variables de ashtekar

Variables utilizadas en la relatividad general.

En la formulación ADM de la relatividad general , el espacio-tiempo se divide en porciones espaciales y un eje de tiempo. Se considera que las variables básicas son la métrica inducida en el corte espacial y el momento conjugado de la métrica , que está relacionado con la curvatura extrínseca y es una medida de cómo evoluciona la métrica inducida en el tiempo. ^[1] Estas son las coordenadas canónicas métricas . ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle K^{ab}(x)}$

En 1986, Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, las variables Ashtekar ( nuevas ), para representar una forma inusual de reescribir las variables canónicas métricas en cortes espaciales tridimensionales en términos de un campo calibre SU(2) y su variable complementaria. ^[2]

Descripción general

Las variables de Ashtekar proporcionan lo que se llama la representación de conexión de la relatividad general canónica, que condujo a la representación en bucle de la relatividad general cuántica ^[3] y, a su vez, a la teoría de la gravedad cuántica en bucle y la holonomía cuántica. ^[4]

Introduzcamos un conjunto de tres campos vectoriales que son ortogonales, es decir, ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$ ${\displaystyle \ j=1,2,3\ }$

${\displaystyle \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~.}$

Se llaman tríada o drei-bein (traducción literal alemana, "tres patas"). Ahora hay dos tipos diferentes de índices, índices "espaciales" que se comportan como índices regulares en un espacio curvo, e índices "internos" que se comportan como índices de espacio plano (la "métrica" ​​correspondiente que sube y baja los índices internos es simplemente ). Defina el dual drei-bein como ${\displaystyle \ E_{i}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ a,b,c\ }$ ${\displaystyle \ j,k,\ell \ }$ ${\displaystyle \ \delta _{jk}\ }$ ${\displaystyle \ E_{a}^{j}\ }$

${\displaystyle \ E_{a}^{j}=q_{ab}\ E_{j}^{b}~.}$

Entonces tenemos las dos relaciones de ortogonalidad.

${\displaystyle \ \delta ^{jk}=q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ ,}$

donde está la matriz inversa de la métrica (esto proviene de sustituir la fórmula del drei-bein dual en términos del drei-bein y usar la ortogonalidad de los drei-beins ). ${\displaystyle q^{ab}}$ ${\displaystyle \ q_{ab}\ }$ ${\displaystyle \ q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ }$

y

${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{k}\ =\delta _{b}^{a}\ }$

(Esto surge de contratar y utilizar la independencia lineal de ). Entonces es fácil verificar a partir de la primera relación de ortogonalidad, empleando que ${\displaystyle \ \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{k}^{b}\ E_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ E_{c}^{j}\ }$ ${\displaystyle \ E_{a}^{k}\ }$ ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{j}=\delta _{b}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ q^{ab}~=~\sum _{j,\ k=1}^{3}\;\delta _{jk}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~=~\sum _{j=1}^{3}\;E_{j}^{a}\ E_{j}^{b}\ ,}$

Hemos obtenido una fórmula para la métrica inversa en términos de drei-beins . Los drei-beins pueden considerarse como la "raíz cuadrada" de la métrica (el significado físico de esto es que la métrica, cuando se escribe en términos de una base, es localmente plana). En realidad lo que realmente se considera es ${\displaystyle \ q^{ab}\ ,}$ ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(\mathrm {det} (q)\right)\ q^{ab}~=~\sum _{j=1}^{3}\;{\tilde {E}}_{j}^{a}\ {\tilde {E}}_{j}^{b}\ ,}$

lo que implica en cambio el drei-bein "densitizado" ( densitizado como ) . Se recupera de la métrica multiplicada por un factor dado por su determinante. Está claro que contiene la misma información, pero reorganizada. Ahora bien, la elección de no es única y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos sin cambiar la métrica (inversa). Este es el origen de la invariancia de calibre. Ahora bien, si uno va a operar con objetos que tienen índices internos, necesita introducir una derivada apropiada ( derivada covariante ), por ejemplo, la derivada covariante para el objeto será ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\textstyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}={\sqrt {\det(q)\ }}\ E_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ j\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {SU(2)} \ }$ ${\displaystyle \ V_{i}^{b}\ }$

${\displaystyle \ D_{a}\ V_{j}^{b}=\partial _{a}V_{j}^{b}-\Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ V_{k}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}\ V_{j}^{c}\ }$

donde está la conexión habitual de Levi-Civita y es la llamada conexión de giro . Tomemos la variable de configuración como ${\displaystyle \ \Gamma _{ac}^{b}\ }$ ${\displaystyle \ \Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ }$

${\displaystyle \ A_{a}^{j}=\Gamma _{a}^{j}+\beta \ K_{a}^{j}\ }$

donde y El drei-bein densitizado es la variable de momento conjugado de este campo (o conexión) de calibre SU(2) tridimensional en el sentido de que satisface la relación entre corchetes de Poisson ${\displaystyle \Gamma _{a}^{j}=\Gamma _{ak\ell }\ \epsilon ^{k\ell j}}$ ${\textstyle K_{a}^{j}=K_{ab}\ {\tilde {E}}^{bj}/{\sqrt {\det(q)\ }}~.}$ ${\displaystyle \ A_{b}^{k}\ ,}$

${\displaystyle \ \{\ {\tilde {E}}_{j}^{a}(x),\ A_{b}^{k}(y)\ \}=8\pi \ G_{\mathsf {Newton}}\ \beta \ \delta _{b}^{a}\ \delta _{j}^{k}\ \delta ^{3}(x-y)~.}$

La constante es el parámetro Immirzi , un factor que renormaliza la constante de Newton. El drei-bein densitizado se puede usar para reconstruir la métrica como se discutió anteriormente y la conexión se puede usar para reconstruir la curvatura extrínseca. Las variables de Ashtekar corresponden a la elección (el negativo del número imaginario ) , entonces se llama conexión de espín quiral. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \ G_{\mathsf {Newton}}~.}$ ${\displaystyle \ \beta =-i\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ A_{a}^{j}\ }$

La razón de esta elección de la conexión de espín fue que Ashtekar podía simplificar mucho la ecuación más problemática de la relatividad general canónica, es decir, la restricción hamiltoniana de LQG . Esta elección hizo que su formidable segundo término desapareciera y el término restante se convirtiera en polinomio en sus nuevas variables. Esta simplificación generó nuevas esperanzas para el programa canónico de gravedad cuántica. ^[5] Sin embargo sí presentó ciertas dificultades: Aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, tiene el problema de que las variables se vuelven complejas . ^[6] Cuando se cuantifica la teoría, es una tarea difícil garantizar que se recupera la relatividad general real , a diferencia de la relatividad general compleja . Además, la restricción hamiltoniana con la que trabajó Ashtekar fue la versión densitizada, en lugar del hamiltoniano original; es decir, trabajó con ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H~.}$

Hubo serias dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico . En 1996, Thomas Thiemann pudo utilizar una generalización del formalismo de Ashtekar a conexiones reales ( toma valores reales) y, en particular, ideó una forma de simplificar el hamiltoniano original, junto con el segundo término. También pudo promover esta restricción hamiltoniana a un operador cuántico bien definido dentro de la representación del bucle. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \beta }$

Lee Smolin, Ted Jacobson y Joseph Samuel descubrieron de forma independiente que, de hecho, existe una formulación lagrangiana de la teoría al considerar la formulación autodual del principio de acción tetrádico de Palatini de la relatividad general. ^{[9] [10] [11]} Estas pruebas se dieron en términos de espinores. Goldberg ^[12] proporcionó una prueba puramente tensorial de las nuevas variables en términos de tríadas y Henneaux, Nelson y Schomblond (1989) en términos de tétradas. ^[13]

Referencias

1. Gravitación de Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, publicado por WH Freeman y compañía. Nueva York.
2. Ashtekar, A (1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Cartas de revisión física . 57 (18): 2244–2247. Código bibliográfico : 1986PhRvL..57.2244A. doi :10.1103/physrevlett.57.2244. PMID  10033673.
3. Rovelli, C.; Smolin, L. (1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Cartas de revisión física . 61 (10): 1155-1158. Código bibliográfico : 1988PhRvL..61.1155R. doi :10.1103/physrevlett.61.1155. PMID  10038716.
4. J. Aastrup; JM Grimstrup (2015). "Teoría de la holonomía cuántica". Fortschritte der Physik . 64 (10): 783. arXiv : 1504.07100 . Código Bib : 2016 para Ph..64..783A. doi :10.1002/prop.201600073.
5. Para obtener más detalles sobre esto y el desarrollo posterior, consulte Conferencias sobre gravedad canónica no perturbativa (1ª ed.). Publicaciones científicas mundiales. 1991.
6. Véase Báez, John; Muniain, Javier P. (1994). Campos de calibre, nudos y gravedad (1ª ed.). Publicaciones científicas mundiales. parte III, capítulo 5.
7. Thiemann, T. (1996). "Formulación libre de anomalías de gravedad cuántica lorentziana de cuatro dimensiones y no perturbativa". Letras de Física B. 380 (3–4). Elsevier BV: 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . doi :10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN  0370-2693.
8. Para un relato de estos desarrollos, ver Baez, John . "La restricción hamiltoniana en la representación en bucle de la gravedad cuántica". ucr.edu (página web personal académica). Universidad de California, Riverside .
9. Samuel, J. (abril de 1987). "Una base lagrangiana para la formulación de la gravedad canónica de Ashtekar". Pramana - Revista de Física . 28 (4). Academia Nacional de Ciencias de la India : L429-L432 - a través de ias.ac.in.
10. Jacobson, Ted; Smolin, Lee (1987). "La conexión de espín zurdo como variable de la gravedad canónica". Letras de Física B. 196 (1). Elsevier: 39–42. doi :10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
11. Jacobson, T; Smolin, L. (1 de abril de 1988). "Acción covariante para la forma de gravedad canónica de Ashtekar". Gravedad clásica y cuántica . 5 (4): 583–594. doi :10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381.
12. Goldberg, JN (15 de abril de 1988). "Aproximación en tríada al hamiltoniano de la relatividad general". Revisión física D. 37 (8). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 2116–2120. doi :10.1103/physrevd.37.2116. ISSN  0556-2821.
13. Henneaux, M.; Nelson, JE; Schomblond, C. (15 de enero de 1989). "Derivación de variables Ashtekar a partir de la gravedad tétrada". Revisión física D. 39 (2). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 434–437. doi :10.1103/physrevd.39.434. ISSN  0556-2821.

Lectura adicional

• Ashtekar, Abhay (1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Cartas de revisión física . 57 (18): 2244–2247. Código bibliográfico : 1986PhRvL..57.2244A. doi :10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID  10033673.