Medida de Aleksandrov-Clark

En matemáticas , las medidas de Aleksandrov-Clark (AC) son medidas especialmente construidas que reciben su nombre de los dos matemáticos AB Aleksandrov y Douglas Clark, quienes descubrieron algunas de sus propiedades más profundas. Las medidas también se denominan medidas de Aleksandrov, medidas de Clark o, en ocasiones, medidas espectrales.

Las medidas de CA se utilizan para extraer información sobre los mapas propios del disco unitario y tienen aplicaciones en diversas áreas del análisis complejo , en particular las relacionadas con la teoría de operadores . También se han construido sistemas de medidas de CA para dimensiones superiores y para el semiplano .

Construcción de las medidas

La construcción original de Clark se relaciona con perturbaciones unidimensionales de operadores de desplazamiento comprimidos en subespacios del espacio de Hardy :

${\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} ,\mathbb {C} ).}$

En virtud del teorema de Beurling , cualquier subespacio invariante al desplazamiento de este espacio tiene la forma

${\displaystyle \theta H^{2}(\mathbb {D} ,\mathbb {C} ),}$

donde es una función interna . Como tal, cualquier subespacio invariante del adjunto del desplazamiento tiene la forma ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle K_{\theta }=\left(\theta H^{2}(\mathbb {D} ,\mathbb {C} )\right)^{\perp }.}$

Ahora definimos que sea el operador de desplazamiento comprimido a , es decir ${\displaystyle S_{\theta }}$ ${\displaystyle K_{\theta }}$

${\displaystyle S_{\theta }=P_{K_{\theta }}S|_{K_{\theta }}.}$

Clark notó que todas las perturbaciones unidimensionales de , que también eran mapas unitarios, tenían la forma ${\displaystyle S_{\theta }}$

${\displaystyle U_{\alpha }(f)=S_{\theta }(f)+\alpha \left\langle f,{\frac {\theta }{z}}\right\rangle ,}$

y relacionó cada uno de estos mapas con una medida, en el círculo unitario, a través del teorema espectral . Esta colección de medidas, una para cada una de las del círculo unitario , se denomina entonces colección de medidas de CA asociadas con . ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \theta }$

Una construcción alternativa

La colección de medidas también puede construirse para cualquier función analítica (es decir, no necesariamente una función interna). Dado un mapa analítico propio, , del disco unitario, , podemos construir una colección de funciones, , dada por ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle ^{\mathbb {D} }}$ ${\displaystyle u_{\alpha }}$

${\displaystyle u_{\alpha }(z)=\Re \left({\frac {\alpha +\varphi (z)}{\alpha -\varphi (z)}}\right),}$

una para cada . Cada una de estas funciones es positiva y armónica, por lo que, según el teorema de Herglotz, cada una es la integral de Poisson de alguna medida positiva en . Esta colección es el conjunto de medidas de CA asociadas con . Se puede demostrar que las dos definiciones coinciden para las funciones internas. ${\displaystyle ^{\alpha \in \mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }}$ ${\displaystyle ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \varphi }$

Referencias

• Clark, Douglas N. (1972). "Perturbaciones unidimensionales de desplazamientos restringidos". Journal d'Analyse Mathématique . 25 : 169—191. doi :10.1007/BF02790036.
• Saksman, Eero (2007). "Una introducción elemental a las medidas de Clark". Temas de análisis complejo y teoría de operadores . Univ. Málaga, Málaga. pp. 85–136.