secuencia Primefree

En matemáticas , una secuencia sin primos es una secuencia de números enteros que no contiene ningún número primo . Más específicamente, generalmente significa una secuencia definida por la misma relación de recurrencia que los números de Fibonacci , pero con diferentes condiciones iniciales que hacen que todos los miembros de la secuencia sean números compuestos que no todos tienen un divisor común . Para decirlo algebraicamente, una secuencia de este tipo se define mediante la elección adecuada de dos números compuestos, a ₁ y a ₂ , de modo que el máximo común divisor sea igual a 1, y de modo que no haya primos en la secuencia de números. calculado a partir de la fórmula ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a_{1},a_{2})}$ ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}$.

La primera secuencia libre de este tipo fue publicada por Ronald Graham en 1964.

secuencia de wilf

Una secuencia libre encontrada por Herbert Wilf tiene términos iniciales

${\displaystyle a_{1}=20615674205555510,a_{2}=3794765361567513}$(secuencia A083216 en el OEIS )

La prueba de que cada término de esta secuencia es compuesto se basa en la periodicidad de las secuencias numéricas similares a Fibonacci módulo de los miembros de un conjunto finito de números primos. Para cada primo , las posiciones en la secuencia donde los números son divisibles por se repiten en un patrón periódico, y diferentes primos en el conjunto tienen patrones superpuestos que dan como resultado un conjunto de cobertura para toda la secuencia. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

No trivialidad

El requisito de que los términos iniciales de una secuencia libre de primos sean coprimos es necesario para que la pregunta no sea trivial. Si los términos iniciales comparten un factor primo (por ejemplo, conjunto y para algunos y ambos mayores que 1), debido a la propiedad distributiva de la multiplicación y, de manera más general, todos los valores posteriores en la secuencia serán múltiplos de . En este caso, todos los números de la secuencia serán compuestos, pero por una razón trivial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}=xp}$ ${\displaystyle a_{2}=yp}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a_{3}=(x+y)p}$ ${\displaystyle p}$

El orden de los términos iniciales también es importante. En la biografía de Paul Erdős escrita por Paul Hoffman , El hombre que amaba sólo los números , se cita la secuencia de Wilf pero con los términos iniciales cambiados. La secuencia resultante parece libre de primos durante los primeros cien términos, aproximadamente, pero el término 138 es el primo de 45 dígitos . ^[1] ${\displaystyle 439351292910452432574786963588089477522344721}$

Otras secuencias

Se conocen varias otras secuencias sin prima:

${\displaystyle a_{1}=331635635998274737472200656430763,a_{2}=1510028911088401971189590305498785}$(secuencia A083104 en la OEIS ; Graham 1964),

${\displaystyle a_{1}=62638280004239857,a_{2}=49463435743205655}$(secuencia A083105 en la OEIS; Knuth 1990), y

${\displaystyle a_{1}=407389224418,a_{2}=76343678551}$(secuencia A082411 en la OEIS; Nicol 1999).

La secuencia de este tipo con los términos iniciales más pequeños conocidos tiene

${\displaystyle a_{1}=106276436867,a_{2}=35256392432}$(secuencia A221286 en la OEIS; Vsemirnov 2004).

Notas

1. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A108156". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

Referencias

• Graham, Ronald L. (1964). "Una secuencia de números compuestos similar a Fibonacci" (PDF) . Revista Matemáticas . 37 (5): 322–324. doi :10.2307/2689243. JSTOR  2689243.
• Knuth, Donald E. (1990). "Una secuencia de números compuestos similar a Fibonacci". Revista Matemáticas . 63 (1): 21-25. doi :10.2307/2691504. JSTOR  2691504. SEÑOR  1042933.
• Wilf, Herbert S. (1990). "Cartas al editor". Revista Matemáticas . 63 : 284. doi : 10.1080/0025570X.1990.11977539. JSTOR  2690956.
• Nicol, John W. (1999). "Una secuencia de números compuestos similar a Fibonacci" (PDF) . Revista Electrónica de Combinatoria . 6 (1): 44. doi : 10.37236/1476. SEÑOR  1728014.
• Vsemirnov, M. (2004). "Una nueva secuencia de números compuestos similar a Fibonacci" (PDF) . Diario de secuencias enteras . 7 (3): 04.3.7. Código Bib : 2004JIntS...7...37V. SEÑOR  2110778.

enlaces externos

• Problema 31. Fibonacci: secuencia de todas las compuestas. La conexión principal de acertijos y problemas.
• "Secuencia Primefree". PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Secuencia Primefree". MundoMatemático .