para reducciones aleatorias. ^{[2] [3]} Por el contrario, se sabe que el problema correspondiente con respecto a la norma uniforme es NP-difícil . ^[4]

Algoritmos para la norma euclidiana

Para resolver la versión exacta del SVP bajo la norma euclidiana, se conocen varios enfoques diferentes, que se pueden dividir en dos clases: algoritmos que requieren tiempo superexponencial ( ) y memoria, y algoritmos que requieren tiempo y espacio exponenciales ( ) en la dimensión reticular. La primera clase de algoritmos incluye principalmente la enumeración reticular ^{[5] [6] [7]} y la reducción de muestreo aleatorio, ^{[8] [9]} mientras que la última incluye el tamizado reticular, ^{[10] [11] [12]} calculando la celda de Voronoi de la red, ^{[13] [14]} y el muestreo gaussiano discreto. ^[15] Un problema abierto es si existen algoritmos para resolver el SVP exacto que se ejecuten en tiempo exponencial simple ( ) y requieran escalamiento de memoria polinomialmente en la dimensión reticular. ^[16] ${\displaystyle 2^{\omega (n)}}$ ${\displaystyle \operatorname {poly} (n)}$ ${\displaystyle 2^{\Theta (n)}}$ ${\displaystyle 2^{O(n)}}$

Para resolver la versión de aproximación γ SVP _γ para la norma euclidiana, los enfoques más conocidos se basan en el uso de la reducción de base reticular . Para valores grandes de ⁠ ⁠ , el algoritmo Lenstra–Lenstra–Lovász (LLL) puede encontrar una solución en un polinomio temporal en la dimensión reticular. Para valores más pequeños de , se utiliza comúnmente el algoritmo Block Korkine-Zolotarev (BKZ) ^{[17] [18] [19]} , donde la entrada al algoritmo (el tamaño del bloque ) determina la complejidad temporal y la calidad de la salida: para factores de aproximación grandes , basta con un tamaño de bloque pequeño y el algoritmo termina rápidamente. Para valores pequeños , se necesitan tamaños de bloque más grandes para encontrar vectores reticulares suficientemente cortos, y el algoritmo tarda más en encontrar una solución. El algoritmo BKZ utiliza internamente un algoritmo SVP exacto como subrutina (que se ejecuta en redes de dimensión como máximo ), y su complejidad general está estrechamente relacionada con los costos de estas llamadas SVP en dimensión ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \gamma >1}$ ${\displaystyle \gamma =2^{\Omega (n)}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

GapSVP

El problema GapSVP _β consiste en distinguir entre las instancias de SVP en las que la longitud del vector más corto es como máximo o mayor que ⁠ ⁠ , donde puede ser una función fija de la dimensión de la red ⁠ ⁠ . Dada una base para la red, el algoritmo debe decidir si ⁠ ⁠ . Al igual que otros problemas de promesa , el algoritmo puede equivocarse en todos los demás casos. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda (L)\leq 1}$ ${\displaystyle \lambda (L)>\beta }$

Otra versión del problema es GapSVP _ζ,γ para algunas funciones ζ y γ. La entrada al algoritmo es una base y un número . Se asegura que todos los vectores en la ortogonalización de Gram-Schmidt tienen una longitud de al menos 1, y que y que ⁠ ⁠ , donde es la dimensión. El algoritmo debe aceptar si ⁠ ⁠ , y rechazar si ⁠ ⁠ . Para valores grandes (es decir, ⁠ ⁠ ), el problema es equivalente a GapSVP _γ porque ^[20] un preprocesamiento realizado utilizando el algoritmo LLL hace que la segunda condición (y, por lo tanto, ⁠ ⁠ ) sea redundante. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \lambda (L(B))\leq \zeta (n)}$ ${\displaystyle 1\leq d\leq \zeta (n)/\gamma (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda (L(B))\leq d}$ ${\displaystyle \lambda (L(B))\geq \gamma (n)\cdot d}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta (n)>2^{n/2}}$ ${\displaystyle \zeta }$

Problema del vector más cercano (CVP)

Esta es una ilustración del problema del vector más cercano (vectores base en azul, vector externo en verde, vector más cercano en rojo).

En CVP, se dan una base de un espacio vectorial V y una métrica M (a menudo L 2 ) para una red L , así como un vector v en V pero no necesariamente en L . Se desea encontrar el vector en L más cercano a v (medido por M ). En la versión de aproximación CVP _γ , se debe encontrar un vector de red a una distancia como máximo . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Relación con SVP

El problema del vector más cercano es una generalización del problema del vector más corto. Es fácil demostrar que, dado un oráculo para CVP _γ (definido a continuación), se puede resolver SVP _γ haciendo algunas consultas al oráculo. ^[21] El método ingenuo para encontrar el vector más corto llamando al oráculo CVP _γ para encontrar el vector más cercano a 0 no funciona porque 0 es en sí mismo un vector reticular y el algoritmo podría potencialmente dar como resultado 0.

La reducción de SVP _γ a CVP _γ es la siguiente: supongamos que la entrada a SVP _γ es la base de la red . Consideremos la base y sea el vector devuelto por CVP _γ ( B ⁱ , b _i ) . La afirmación es que el vector más corto del conjunto es el vector más corto de la red dada. ${\displaystyle B=[b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}]}$ ${\displaystyle B^{i}=[b_{1},\ldots ,2b_{i},\ldots ,b_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \{x_{i}-b_{i}\}}$

Resultados de dureza

Goldreich et al. demostraron que cualquier dureza de SVP implica la misma dureza para CVP. ^[22] Utilizando herramientas PCP , Arora et al. demostraron que CVP es difícil de aproximar dentro del factor a menos que . ^[23] Dinur et al. reforzaron esto al dar un resultado de dureza NP con para . ^[24] ${\displaystyle 2^{\log ^{1-\epsilon }(n)}}$ ${\displaystyle \operatorname {NP} \subseteq \operatorname {DTIME} (2^{\operatorname {poly} (\log n)})}$ ${\displaystyle \epsilon =(\log \log n)^{c}}$ ${\displaystyle c<1/2}$

Descodificación de esferas

Los algoritmos para CVP, especialmente la variante de Fincke y Pohst, ^[6] se han utilizado para la detección de datos en sistemas de comunicación inalámbrica de múltiples entradas y múltiples salidas ( MIMO ) (para señales codificadas y no codificadas). ^{[25] [13]} En este contexto, se denomina decodificación de esfera debido al radio utilizado internamente en muchas soluciones CVP. ^[26]

Se ha aplicado en el campo de la resolución de ambigüedad de números enteros en GNSS (GPS) de fase portadora. ^[27] En ese campo se denomina método LAMBDA . En el mismo campo, el problema CVP general se conoce como Mínimos cuadrados enteros .

Brecha CVP

Este problema es similar al problema GapSVP. Para GapSVP _β , la entrada consiste en una base reticular y un vector , y el algoritmo debe responder si se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle v}$

• existe un vector reticular tal que la distancia entre él y es como máximo 1, y ${\displaystyle v}$
• Cada vector reticular está a una distancia mayor que de . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle v}$

La condición opuesta es que el vector reticular más cercano esté a una distancia , de ahí el nombre CVP de Gap . ${\displaystyle 1<\lambda (L)\leq \beta }$

Resultados conocidos

El problema está trivialmente contenido en NP para cualquier factor de aproximación.

Schnorr , en 1987, demostró que los algoritmos de tiempo polinomial deterministas pueden resolver el problema para . ^[28] Ajtai et al. demostraron que los algoritmos probabilísticos pueden lograr un factor de aproximación ligeramente mejor de . ^[10] ${\displaystyle \beta =2^{O(n(\log \log n)^{2}/\log n)}}$ ${\displaystyle \beta =2^{O(n\log \log n/\log n)}}$

En 1993, Banaszczyk demostró que GapCVP _n está en . ^[29] En 2000, Goldreich y Goldwasser demostraron que pone el problema tanto en NP como en coAM . ^[30] En 2005, Aharonov y Regev demostraron que para alguna constante , el problema con está en . ^[31] ${\displaystyle {\mathsf {NP\cap coNP}}}$ ${\displaystyle \beta ={\sqrt {n/\log n}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \beta =c{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {NP\cap coNP}}}$

Para los límites inferiores, Dinur et al. demostraron en 1998 que el problema es NP-difícil para . ^[32] ${\displaystyle \beta =n^{o(1/\log {\log {n}})}}$

Problema de los vectores independientes más cortos (SIVP)

Dada una red L de dimensión n , el algoritmo debe generar n linealmente independiente de modo que , donde el lado derecho considera todas las bases de la red. ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle \max \|v_{i}\|\leq \max _{B}\|b_{i}\|}$ ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$

En la versión aproximada, dada una red L con dimensión n , se deben encontrar n vectores linealmente independientes de longitud ⁠ ⁠ , donde es el ⁠ ⁠ ^ésimo mínimo sucesivo de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle \max \|v_{i}\|\leq \gamma \lambda _{n}(L)}$ ${\displaystyle \lambda _{n}(L)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$

Descodificación de distancias limitadas

Este problema es similar al CVP. Dado un vector cuya distancia a la red es como máximo , el algoritmo debe generar el vector de red más cercano a él. ${\displaystyle \lambda (L)/2}$

Problema del radio de cobertura

Dada una base para la red, el algoritmo debe encontrar la distancia más grande (o en algunas versiones, su aproximación) desde cualquier vector a la red.

Problema de la base más corta

Muchos problemas se vuelven más fáciles si la base de entrada consiste en vectores cortos. Un algoritmo que resuelve el problema de la base más corta (SBP) debe, dada una base reticular , generar ${\displaystyle B}$ una base equivalente tal que la longitud del vector más largo sea lo más corta posible. ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B'}$

La versión de aproximación del problema SBP _γ consiste en encontrar una base cuyo vector más largo sea, como máximo, más largo que el vector más largo en la base más corta. ${\displaystyle \gamma }$

Uso en criptografía

La dureza promedio de los problemas constituye una base para las pruebas de seguridad de la mayoría de los esquemas criptográficos. Sin embargo, la evidencia experimental sugiere que la mayoría de los problemas NP-hard carecen de esta propiedad: probablemente solo sean difíciles en el peor de los casos. Se ha conjeturado o demostrado que muchos problemas de red son difíciles en el peor de los casos, lo que los convierte en una clase atractiva de problemas en los que basar esquemas criptográficos. Además, la dureza del peor de los casos de algunos problemas de red se ha utilizado para crear esquemas criptográficos seguros. El uso de la dureza del peor de los casos en tales esquemas los convierte en uno de los pocos esquemas que es muy probable que sean seguros incluso contra las computadoras cuánticas .

Los problemas de red anteriores son fáciles de resolver si se proporciona al algoritmo una base "buena". Los algoritmos de reducción de red apuntan, dada una base para una red, a generar una nueva base que consista en vectores relativamente cortos y casi ortogonales . El algoritmo de reducción de base de red de Lenstra–Lenstra–Lovász (LLL) fue uno de los primeros algoritmos eficientes para este problema que podía generar una base de red casi reducida en tiempo polinomial. ^[33] Este algoritmo y sus posteriores refinamientos se utilizaron para romper varios esquemas criptográficos, estableciendo su estatus como una herramienta muy importante en el criptoanálisis. El éxito de LLL en datos experimentales llevó a creer que la reducción de red podría ser un problema fácil en la práctica; sin embargo, esta creencia fue cuestionada a fines de la década de 1990, cuando se obtuvieron varios resultados nuevos sobre la dificultad de los problemas de red, comenzando con el resultado de Ajtai . ^[2]

En sus artículos seminales, Ajtai demostró que el problema SVP era NP-hard y descubrió algunas conexiones entre la complejidad del peor caso y la complejidad del caso promedio de algunos problemas de red. ^{[2] [3]} Basándose en estos resultados, Ajtai y Dwork crearon un criptosistema de clave pública cuya seguridad podría probarse utilizando solo la dureza del peor caso de una cierta versión de SVP, ^[34] convirtiéndolo así en el primer resultado en haber utilizado la dureza del peor caso para crear sistemas seguros. ^[35]

Véase también

• Aprendiendo con los errores
• Problema de solución de números enteros cortos

Referencias

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Lectura adicional

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