Preferencias de un solo pico

Restricción de las preferencias en la elección social

Las preferencias de un solo pico son una clase de relaciones de preferencia . Un grupo tiene preferencias de un solo pico sobre un conjunto de resultados si los resultados se pueden ordenar a lo largo de una línea de tal manera que:

1. Cada agente tiene un "mejor resultado" en el conjunto, y
2. Para cada agente, los resultados que están más alejados de su mejor resultado son menos preferidos.

Las preferencias de un solo pico son típicas de los dominios unidimensionales. Un ejemplo típico es cuando varios consumidores tienen que decidir la cantidad de un bien público que van a comprar. La cantidad es una variable unidimensional. Por lo general, cada consumidor decide una determinada cantidad que es mejor para él o ella, y si la cantidad real es mayor o menor que esa cantidad ideal, el agente se siente menos satisfecho.

En el caso de preferencias de un solo pico, existe un mecanismo simple y veraz para seleccionar un resultado, que consiste en seleccionar la cantidad mediana; esto da como resultado el teorema del votante mediano . ^{[ cita requerida ]} Es veraz porque la función mediana satisface la propiedad de monotonía fuerte .

La noción fue presentada por primera vez por Duncan Black ^[1] y más tarde por Kenneth Arrow ^[2] .

Definiciones

Sea el conjunto de resultados posibles. Sea el conjunto de agentes. La relación de preferencia del agente i se denota por . El elemento máximo de en X se denota por _. ${\displaystyle X=\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle N=\{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \succ _{i}}$ ${\displaystyle \succ _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

Definición utilizando un orden común

Se dice que el grupo N tiene preferencias de un solo pico sobre X si existe un ordenamiento de los resultados tal que, para cada agente i en N :

${\displaystyle x_{k}<x_{j}\leq x_{i}^{*}\Rightarrow x_{j}\succ _{i}x_{k}}$
${\displaystyle x_{k}>x_{j}\geq x_{i}^{*}\Rightarrow x_{j}\succ _{i}x_{k}}$

En palabras, es el punto ideal para el agente i . Cuando el agente compara entre dos resultados que están a la derecha o a la izquierda de su punto ideal, prefiere estrictamente la opción que esté más cerca de . ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

Nótese que las relaciones de preferencia son diferentes, pero el orden de los resultados debe ser el mismo para todos los agentes. ${\displaystyle \succ _{i}}$

Condición necesaria

Ballester y Haeringer ^[3] demostraron la siguiente condición necesaria para las preferencias de un solo pico.

Si el grupo N tiene preferencias de un solo pico sobre X , entonces para cada triplete de resultados en X , existe un resultado que no está clasificado en último lugar por ningún agente en N.

Algunos ejemplos

Preferencias de un solo pico

El siguiente gráfico muestra un conjunto de tres preferencias que tienen un único pico sobre los resultados {A, B, C, D, E}. En el eje vertical, el número representa la clasificación de preferencia del resultado, siendo 1 el más preferido. Dos resultados que son igualmente preferidos tienen la misma clasificación.

El orden de los resultados es A < B < C < D < E. El resultado ideal para el agente verde es A, para el rojo es B, para el azul es C. Para cada agente, cuando nos alejamos de su resultado ideal, la clasificación disminuye.

También se puede verificar que, para cada triplete de resultados, uno de ellos nunca ocupa el último lugar: el que está en el medio. Por ejemplo, en {A, B, C}, B nunca ocupa el último lugar; en {C, D, E}, D nunca ocupa el último lugar; etc.

Preferencias que no tienen un único pico

Si cada una de las dos preferencias representadas por los dos gráficos siguientes se suma a las tres preferencias anteriores, entonces el grupo resultante de cuatro preferencias no tiene un pico único:

En el caso de las preferencias azules, se puede observar que la clasificación de preferencias desciende para "D" y luego sube para "E". Esto demuestra que las preferencias azules no tienen un solo pico con respecto al ordenamiento A<B<C<D<E, pero aún no demuestra que no haya otro ordenamiento con el que las cuatro preferencias tengan un solo pico. Para demostrarlo formalmente, considere el conjunto de tres resultados {A, D, E}. Cada uno de estos resultados es el peor resultado de algún agente: A es el peor para el agente rojo, D es el peor para el agente azul y E es el peor para el agente verde mencionado anteriormente. Por lo tanto, ningún ordenamiento en X puede hacer que el conjunto de preferencias tenga un solo pico.

Las preferencias verdes no tienen un punto máximo formal porque tienen dos resultados que son los más preferidos: "B" y "C". A estas preferencias a veces se las llama de meseta única .

Interpretaciones

Las preferencias de un solo pico tienen varias interpretaciones para diferentes aplicaciones.

Una aplicación sencilla de las preferencias ideológicas consiste en pensar en el espacio de resultados como lugares en una calle y cada uno de ellos como la dirección de un individuo. Supongamos que una única parada de autobús tiene que estar situada en la calle y que cada individuo desea caminar lo menos posible hasta la parada. Los individuos tienen entonces preferencias de un solo pico: el punto ideal del individuo es y le desagradan otros lugares cuanto más al oeste o más al este estén. ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$

El espacio de resultados también puede considerarse como diferentes políticas en un espectro ideológico: políticas de izquierda frente a políticas de derecha; políticas más liberales frente a políticas más conservadoras; políticas a favor del libre mercado frente a políticas a favor de la intervención estatal. Los votantes tienen preferencias de un solo punto si tienen un equilibrio ideal entre las dos direcciones del espectro ideológico y si les desagradan las políticas cuanto más se alejan de su punto ideal.

Dominios de preferencia relacionados

Se dice que un grupo de agentes tiene preferencias únicas sobre un conjunto de resultados posibles si los resultados pueden ordenarse a lo largo de una línea de tal manera que:

1. Cada agente tiene un " peor resultado" en el conjunto, y -
2. Para cada agente, los resultados que están más alejados de su peor resultado son los más preferidos .

Lackner y Peters ^[4] estudian una clase de preferencias que tienen un solo pico en un círculo.

Reconocimiento

El problema de reconocimiento de pico único es el siguiente problema de decisión : dado un conjunto de preferencias sobre un conjunto de resultados, decidir si existe un orden común de los resultados para los que las preferencias son de pico único. Por lo general, también se requiere encontrar este orden común, si existe.

Trick ^[5] presenta un algoritmo de tiempo polinomial para reconocer preferencias que tienen un solo pico en un árbol.

Escoffier, Spanjaard y Tydrichova ^[6] estudian el problema de reconocer preferencias que tienen un solo pico en un gráfico general.

Véase también

• Mecanismo de parámetro único
• Preferencias en forma de estrella : una extensión de las preferencias de un solo pico a dominios multidimensionales.

Referencias

1. Black, Duncan (1948-02-01). "Sobre la lógica de la toma de decisiones en grupo". Revista de Economía Política . 56 (1): 23–34. doi :10.1086/256633. ISSN  0022-3808. S2CID  153953456.
2. Baumol, William J.; Arrow, Kenneth J. (1 de enero de 1952). "Elección social y valores individuales". Econometrica . 20 (1): 110. doi :10.2307/1907815. hdl : 2027/inu.30000082056718 . ISSN  0012-9682. JSTOR  1907815.
3. Ballester, Miguel A.; Haeringer, Guillaume (15 de julio de 2010). "Una caracterización del dominio de pico único". Elección social y bienestar . 36 (2): 305–322. doi :10.1007/s00355-010-0476-3. ISSN  0176-1714. S2CID  14975233.
4. Peters, Dominik; Lackner, Martin (24 de junio de 2020). "Preferencias de un solo pico en un círculo". Revista de investigación en inteligencia artificial . 68 : 463–502. doi : 10.1613/jair.1.11732 . ISSN  1076-9757.
5. Trick, Michael A. (1 de junio de 1989). "Reconocimiento de preferencias de un solo pico en un árbol". Ciencias Sociales Matemáticas . 17 (3): 329–334. doi :10.1016/0165-4896(89)90060-7. ISSN  0165-4896.
6. Escoffier, Bruno; Spanjaard, Olivier; Tydrichová, Magdaléna (2020). "Reconocimiento de preferencias de un solo pico en un gráfico arbitrario: complejidad y algoritmos". En Harks, Tobias; Klimm, Max (eds.). Teoría de juegos algorítmicos . Apuntes de clase en informática. Vol. 12283. Cham: Springer International Publishing. págs. 291–306. arXiv : 2004.13602 . doi :10.1007/978-3-030-57980-7_19. ISBN . 978-3-030-57980-7.S2CID216562247  .​

• Austen-Smith, David y Jeffrey Banks (2000). Teoría política positiva I: preferencias colectivas . University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-08721-1.
• Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston y Jerry R. Green (1995). Teoría microeconómica . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-507340-9.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Moulin, Hervé (1991). Axiomas de la toma de decisiones cooperativa . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42458-5.