Pseudosfera

Superficie geométrica

En geometría , una pseudoesfera es una superficie con curvatura gaussiana negativa constante .

Una pseudoesfera de radio R es una superficie que tiene una curvatura −1/ R ² en cada punto. Su nombre proviene de la analogía con la esfera de radio R , que es una superficie de curvatura 1/ R ² . El término fue introducido por Eugenio Beltrami en su artículo de 1868 sobre modelos de geometría hiperbólica . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Tractoide

Tractoide

La misma superficie puede describirse también como el resultado de hacer girar una tractriz alrededor de su asíntota . Por esta razón, la pseudoesfera también se llama tractroide . Como ejemplo, la (semi) pseudoesfera (con radio 1) es la superficie de revolución de la tractriz parametrizada por ^[2]

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

Es un espacio singular (el ecuador es una singularidad), pero lejos de las singularidades, tiene curvatura gaussiana negativa constante y por lo tanto es localmente isométrico a un plano hiperbólico .

El nombre de pseudoesfera se debe a que tiene una superficie bidimensional de curvatura gaussiana negativa constante, al igual que una esfera tiene una superficie con curvatura gaussiana positiva constante. Así como la esfera tiene en cada punto una geometría de curvatura positiva de una cúpula, toda la pseudoesfera tiene en cada punto una geometría de curvatura negativa de una silla de montar .

Ya en 1693, Christiaan Huygens descubrió que el volumen y la superficie de la pseudoesfera son finitos, ^[3] a pesar de la extensión infinita de la forma a lo largo del eje de rotación. Para un radio de arista dado R , el área es 4π R ² tal como lo es para la esfera, mientras que el volumen es ⁠2/3⁠ π R ³ y por lo tanto la mitad de la de una esfera de ese radio. ^{[4] [5]}

La pseudoesfera es un precursor geométrico importante de las artes textiles matemáticas y la pedagogía . ^[6]

Espacio de cobertura universal

La pseudoesfera y su relación con otros tres modelos de geometría hiperbólica

La semipseudoesfera de curvatura −1 está cubierta por el interior de un horociclo . En el modelo de semiplano de Poincaré, una opción conveniente es la porción del semiplano con y ≥ 1 . ^[7] Entonces, la función de cobertura es periódica en la dirección x de período 2 π , y lleva los horociclos y = c a los meridianos de la pseudoesfera y las geodésicas verticales x = c a las tractrices que generan la pseudoesfera. Esta función es una isometría local y, por lo tanto, exhibe la porción y ≥ 1 del semiplano superior como el espacio de cobertura universal de la pseudoesfera. La función precisa es

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}}$

dónde

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

es la parametrización de la tractriz anterior.

Hiperboloide

Deformación de la pseudoesfera en una porción de la superficie de Dini . En geometría diferencial, se trata de una transformación de Lie . En las soluciones correspondientes a la ecuación de seno-Gordon , esta deformación corresponde a un Lorentz Boost de la solución estática de 1 solitón .

En algunas fuentes que utilizan el modelo hiperboloide del plano hiperbólico, el hiperboloide se denomina pseudoesfera . ^[8] Este uso de la palabra se debe a que el hiperboloide puede considerarse como una esfera de radio imaginario, incrustada en un espacio de Minkowski .

Superficies pseudoesféricas

Una superficie pseudoesférica es una generalización de la pseudoesfera. Una superficie que está inmersa suavemente en un espacio con una curvatura negativa constante es una superficie pseudoesférica. El tractroide es el ejemplo más simple. Otros ejemplos incluyen las superficies de Dini , las superficies de respiración y la superficie de Kuen. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Relación con las soluciones de la ecuación de seno-Gordon

Se pueden construir superficies pseudosféricas a partir de soluciones de la ecuación de seno-Gordon . ^[9] Una prueba esquemática comienza con la reparametrización del tractroide con coordenadas en las que las ecuaciones de Gauss-Codazzi se pueden reescribir como la ecuación de seno-Gordon.

En particular, para el tractroide las ecuaciones de Gauss-Codazzi son la ecuación de seno-Gordon aplicada a la solución del solitón estático, por lo que se satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi. En estas coordenadas, la primera y la segunda forma fundamental se escriben de manera que quede claro que la curvatura gaussiana es −1 para cualquier solución de las ecuaciones de seno-Gordon.

Entonces, cualquier solución de la ecuación de seno-Gordon se puede utilizar para especificar una primera y una segunda forma fundamental que satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi. Existe entonces un teorema que establece que cualquier conjunto de datos iniciales puede utilizarse para especificar, al menos localmente, una superficie sumergida en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

A continuación se dan algunos ejemplos de soluciones de seno-Gordon y su superficie correspondiente:

• 1-solitón estático: pseudoesfera
• 1 solitón en movimiento: la superficie de Dini
• Solución de ventilación: superficie de ventilación
• 2-solitón: superficie de Kuen

Véase también

• Teorema de Hilbert (geometría diferencial)
• La superficie de Dini
• Cuerno de Gabriel
• Hiperboloide
• Estructura hiperboloide
• Cuasi-esfera
• Ecuación de seno-Gordon
• Esfera
• Superficie de revolución

Referencias

1. Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea" [Tratado sobre la interpretación de la geometría no euclidiana]. Gior. Estera. (en italiano). 6 : 248–312.

   (Reeditado en Beltrami, Eugenio (1902). Opere Matematiche . Vol. 1. Milán: Ulrico Hoepli. XXIV, págs. 374–405.Traducido al francés como "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Ser. 1. 6 . Traducido por J. Hoüel: 251–288. 1869. doi : 10.24033/asens.60 . EuDML  80724 .)

2. Bonahon, Francis (2009). Geometría de baja dimensión: de superficies euclidianas a nudos hiperbólicos. Librería AMS. p. 108. ISBN 978-0-8218-4816-6., Capítulo 5, página 108
3. Stillwell, John (2010). Matemáticas y su historia (revisada, 3.ª ed.). Springer Science & Business Media. pág. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8., extracto de la página 345
4. Le Lionnais, F. (2004). Grandes corrientes del pensamiento matemático, vol. II: Matemáticas en las artes y las ciencias (2.ª ed.). Courier Dover Publications. pág. 154. ISBN 0-486-49579-5., Capítulo 40, página 154
5. Weisstein, Eric W. "Pseudosfera". MathWorld .
6. Roberts, Siobhan (15 de enero de 2024). "El arrecife de coral de crochet sigue reproduciéndose, hiperbólicamente". The New York Times .
7. Thurston, William, Geometría tridimensional y topología , vol. 1, Princeton University Press, pág. 62.
8. Hasanov, Elman (2004), "Una nueva teoría de rayos complejos", IMA J. Appl. Math. , 69 (6): 521–537, doi :10.1093/imamat/69.6.521, ISSN  1464-3634, archivado desde el original el 15 de abril de 2013
9. Wheeler, Nicholas. "De la pseudoesfera a la ecuación de seno-Gordon" (PDF) . Consultado el 24 de noviembre de 2022 .

• Stillwell, J. (1996). Fuentes de geometría hiperbólica . Amer. Math. Soc. y London Math. Soc.
• Henderson, DW; Taimina, D. (2006). "Experimentar la geometría: euclidiana y no euclidiana con la historia". Estética y matemáticas (PDF) . Springer-Verlag.
• Kasner, Edward; Newman, James (1940). Matemáticas e imaginación . Simon & Schuster . Págs. 140, 145, 155.

Enlaces externos

• No euclidiano
• Tejiendo el plano hiperbólico: entrevista con David Henderson y Daina Taimina
• Conferencia n.º 16 de Norman Wildberger, Historia de las matemáticas, Universidad de Nueva Gales del Sur. YouTube. Mayo de 2012.
• Superficies pseudosféricas en el museo virtual de matemáticas.