Secuencia Primefree

En matemáticas , una secuencia sin primos es una secuencia de números enteros que no contiene ningún número primo . Más específicamente, suele significar una secuencia definida por la misma relación de recurrencia que los números de Fibonacci , pero con diferentes condiciones iniciales que hacen que todos los miembros de la secuencia sean números compuestos que no tienen todos un divisor común . Para decirlo algebraicamente, una secuencia de este tipo se define por una elección apropiada de dos números compuestos a ₁ y a ₂ , tales que el máximo común divisor es igual a 1, y tal que para no hay primos en la secuencia de números calculada a partir de la fórmula ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a_{1},a_{2})}$ ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}$.

La primera secuencia libre de primos de este tipo fue publicada por Ronald Graham en 1964.

La secuencia de Wilf

Una secuencia libre de primos encontrada por Herbert Wilf tiene términos iniciales

${\displaystyle a_{1}=20615674205555510,a_{2}=3794765361567513}$(secuencia A083216 en la OEIS )

La prueba de que cada término de esta secuencia es compuesto se basa en la periodicidad de las secuencias numéricas de tipo Fibonacci módulo los miembros de un conjunto finito de primos. Para cada primo , las posiciones en la secuencia donde los números son divisibles por se repiten en un patrón periódico, y los diferentes primos en el conjunto tienen patrones superpuestos que dan como resultado un conjunto que cubre toda la secuencia. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

No trivialidad

El requisito de que los términos iniciales de una secuencia sin primos sean coprimos es necesario para que la pregunta no sea trivial. Si los términos iniciales comparten un factor primo (por ejemplo, el conjunto y para algunos y ambos mayores que 1), debido a la propiedad distributiva de la multiplicación y de manera más general, todos los valores posteriores en la secuencia serán múltiplos de . En este caso, todos los números en la secuencia serán compuestos, pero por una razón trivial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}=xp}$ ${\displaystyle a_{2}=yp}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a_{3}=(x+y)p}$ ${\displaystyle p}$

El orden de los términos iniciales también es importante. En la biografía de Paul Erdős escrita por Paul Hoffman , El hombre que sólo amaba los números , se cita la sucesión de Wilf pero con los términos iniciales intercambiados. La sucesión resultante parece libre de primos durante los primeros cien términos aproximadamente, pero el término 138 es el primo de 45 dígitos . ^[1] ${\displaystyle 439351292910452432574786963588089477522344721}$

Otras secuencias

Se conocen otras secuencias libres de primos:

${\displaystyle a_{1}=331635635998274737472200656430763,a_{2}=1510028911088401971189590305498785}$(secuencia A083104 en la OEIS ; Graham 1964),

${\displaystyle a_{1}=62638280004239857,a_{2}=49463435743205655}$(secuencia A083105 en la OEIS; Knuth 1990), y

${\displaystyle a_{1}=407389224418,a_{2}=76343678551}$(secuencia A082411 en la OEIS; Nicol 1999).

La secuencia de este tipo con los términos iniciales más pequeños conocidos tiene

${\displaystyle a_{1}=106276436867,a_{2}=35256392432}$(secuencia A221286 en la OEIS; Vsemirnov 2004).

Notas

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A108156". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

Referencias

• Graham, Ronald L. (1964). "Una secuencia de números compuestos similar a Fibonacci" (PDF) . Revista de Matemáticas . 37 (5): 322–324. doi :10.2307/2689243. JSTOR  2689243.
• Knuth, Donald E. (1990). "Una secuencia de números compuestos similar a Fibonacci". Revista de Matemáticas . 63 (1): 21–25. doi :10.2307/2691504. JSTOR  2691504. MR  1042933.
• Wilf, Herbert S. (1990). "Cartas al editor". Revista de matemáticas . 63 : 284. doi :10.1080/0025570X.1990.11977539. JSTOR  2690956.
• Nicol, John W. (1999). "Una secuencia de números compuestos similar a Fibonacci" (PDF) . Revista Electrónica de Combinatoria . 6 (1): 44. doi :10.37236/1476. MR  1728014.
• Vsemirnov, M. (2004). "Una nueva secuencia de números compuestos similar a Fibonacci" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 7 (3): 04.3.7. Bibcode :2004JIntS...7...37V. MR  2110778.

Enlaces externos

• Problema 31. Fibonacci: todas las secuencias compuestas. Conexión entre los problemas y los acertijos principales.
• "Secuencia sin primos". PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Secuencia sin primos". MathWorld .