En teoría matemática invariante , un invariante de una forma binaria es un polinomio en los coeficientes de una forma binaria en dos variables xey que permanece invariante bajo el grupo lineal especial que actúa sobre las variables xey .
Una forma binaria (de grado n ) es un polinomio homogéneo Σn
yo = 0(n
yo) una norte − yo x norte − yo y yo = una norte x norte + (n
1) un norte −1 x norte −1 y + ... + un 0 y norte . El grupo SL 2 ( C ) actúa sobre estas formas tomando x a ax + by y y a cx + dy . Esto induce una acción sobre el espacio abarcado por a 0 , ..., an y sobre los polinomios de estas variables. Un invariante es un polinomio en estas n + 1 variables a 0 , ..., un n que es invariante bajo esta acción. De manera más general , una covariante es un polinomio en a 0 , ..., an , x , y que es invariante, por lo que un invariante es un caso especial de covariante donde las variables xey no ocurren . De manera más general aún, un invariante simultáneo es un polinomio en los coeficientes de varias formas diferentes en x e y .
En términos de teoría de la representación , dada cualquier representación V del grupo SL 2 ( C ) , se puede preguntar por el anillo de polinomios invariantes en V. Las invariantes de una forma binaria de grado n corresponden a tomar V como la representación irreducible ( n + 1)-dimensional, y las covariantes corresponden a tomar V como la suma de las representaciones irreducibles de las dimensiones 2 y n + 1.
Las invariantes de una forma binaria forman un álgebra graduada , y Gordan (1868) demostró que esta álgebra se genera de forma finita si el campo base son los números complejos.
Las formas de los grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 a veces se denominan cuádricas, cúbicas, cuárticas, quinticas, sexticas, sépticas o sépticas, ócticas u octavicas, nonicas y decícas o décimicas. "Quantic" es un nombre antiguo para una forma de grado arbitrario. Las formas en 1, 2, 3, 4, ... variables se llaman formas unarias, binarias, ternarias, cuaternarias, ....
Una forma f es en sí misma una covariante de grado 1 y orden n .
El discriminante de una forma es un invariante.
La resultante de dos formas es una invariante simultánea de ellas.
La covariante de Hesse de una forma Hilbert (1993, p.88) es el determinante de la matriz de Hesse.
Es una covariante de orden 2 n − 4 y grado 2.
El catalecticante es un invariante de grado n /2+1 de una forma binaria de grado par n .
La canonizante es una covariante de grado y orden ( n +1)/2 de una forma binaria de grado impar n .
El jacobiano
es una covariante simultánea de dos formas f , g .
La estructura del anillo de invariantes se ha elaborado para pequeños grados. Sylvester y Franklin (1879) dieron tablas de los números de generadores de invariantes y covariantes para formas de grado hasta 10, aunque las tablas tienen algunos errores menores para grados grandes, principalmente cuando se omiten algunos invariantes o covariantes.
Para las formas lineales ax + las únicas invariantes son las constantes. El álgebra de covariantes se genera por la forma misma de grado 1 y orden 1.
El álgebra de invariantes de la forma cuadrática ax 2 + 2 bxy + cy 2 es un álgebra polinómica en 1 variable generada por el discriminante b 2 − ac de grado 2. El álgebra de covariantes es un álgebra polinómica en 2 variables generada por el discriminante junto con la propia forma f (de grado 1 y orden 2). (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVI, XX)
El álgebra de invariantes de la forma cúbica ax 3 + 3 bx 2 y + 3 cxy 2 + dy 3 es un álgebra polinomial en 1 variable generada por el discriminante D = 3 b 2 c 2 + 6 abcd − 4 b 3 d − 4 c 3 a − a 2 d 2 de grado 4. El álgebra de covariantes se genera por el discriminante, la propia forma (grado 1, orden 3), la H hessiana (grado 2, orden 2) y una covariante T de grado 3. y orden 3. Están relacionados por la sizigia 4 H 3 = Df 2 - T 2 de grado 6 y orden 6. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVII, XX)
El álgebra de invariantes de forma cuártica se genera mediante invariantes i , j de grados 2, 3. Este anillo es naturalmente isomorfo al anillo de formas modulares de nivel 1, correspondiendo los dos generadores a las series de Eisenstein E 4 y E 6. . El álgebra de covariantes está generada por estas dos invariantes junto con la forma f de grado 1 y orden 4, la hessiana H de grado 2 y orden 4, y una covariante T de grado 3 y orden 6. Están relacionadas por una sizigia jf 3 – Hf 2 i + 4 H 3 + T 2 = 0 de grado 6 y orden 12. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVIII, XXII)
Sylvester encontró el álgebra de invariantes de forma quíntica y se genera mediante invariantes de grado 4, 8, 12, 18. Los generadores de grados 4, 8, 12 generan un anillo polinomial, que contiene el cuadrado de la invariante sesgada de Hermite de grado 18. Las invariantes son bastante complicadas de escribir explícitamente: Sylvester demostró que los generadores de grados 4, 8, 12, 18 tienen 12, 59, 228 y 848 términos a menudo con coeficientes muy grandes. (Schur 1968, II.9) (Hilbert 1993, XVIII) El anillo de covariantes está generado por 23 covariantes, una de las cuales es la canonizante de grado 3 y orden 3.
El álgebra de invariantes de forma sextica se genera mediante invariantes de grado 2, 4, 6, 10, 15. Los generadores de grados 2, 4, 6, 10 generan un anillo polinómico, que contiene el cuadrado del generador de grado 15. (Schur 1968, II.9) El anillo de covariantes está generado por 26 covariantes. El anillo de invariantes está estrechamente relacionado con el espacio de módulos de las curvas del género 2, porque dicha curva se puede representar como una doble cubierta de la línea proyectiva ramificada en 6 puntos, y los 6 puntos se pueden tomar como las raíces de un binario. sextico.
El anillo de invariantes de sépticos binarios es anómalo y ha provocado varios errores publicados. Cayley afirmó incorrectamente que el anillo de invariantes no se genera de forma finita. Sylvester y Franklin (1879) dieron límites inferiores de 26 y 124 para el número de generadores del anillo de invariantes y del anillo de covariantes y observaron que un "postulado fundamental" no probado implicaría que se cumple la igualdad. Sin embargo von Gall (1888) demostró que los números de Sylvester no son iguales a los números de generadores, que son 30 para el anillo de invariantes y al menos 130 para el anillo de covariantes, por lo que el postulado fundamental de Sylvester es incorrecto. von Gall (1888) y Dixmier & Lazard (1988) demostraron que el álgebra de invariantes de grado 7 se genera por un conjunto con 1 invariante de grado 4, 3 de grado 8, 6 de grado 12, 4 de grado 14, 2 de grado 16, 9 de grado 18 y uno de cada uno de los grados 20, 22, 26, 30. Cröni (2002) da 147 generadores para el anillo de covariantes.
Sylvester y Franklin (1879) demostraron que el anillo de invariantes de grado 8 se genera por 9 invariantes de grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, y el anillo de covariantes se genera por 69 covariantes. August von Gall (von Gall (1880)) y Shioda (1967) confirmaron los generadores del anillo de invariantes y demostraron que el ideal de las relaciones entre ellos se genera mediante elementos de grados 16, 17, 18, 19, 20.
Brouwer y Popoviciu (2010a) demostraron que el álgebra de invariantes de grado 9 se genera por 92 invariantes. Cröni, Hagedorn y Brouwer [1] calcularon 476 covariantes, y Lercier y Olive demostraron que esta lista está completa.
Sylvester afirmó que el anillo de invariantes de las decics binarias se genera por 104 invariantes y el anillo de covariantes por 475 covariantes; su lista debe ser correcta para los grados hasta el 16 pero incorrecta para los grados superiores. Brouwer y Popoviciu (2010b) demostraron que el álgebra de invariantes de grado 10 se genera por 106 invariantes. Hagedorn y Brouwer [1] calcularon 510 covariantes y Lercier y Olive demostraron que esta lista está completa.
El anillo de invariantes de formas binarias de grado 11 es complicado y aún no se ha descrito explícitamente.
Para las formas de grado 12, Sylvester (1881) encontró que en grados hasta 14 hay 109 invariantes básicas. Hay al menos 4 más en grados superiores. El número de covariantes básicas es al menos 989.
El número de generadores de invariantes y covariantes de formas binarias se puede encontrar en (secuencia A036983 en la OEIS ) y (secuencia A036984 en la OEIS ), respectivamente.
Las covariantes de una forma binaria son esencialmente las mismas que las invariantes conjuntas de una forma binaria y una forma lineal binaria. De manera más general, podemos solicitar las invariantes (y covariantes) conjuntas de cualquier colección de formas binarias. Algunos casos que han sido estudiados se enumeran a continuación.
Hay 1 invariante básica y 3 covariantes básicas.
Hay 2 invariantes básicas y 5 covariantes básicas.
Hay 4 invariantes básicas (esencialmente las covariantes de una cúbica) y 13 covariantes básicas.
Hay 5 invariantes básicas (esencialmente las covariantes básicas de un cuarto) y 20 covariantes básicas.
Hay 23 invariantes básicas (esencialmente las covariantes básicas de una quíntica) y 94 covariantes básicas.
El anillo de invariantes de n formas lineales se genera por n ( n –1)/2 invariantes de grado 2. El anillo de covariantes de n formas lineales es esencialmente el mismo que el anillo de invariantes de n +1 formas lineales.
Hay 3 invariantes básicas y 6 covariantes básicas.
El anillo de invariantes de una suma de m formas lineales y n formas cuadráticas se genera mediante m ( m –1)/2 + n ( n +1)/2 generadores de grado 2, nm ( m +1)/2 + n ( n –1)( n –2)/6 en grado 3, y m ( m +1) n ( n –1)/4 en grado 4.
Para el número de generadores del anillo de covariantes, cambie m por m +1.
Hay 5 invariantes básicas y 15 covariantes básicas.
Hay 6 invariantes básicas y 18 covariantes básicas.
Hay 29 invariantes básicas y 92 covariantes básicas.
Hay 20 invariantes básicas y 63 covariantes básicas.
Hay 8 invariantes básicas (3 de grado 2, 4 de grado 3 y 1 de grado 4) y 28 covariantes básicas. (Gordan dio 30 covariantes, pero Sylvester demostró que dos de ellas son reducibles).
Young (1898) dio el número de generadores de invariantes o covariantes.
![{\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{ \partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f }{\parcial y^{2}}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239ec9da2159b6bb68f4fbf3216e5d682fea3f95)
![{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\ g parcial}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887d2cf7ec19263d2d09e330e5f8e9598b1e99f1)