Las teorías de conjuntos no bien fundadas son variantes de la teoría de conjuntos axiomática que permiten que los conjuntos sean elementos de sí mismos y de otro modo violen la regla de la fundamentación . En teorías de conjuntos no bien fundamentadas, el axioma fundamental de ZFC se reemplaza por axiomas que implican su negación.
El estudio de los conjuntos no bien fundados fue iniciado por Dmitry Mirimanoff en una serie de artículos entre 1917 y 1920, en los que formuló la distinción entre conjuntos bien fundados y no bien fundados; no consideraba que el fundamento fuera un axioma . Aunque posteriormente se propusieron varios sistemas axiomáticos de conjuntos no bien fundados, no encontraron muchas aplicaciones hasta que el libro Conjuntos no bien fundados de Peter Aczel introduce la teoría de hiperconjuntos en 1988. [1] [2 ] [3]
La teoría de conjuntos no fundamentados se ha aplicado en el modelado lógico de procesos computacionales no terminantes en informática ( álgebra de procesos y semántica final), lingüística y semántica del lenguaje natural ( teoría de la situación ), filosofía (trabajo sobre la paradoja del mentiroso). ), y en un entorno diferente, análisis no estándar . [4]
En 1917, Dmitry Mirimanoff introdujo [5] [6] [7] [8] el concepto de fundamento de un conjunto:
En ZFC, no existe una secuencia ∈ descendente infinita según el axioma de regularidad . De hecho, el axioma de regularidad a menudo se denomina axioma de fundamento, ya que se puede demostrar dentro de ZFC ( es decir, ZFC sin el axioma de regularidad) que un buen fundamento implica regularidad. En variantes de ZFC sin el axioma de regularidad , surge la posibilidad de conjuntos no bien fundados con cadenas ∈ en forma de conjuntos. Por ejemplo, un conjunto A tal que A ∈ A no está bien fundamentado.
Aunque Mirimanoff también introdujo una noción de isomorfismo entre conjuntos posiblemente no bien fundados, no consideró ni un axioma de fundamento ni de antifundamento. [7] En 1926, Paul Finsler introdujo el primer axioma que permitía conjuntos no bien fundamentados. Después de que Zermelo adoptó la Fundación en su propio sistema en 1930 (a partir del trabajo anterior de von Neumann 1925-1929), el interés por los conjuntos no bien fundamentados disminuyó durante décadas. [9] Una de las primeras teorías de conjuntos no bien fundadas fue New Foundations de Willard Van Orman Quine , aunque no es simplemente ZF con un reemplazo de Foundation.
En la década de 1950 se publicaron varias pruebas de la independencia de Foundation del resto de ZF, en particular por Paul Bernays (1954), tras un anuncio del resultado en un artículo anterior suyo de 1941, y por Ernst Specker , que dio una prueba diferente en su Habilitationsschrift de 1951, demostración que se publicó en 1957. Luego, en 1957 se publicó el teorema de Rieger, que daba un método general para llevar a cabo dicha demostración, reavivando cierto interés por los sistemas axiomáticos no bien fundamentados. [10] La siguiente propuesta de axioma surgió en una charla en el congreso de 1960 de Dana Scott (nunca publicada como artículo), proponiendo un axioma alternativo ahora llamado SAFA. [11] Otro axioma propuesto a finales de la década de 1960 fue el axioma de superuniversalidad de Maurice Boffa, descrito por Aczel como el punto culminante de la investigación de su década. [12] La idea de Boffa era hacer que la base fallara tanto como fuera posible (o más bien, según lo permitiera la extensionalidad): el axioma de Boffa implica que toda relación extensional en forma de conjunto es isomorfa al predicado de elementalidad en una clase transitiva.
Un enfoque más reciente de la teoría de conjuntos no bien fundamentada, iniciado por M. Forti y F. Honsell en la década de 1980, toma prestado de la informática el concepto de bisimulación . Los conjuntos bisimilares se consideran indistinguibles y, por tanto, iguales, lo que conduce a un fortalecimiento del axioma de extensionalidad . En este contexto, los axiomas que contradicen el axioma de regularidad se conocen como axiomas antifundamento , y un conjunto que no necesariamente está bien fundamentado se denomina hiperconjunto .
Son bien conocidos cuatro axiomas antifundamentos mutuamente independientes , a veces abreviados por la primera letra en la siguiente lista:
Básicamente corresponden a cuatro nociones diferentes de igualdad para conjuntos no bien fundados. El primero de ellos, AFA, se basa en gráficos puntiagudos accesibles (apg) y establece que dos hiperconjuntos son iguales si y sólo si pueden ser representados por el mismo apg. Dentro de este marco, se puede demostrar que el llamado átomo de Quine , definido formalmente por Q={Q}, existe y es único.
Cada uno de los axiomas dados anteriormente extiende el universo del anterior, de modo que: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. En el universo de Boffa, los distintos átomos de Quine forman una clase propia. [13]
Vale la pena enfatizar que la teoría de hiperconjuntos es una extensión de la teoría de conjuntos clásica y no un reemplazo: los conjuntos bien fundamentados dentro de un dominio de hiperconjuntos se ajustan a la teoría de conjuntos clásica.
En las investigaciones publicadas, los conjuntos no bien fundamentados también se denominan hiperconjuntos, en paralelo a los números hiperreales del análisis no estándar . [14] [15]
Los hiperconjuntos fueron utilizados ampliamente por Jon Barwise y John Etchemendy en su libro de 1987 The Liar , sobre la paradoja del mentiroso . Las propuestas del libro contribuyeron a la teoría de la verdad . [14] El libro también es una buena introducción al tema de los conjuntos no bien fundados. [14]
