En matemáticas —específicamente, en geometría de Riemann— un par Wiedersehen es un par de puntos distintos x e y en una variedad de Riemann compacta (generalmente, pero no necesariamente, bidimensional) ( M , g ) tal que cada geodésica que pasa por x también pasa por y , y lo mismo con x e y intercambiados.
Por ejemplo, en una esfera ordinaria donde las geodésicas son círculos máximos , los pares de Wiedersehen son exactamente los pares de puntos antípodas .
Si cada punto de una variedad orientada ( M , g ) pertenece a un par Wiedersehen, entonces ( M , g ) se dice que es una variedad Wiedersehen . El concepto fue introducido por el matemático austrohúngaro Wilhelm Blaschke y proviene del término alemán que significa "ver de nuevo". Resulta que, en cada dimensión n, la única variedad Wiedersehen (hasta la isometría ) es la n -esfera euclidiana estándar . Inicialmente conocida como la conjetura de Blaschke , este resultado fue establecido por los trabajos combinados de Berger , Kazdan , Weinstein (para n par ) y Yang ( n impar ).
Véase también
Referencias
- Berger, Marcel (1978). "Conjetura de Blaschke para esferas". Variedades cuyas geodésicas son todas cerradas . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pág. 236–242. doi :10.1007/978-3-642-61876-5_13. ISBN 978-3-642-61878-9.
- Blaschke, Wilhelm (1921). Vorlesung über Diferencialgeometrie I . Berlín: Springer-Verlag.
- Kazdan, Jerry L. (1982). "Una desigualdad isoperimétrica y variedades de Wiedersehen". Seminario sobre geometría diferencial. (AM-102). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08268-4. JSTOR j.ctt1bd6kkq.9 . Consultado el 29 de enero de 2024 .
- McKay, Benjamin. «Resumen de los avances en la conjetura de Blaschke» (PDF) . Consultado el 29 de enero de 2024 .
- Weinstein, Alan (1974-01-01). "Sobre el volumen de variedades cuyas geodésicas están todas cerradas". Journal of Differential Geometry . 9 (4). doi :10.4310/jdg/1214432547. ISSN 0022-040X.
- CT Yang (1980). "Las variedades wiedersehen de dimensiones impares son esferas". J. Geometría diferencial . 15 (1): 91–96. doi : 10.4310/jdg/1214435386 . ISSN 0022-040X.
- Chavel, Isaac (2006). Geometría de Riemann: una introducción moderna . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 328–329. ISBN 0-521-61954-8.
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