Preferencias en forma de estrella

En la teoría de la elección social , las preferencias en forma de estrella ^[1] son ​​una clase de preferencias sobre puntos en un espacio euclidiano. Un agente con preferencias en forma de estrella tiene un único punto ideal (óptimo), donde está máximamente satisfecho. Además, se vuelve cada vez menos satisfecho a medida que la distribución real se aleja de su óptimo. Las preferencias en forma de estrella pueden verse como una extensión multidimensional de las preferencias de un solo pico .

Fondo

A menudo, la sociedad tiene que elegir un punto de un subconjunto de un espacio euclidiano . Por ejemplo, la sociedad tiene que elegir cómo distribuir su presupuesto anual; cada distribución potencial es un vector de números reales. Si hay m cuestiones potenciales en el presupuesto, entonces el conjunto de todas las distribuciones presupuestarias potenciales es un subconjunto de R ^m - el espacio euclidiano de m dimensiones.

Los distintos miembros de una sociedad pueden tener distintas preferencias sobre la distribución del presupuesto. Una preferencia es cualquier orden total de puntos. Por ejemplo, un agente en particular puede afirmar que prefiere la distribución [0,5, 0,3, 0,2] a [0,4, 0,3, 0,3], prefiere [0,4, 0,3, 0,3] a [0, 1, 0], y así sucesivamente.

A menudo, los agentes expresan sus preferencias de una manera simplificada: en lugar de indicar sus distribuciones preferidas para todos los pares infinitos de distribuciones, indican una distribución, que consideran ideal, que prefieren sobre todas las demás distribuciones; esta distribución se llama su óptimo o su pico . Sin embargo, conocer el óptimo de un agente es insuficiente para decidir cuál de dos distribuciones no óptimas prefiere. Por ejemplo, si el óptimo de un agente es [0,5, 0,3, 0,2], en teoría esto no nos dice nada sobre su preferencia entre [0,7, 0,2, 0,1] y [0,9, 0,1, 0,0].

Decimos que un agente tiene preferencias en forma de estrella si, informalmente, prefiere puntos más cercanos a su óptimo a puntos más alejados de su óptimo. Formalmente, denotamos el óptimo por p , y denotamos alguna otra distribución por q . Sea r cualquier distribución en la línea que conecta p y q (es decir, r  := t* q + (1-t)* p , para algún número real t en (0,1)). Entonces, las preferencias en forma de estrella siempre prefieren estrictamente r a q . ^{[1] : 4} En particular, en el ejemplo anterior, cuando p = [0,5, 0,3, 0,2], las preferencias en forma de estrella siempre prefieren r = [0,7, 0,2, 0,1] a q = [0,9, 0,1, 0,0].

Obsérvese que el supuesto de la forma de estrella no dice nada sobre las preferencias entre puntos que no están en la misma línea. En el ejemplo anterior, un agente con preferencias en forma de estrella y valores óptimos [0,5, 0,3, 0,2] puede preferir [0,7, 0,2, 0,1] a [0,3, 0,2, 0,5] o viceversa.

Casos especiales

Se ha prestado especial atención a varias subclases de preferencias en forma de estrella.

• Las preferencias de un solo pico son preferencias en forma de estrella en el caso especial en el que el conjunto de distribuciones posibles es una línea (unidimensional).
• Preferencias basadas en métricas . Existe una métrica d en el espacio euclidiano, y cada agente prefiere un punto q a un punto r si y solo si d( p , q ) ≤ d( p , r ). Las preferencias basadas en métricas se pueden representar mediante una función de utilidad u( q ) := - d( p , q ). Las preferencias basadas en métricas tienen forma de estrella si la métrica satisface la siguiente propiedad: si todas las coordenadas de p se acercan a q , entonces la distancia d( p , q ) disminuye estrictamente. En particular, esto se cumple para las métricas de todos los . ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$
• Preferencias cuadráticas . ^[1] Hay una matriz A, y las preferencias se pueden representar mediante una función u( q ) := - ( q - p ) ^T * A * ( q - p ). Nótese que si A es la matriz identidad , entonces u( q ) es menos la distancia euclidiana , por lo que en este caso las preferencias también están basadas en métricas. ${\displaystyle \ell _{2}}$

Definiciones alternativas

Freitas, Orillo y Sosa ^[2] definen las preferencias en forma de estrella de la siguiente manera: para cada punto q , el conjunto de puntos r que son (débilmente) preferidos a q es un dominio de estrella. Todas las preferencias en forma de estrella según ^[1] también son en forma de estrella según. ^[2] Demostración : para cada punto q , y cada punto r que es preferido a q , todos los puntos en la línea entre r y el óptimo ( p ) son preferidos a r , y por lo tanto por transitividad también preferidos a q . Por lo tanto, el conjunto de todos estos puntos es un dominio de estrella con respecto al óptimo p . No está claro si la inversa también se cumple. ^{[ aclaración necesaria ]}

Landsberger y Meilijson ^[3] definen funciones de utilidad en forma de estrella. Una función débilmente creciente u se denomina en forma de estrella con respecto a un punto t si su pendiente media [u(x)-u(t)]/[xt] es una función débilmente decreciente de x en (-∞, t ) y en ( t ,∞). Utilizan esta definición para explicar el hecho de que las personas adquieran tanto seguros como loterías .

Resultados

Border y Jordan ^[1] caracterizan los mecanismos a prueba de estrategias para agentes con preferencias cuadráticas, un caso especial de preferencias en forma de estrella (ver regla de votación mediana ).

Lindner, Nehring y Puppe ^[4] y Goel, Krishnaswami, Sakshuwong y Aitamurto ^[5] estudian agentes con preferencias basadas en métricas con la métrica. ${\displaystyle \ell _{1}}$

Referencias

1. Border, Kim C.; Jordan, JS (1983). "Elecciones sencillas, unanimidad y votantes fantasma". The Review of Economic Studies . 50 (1): 153–170. doi :10.2307/2296962. ISSN  0034-6527. JSTOR  2296962.
2. Braga de Freitas, Sinval; Orrillo, Jaime; Sosa, Wilfredo (01-11-2020). "De la condición de Arrow-Debreu a las preferencias de forma de estrella". Optimización . 69 (11): 2405–2419. doi :10.1080/02331934.2019.1576664. ISSN  0233-1934.
3. Landsberger, Michael; Meilijson, Isaac (1990-10-01). "Loterías, seguros y funciones de utilidad en forma de estrella". Journal of Economic Theory . 52 (1): 1–17. doi :10.1016/0022-0531(90)90064-Q. ISSN  0022-0531.
4. http://www.accessecon.com/pubs/SCW2008/GeneralPDFSCW2008/SCW2008-08-00132S.pdf
5. Goel, Ashish; Krishnaswamy, Anilesh K.; Sakshuwong, Sukolsak; Aitamurto, Tanja (29 de julio de 2019). "Voto con mochila para presupuestos participativos". ACM Trans. Econ. Comput . 7 (2): 8:1–8:27. arXiv : 2009.06856 . doi :10.1145/3340230. ISSN  2167-8375.