Magnetostática

Rama de la física que estudia el magnetismo en sistemas con corrientes eléctricas constantes.

La magnetostática es el estudio de los campos magnéticos en sistemas donde las corrientes son constantes (no cambian con el tiempo). Es el análogo magnético de la electrostática , donde las cargas son estacionarias. La magnetización no necesita ser estática; las ecuaciones de la magnetostática se pueden utilizar para predecir eventos de conmutación magnética rápida que ocurren en escalas de tiempo de nanosegundos o menos. ^[1] La magnetostática es incluso una buena aproximación cuando las corrientes no son estáticas, siempre que las corrientes no alternen rápidamente. La magnetostática se utiliza ampliamente en aplicaciones de micromagnetismo, como modelos de dispositivos de almacenamiento magnético como en la memoria de la computadora .

Aplicaciones

La magnetostática como caso especial de las ecuaciones de Maxwell

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell y suponiendo que las cargas están fijas o se mueven como una corriente constante , las ecuaciones se dividen en dos ecuaciones para el campo eléctrico (véase electrostática ) y dos para el campo magnético . ^[2] Los campos son independientes del tiempo y entre sí. Las ecuaciones magnetostáticas, tanto en forma diferencial como integral, se muestran en la siguiente tabla. ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Donde ∇ con el punto denota divergencia y B es la densidad de flujo magnético , la primera integral es sobre una superficie con elemento de superficie orientada . Donde ∇ con la cruz denota rizo , J es la densidad de corriente y H es la intensidad del campo magnético , la segunda integral es una integral de línea alrededor de un bucle cerrado con elemento de línea . La corriente que pasa por el bucle es . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d\mathbf {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {l} }$ ${\displaystyle I_{\text{enc}}}$

La calidad de esta aproximación se puede calcular comparando las ecuaciones anteriores con la versión completa de las ecuaciones de Maxwell y considerando la importancia de los términos que se han eliminado. De particular importancia es la comparación del término con el término. Si el término es sustancialmente mayor, entonces el término más pequeño puede ignorarse sin una pérdida significativa de precisión. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Reintroduciendo la ley de Faraday

Una técnica común consiste en resolver una serie de problemas magnetostáticos en pasos de tiempo incrementales y luego utilizar estas soluciones para aproximar el término . Al introducir este resultado en la Ley de Faraday se obtiene un valor para (que anteriormente se había ignorado). Este método no es una solución verdadera de las ecuaciones de Maxwell , pero puede proporcionar una buena aproximación para campos que cambian lentamente. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Resolviendo el campo magnético

Fuentes actuales

Resumen de las relaciones magnetostáticas entre el potencial vectorial magnético, el campo magnético y la densidad de corriente. Aquí, . ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x'} }$

Si se conocen todas las corrientes de un sistema (es decir, si se dispone de una descripción completa de la densidad de corriente), entonces el campo magnético se puede determinar, en una posición r , a partir de las corrientes mediante la ecuación de Biot-Savart : ^{[3] : 174} ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}}$$

Esta técnica funciona bien para problemas en los que el medio es vacío , aire o algún material similar con una permeabilidad relativa de 1. Esto incluye inductores con núcleo de aire y transformadores con núcleo de aire . Una ventaja de esta técnica es que, si una bobina tiene una geometría compleja, se puede dividir en secciones y evaluar la integral para cada sección. Dado que esta ecuación se utiliza principalmente para resolver problemas lineales , se pueden sumar las contribuciones. Para una geometría muy difícil, se puede utilizar la integración numérica .

Para los problemas en los que el material magnético dominante es un núcleo magnético altamente permeable con entrehierros relativamente pequeños, resulta útil un enfoque de circuito magnético . Cuando los entrehierros son grandes en comparación con la longitud del circuito magnético , la formación de franjas se vuelve significativa y, por lo general, requiere un cálculo de elementos finitos . El cálculo de elementos finitos utiliza una forma modificada de las ecuaciones magnetostáticas anteriores para calcular el potencial magnético . El valor de se puede encontrar a partir del potencial magnético. ${\displaystyle \mathbf {B} }$

El campo magnético se puede derivar del potencial vectorial . Dado que la divergencia de la densidad de flujo magnético es siempre cero, y la relación del potencial vectorial con la corriente es: ^{[3] : 176} $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.}$$

Magnetización

Los materiales fuertemente magnéticos (es decir, ferromagnéticos , ferrimagnéticos o paramagnéticos ) tienen una magnetización que se debe principalmente al espín del electrón . En tales materiales, la magnetización debe incluirse explícitamente utilizando la relación $${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$$

Excepto en el caso de los conductores, las corrientes eléctricas pueden ignorarse. Entonces la ley de Ampère es simplemente $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$$

Esto tiene la solución general donde es un potencial escalar . ^{[3] : 192} Sustituyendo esto en la ley de Gauss se obtiene $${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},}$$ ${\displaystyle \Phi _{M}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

Así, la divergencia de la magnetización tiene un papel análogo al de la carga eléctrica en la electrostática ^[4] y a menudo se la denomina densidad de carga efectiva . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \rho _{M}}$

El método del potencial vectorial también se puede emplear con una densidad de corriente efectiva. $${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .}$$

Véase también

• Lagrangiano de Darwin

Referencias

1. Hiebert, W; Ballentine, G; Freeman, M (2002). "Comparación de la dinámica micromagnética experimental y numérica en oscilaciones modales y de conmutación precesional coherente". Physical Review B . 65 (14): 140404. Bibcode :2002PhRvB..65n0404H. doi :10.1103/PhysRevB.65.140404.
2. Las conferencias de Feynman sobre física, vol. II, cap. 13: Magnetostática
3. Jackson, John David (1975). Electrodinámica clásica (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 047143132X.
4. Aharoni, Amikam (1996). Introducción a la Teoría del Ferromagnetismo. Prensa de Clarendon . ISBN 0-19-851791-2.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Magnetostática en Wikimedia Commons