Onda inercial

El pulso de onda inercial ecuatorial provocó patrones de flujo de fluido dentro de una cámara esférica que giraba de manera constante. Las flechas en esta sección transversal muestran la dirección y la fuerza del flujo en el plano ecuatorial a medida que la esfera continúa girando en el sentido de las agujas del reloj sobre su eje, como se muestra a la izquierda. El rojo indica flujo que sale del plano; el azul indica flujo que entra en el plano.

Las ondas inerciales , también conocidas como oscilaciones inerciales , son un tipo de onda mecánica posible en fluidos giratorios . A diferencia de las ondas de gravedad superficial que se ven comúnmente en la playa o en la bañera, las ondas inerciales fluyen a través del interior del fluido, no en la superficie. Como cualquier otro tipo de onda, una onda inercial es causada por una fuerza restauradora y se caracteriza por su longitud de onda y frecuencia . Debido a que la fuerza restauradora de las ondas inerciales es la fuerza de Coriolis , sus longitudes de onda y frecuencias están relacionadas de una manera peculiar. Las ondas inerciales son transversales . Se observan con mayor frecuencia en atmósferas, océanos, lagos y experimentos de laboratorio. Las ondas de Rossby , las corrientes geostróficas y los vientos geostróficos son ejemplos de ondas inerciales. También es probable que existan ondas inerciales en el núcleo fundido de la Tierra en rotación .

Restaurando la fuerza

Las ondas inerciales se recuperan del equilibrio gracias a la fuerza de Coriolis , que es el resultado de la rotación. Para ser precisos, la fuerza de Coriolis surge (junto con la fuerza centrífuga ) en un sistema giratorio para explicar el hecho de que dicho sistema siempre está acelerando. Por lo tanto, las ondas inerciales no pueden existir sin rotación. Más complicada que la tensión en una cuerda, la fuerza de Coriolis actúa en un ángulo de 90° respecto de la dirección del movimiento y su intensidad depende de la velocidad de rotación del fluido. Estas dos propiedades dan lugar a las características peculiares de las ondas inerciales.

Características

Las ondas inerciales solo son posibles cuando un fluido está rotando y existen en la masa del fluido, no en su superficie. Al igual que las ondas de luz, las ondas inerciales son transversales , lo que significa que sus vibraciones ocurren perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Una característica geométrica peculiar de las ondas inerciales es que su velocidad de fase , que describe el movimiento de las crestas y valles de la onda, es perpendicular a su velocidad de grupo , que es una medida de la propagación de la energía.

Mientras que una onda sonora o una onda electromagnética de cualquier frecuencia es posible, las ondas inerciales solo pueden existir en el rango de frecuencias de cero a dos veces la velocidad de rotación del fluido. Además, la frecuencia de la onda está determinada por su dirección de propagación. Las ondas que viajan perpendicularmente al eje de rotación tienen frecuencia cero y a veces se denominan modos geostróficos . Las ondas que viajan paralelas al eje tienen una frecuencia máxima (el doble de la velocidad de rotación) y las ondas en ángulos intermedios tienen frecuencias intermedias. En el espacio libre, una onda inercial puede existir en cualquier frecuencia entre 0 y el doble de la velocidad de rotación. Sin embargo, un contenedor cerrado puede imponer restricciones a las posibles frecuencias de las ondas inerciales, como ocurre con cualquier tipo de onda. Las ondas inerciales en un contenedor cerrado a menudo se denominan modos inerciales . En una esfera, por ejemplo, los modos inerciales se ven obligados a adoptar frecuencias discretas, lo que deja huecos donde no pueden existir modos.

Ejemplos de ondas inerciales

Cualquier tipo de fluido puede soportar ondas inerciales: agua, petróleo, metales líquidos, aire y otros gases. Las ondas inerciales se observan más comúnmente en atmósferas planetarias ( ondas de Rossby , vientos geostróficos ) y en océanos y lagos ( corrientes geostróficas ), donde son responsables de gran parte de la mezcla que tiene lugar. Las ondas inerciales afectadas por la pendiente del fondo del océano a menudo se denominan ondas de Rossby . Las ondas inerciales se pueden observar en experimentos de laboratorio o en flujos industriales donde un fluido está girando. También es probable que existan ondas inerciales en el núcleo externo líquido de la Tierra, y al menos un grupo [1] ha afirmado tener evidencia de ellas. De manera similar, es probable que haya ondas inerciales en flujos astronómicos giratorios como estrellas , discos de acreción , anillos planetarios y galaxias .

Descripción matemática

El flujo de fluidos se rige por la ecuación de Navier-Stokes para el momento. La velocidad de flujo de un fluido con viscosidad bajo presión y que gira a una velocidad cambia con el tiempo de acuerdo con ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.}$

El primer término de la derecha representa la presión, el segundo representa la difusión viscosa y el tercer (último) término del lado derecho de la ecuación del momento (arriba) es el término de Coriolis.

Para ser precisos, es la velocidad del flujo como se observa en el marco de referencia giratorio. Dado que un marco de referencia giratorio está acelerando (es decir, un marco no inercial), surgen dos (pseudo) fuerzas adicionales (como se mencionó anteriormente) como resultado de esta transformación de coordenadas: la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. En la ecuación anterior, la fuerza centrífuga se incluye como parte de la presión generalizada , es decir, está relacionada con la presión habitual , dependiendo de la distancia desde el eje de rotación , por ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}.}$

En el caso en que la velocidad de rotación sea grande, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga se vuelven grandes en comparación con los otros términos. Al ser pequeñas en comparación, la difusión y la "derivada convectiva" (segundo término a la izquierda) se pueden omitir. Tomando un rotacional de ambos lados y aplicando algunas identidades vectoriales, el resultado es

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.}$

Una clase de soluciones a esta ecuación son las ondas que satisfacen dos condiciones. Primero, si es el vector de onda , ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,}$

Es decir, las ondas deben ser transversales, como se mencionó anteriormente. En segundo lugar, se requiere que las soluciones tengan una frecuencia que satisfaga la relación de dispersión. ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },}$

donde es el ángulo entre el eje de rotación y la dirección de la onda. Estas soluciones particulares se conocen como ondas inerciales. ${\displaystyle \theta }$

La relación de dispersión se parece mucho al término de Coriolis en la ecuación del momento (observe la velocidad de rotación y el factor de dos). Implica inmediatamente el rango de frecuencias posibles para las ondas inerciales, así como la dependencia de su frecuencia con respecto a su dirección.

Lectura adicional

• Aldridge, KD; I. Lumb (1987). "Ondas inerciales identificadas en el núcleo externo fluido de la Tierra". Nature . 325 (6103): 421–423. Bibcode :1987Natur.325..421A. doi :10.1038/325421a0. S2CID  4312055.
• Greenspan, HP (1969). La teoría de los fluidos rotatorios . Cambridge University Press.
• Landau, LD; EM Lifschitz (1987). Mecánica de fluidos, segunda edición . Nueva York: Elsevier. ISBN 978-0-7506-2767-2.