Lindbladiano

Ecuación maestra cuántica de Markov para matrices de densidad (estados mixtos)

En mecánica cuántica , la ecuación de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad ( ecuación GKSL , llamada así en honor a Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski , George Sudarshan y Göran Lindblad ), ecuación maestra en forma de Lindblad , liouvillian cuántica o lindbladiana , es una de las formas generales de Ecuaciones maestras de Markov que describen sistemas cuánticos abiertos. Generaliza la ecuación de Schrödinger a sistemas cuánticos abiertos; es decir, sistemas en contacto con su entorno. La dinámica resultante ya no es unitaria, pero aún satisface la propiedad de preservar trazas y ser completamente positiva para cualquier condición inicial. ^[1]

La ecuación de Schrödinger o, en realidad, la ecuación de von Neumann, es un caso especial de la ecuación GKSL, que ha llevado a cierta especulación de que la mecánica cuántica puede extenderse y expandirse productivamente mediante una mayor aplicación y análisis de la ecuación de Lindblad. ^[2] La ecuación de Schrödinger trata con vectores de estado , que sólo pueden describir estados cuánticos puros y, por tanto, son menos generales que las matrices de densidad , que también pueden describir estados mixtos .

Motivación

En la formulación canónica de la mecánica cuántica, la evolución temporal de un sistema se rige por la dinámica unitaria. Esto implica que no hay decaimiento y la coherencia de fases se mantiene durante todo el proceso, y es consecuencia del hecho de que se consideran todos los grados de libertad participantes. Sin embargo, cualquier sistema físico real no está absolutamente aislado e interactuará con su entorno. Esta interacción con grados de libertad externos al sistema da como resultado la disipación de energía hacia el entorno, provocando desintegración y aleatorización de fase. Más aún, comprender la interacción de un sistema cuántico con su entorno es necesario para comprender muchos fenómenos comúnmente observados, como la emisión espontánea de luz de átomos excitados o el rendimiento de muchos dispositivos tecnológicos cuánticos, como el láser.

Se han introducido ciertas técnicas matemáticas para tratar la interacción de un sistema cuántico con su entorno. Uno de ellos es el uso de la matriz de densidad y su ecuación maestra asociada. Si bien en principio este enfoque para resolver la dinámica cuántica es equivalente a la imagen de Schrödinger o la imagen de Heisenberg , permite más fácilmente la inclusión de procesos incoherentes, que representan interacciones ambientales. El operador de densidad tiene la propiedad de que puede representar una mezcla clásica de estados cuánticos y, por tanto, es vital para describir con precisión la dinámica de los llamados sistemas cuánticos abiertos.

Definición

La ecuación maestra de Lindblad para la matriz de densidad ρ del sistema se puede escribir como ^[1] (para una introducción pedagógica puede consultar ^[3] )

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$

donde está el anticonmutador , es el sistema hamiltoniano, que describe los aspectos unitarios de la dinámica, y son un conjunto de operadores de salto que describen la parte disipativa de la dinámica. La forma de los operadores de salto describe cómo actúa el entorno sobre el sistema y, en última instancia, debe determinarse a partir de modelos microscópicos de la dinámica del sistema-entorno. Finalmente, hay un conjunto de coeficientes no negativos llamados tasas de amortiguamiento. Si todo se recupera la ecuación de von Neumann que describe la dinámica unitaria, que es el análogo cuántico de la ecuación clásica de Liouville . ${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \gamma _{i}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]}$

De manera más general, la ecuación GKSL tiene la forma

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)}$

donde son operadores arbitrarios y h es una matriz semidefinida positiva . Este último es un requisito estricto para garantizar que la dinámica conserve rastros y sea completamente positiva. El número de operadores es arbitrario y no tienen que satisfacer ninguna propiedad especial. Pero si el sistema es -dimensional, se puede demostrar ^[1] que la ecuación maestra puede describirse completamente mediante un conjunto de operadores, siempre que formen una base para el espacio de operadores. ${\displaystyle \{A_{m}\}}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{2}-1}$

Dado que la matriz h es semidefinida positiva, se puede diagonalizar con una transformación unitaria u :

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

donde los valores propios γ _i no son negativos. Si definimos otra base de operador ortonormal

${\displaystyle L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}}$

Esto reduce la ecuación maestra a la misma forma que antes:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$

Semigrupo dinámico cuántico

Los mapas generados por un Lindbladiano durante varios tiempos se denominan colectivamente semigrupo dinámico cuántico : una familia de mapas dinámicos cuánticos en el espacio de matrices de densidad indexadas por un único parámetro de tiempo que obedece a la propiedad del semigrupo. ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.}$

La ecuación de Lindblad se puede obtener mediante

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}}$

que, por la linealidad de , es un superoperador lineal. El semigrupo se puede recuperar como ${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).}$

Propiedades de invariancia

La ecuación de Lindblad es invariante bajo cualquier transformación unitaria v de operadores y constantes de Lindblad,

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},}$

y también bajo la transformación no homogénea

${\displaystyle L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,}$

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,}$

donde a _i son números complejos y b es un número real. Sin embargo, la primera transformación destruye la ortonormalidad de los operadores Li (a menos que todos los _{γ i} sean _iguales ) y la segunda transformación destruye la falta de rastro. Por lo tanto, hasta las degeneraciones entre γ _i , los _Li de la forma diagonal de la ecuación de Lindblad están determinados únicamente por la dinámica siempre que exijamos que sean ortonormales y sin trazas.

imagen de heisenberg

La evolución de tipo Lindblad de la matriz de densidad en la imagen de Schrödinger se puede describir de manera equivalente en la imagen de Heisenberg utilizando la siguiente ecuación de movimiento (diagonalizada) ^{[4] para cada} X cuántico observable :

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).}$

Una ecuación similar describe la evolución temporal de los valores esperados de los observables, dada por el teorema de Ehrenfest . En correspondencia con la propiedad de conservación de trazas de la ecuación de Lindblad de la imagen de Schrödinger, la ecuación de la imagen de Heisenberg es unital , es decir, conserva el operador de identidad.

Derivación física

La ecuación maestra de Lindblad describe la evolución de varios tipos de sistemas cuánticos abiertos, por ejemplo, un sistema débilmente acoplado a un depósito de Markov. ^[1] Tenga en cuenta que el H que aparece en la ecuación no es necesariamente igual al sistema hamiltoniano simple, sino que también puede incorporar dinámicas unitarias efectivas que surgen de la interacción sistema-entorno.

Una derivación heurística, por ejemplo , en las notas de Preskill , ^[5] comienza con una forma más general de un sistema cuántico abierto y lo convierte a la forma Lindblad haciendo la suposición markoviana y expandiéndose en poco tiempo. Un tratamiento estándar más motivado físicamente ^{[6] [7]} cubre tres tipos comunes de derivaciones del Lindbladiano a partir de un hamiltoniano que actúa tanto en el sistema como en el medio ambiente: el límite de acoplamiento débil (descrito en detalle a continuación), la aproximación de baja densidad y el límite de acoplamiento singular. Cada uno de estos se basa en supuestos físicos específicos relacionados, por ejemplo, con las funciones de correlación del medio ambiente. Por ejemplo, en la derivación del límite de acoplamiento débil, normalmente se supone que (a) las correlaciones del sistema con el entorno se desarrollan lentamente, (b) las excitaciones del entorno causadas por el sistema decaen rápidamente y (c) los términos que oscilan rápidamente. en comparación con la escala de tiempo de interés del sistema puede despreciarse. Estas tres aproximaciones se denominan onda de Born, Markov y onda giratoria, respectivamente. ^[8]

La derivación del límite de acoplamiento débil supone un sistema cuántico con un número finito de grados de libertad acoplado a un baño que contiene un número infinito de grados de libertad. El sistema y el baño poseen cada uno un hamiltoniano escrito en términos de operadores que actúan sólo en el subespacio respectivo del espacio total de Hilbert. Estos hamiltonianos gobiernan la dinámica interna del sistema desacoplado y del baño. Hay un tercer hamiltoniano que contiene productos de los operadores del sistema y del baño, acoplando así el sistema y el baño. La forma más general de este hamiltoniano es

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,}$

La dinámica de todo el sistema se puede describir mediante la ecuación de movimiento de Liouville . Esta ecuación, que contiene un número infinito de grados de libertad, es imposible de resolver analíticamente salvo en casos muy particulares. Es más, bajo ciertas aproximaciones, no es necesario considerar los grados de libertad del baño y se puede derivar una ecuación maestra efectiva en términos de la matriz de densidad del sistema . El problema se puede analizar más fácilmente pasando a la imagen de interacción, definida por la transformación unitaria , donde es un operador arbitrario, y . También tenga en cuenta que es el operador unitario total de todo el sistema. Es sencillo confirmar que la ecuación de Liouville se convierte en ${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$ ${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$ ${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,}$

donde el hamiltoniano depende explícitamente del tiempo. Además, según la imagen de interacción, donde . Esta ecuación se puede integrar directamente para dar ${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$ ${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]}$

Esta ecuación implícita se puede sustituir nuevamente en la ecuación de Liouville para obtener una ecuación diferencial integral exacta. ${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]}$

Procedemos con la derivación asumiendo que la interacción se inicia en y en ese momento no existen correlaciones entre el sistema y el baño. Esto implica que la condición inicial se puede factorizar como , donde es el operador de densidad del baño inicialmente. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$

Al trazar los grados de libertad del baño, de la ecuación diferencial integral antes mencionada se obtiene ${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}}$

Esta ecuación es exacta para la dinámica temporal de la matriz de densidad del sistema, pero requiere un conocimiento completo de la dinámica de los grados de libertad del baño. Una suposición simplificadora llamada aproximación de Born se basa en la grandeza del baño y la relativa debilidad del acoplamiento, es decir, el acoplamiento del sistema al baño no debería alterar significativamente los estados propios del baño. En este caso, la matriz de densidad completa se puede factorizar para todos los tiempos como . La ecuación maestra se convierte en ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}}$

La ecuación ahora es explícita en los grados de libertad del sistema, pero es muy difícil de resolver. Una última suposición es la aproximación de Born-Markov de que la derivada temporal de la matriz de densidad depende sólo de su estado actual y no de su pasado. Esta suposición es válida en una dinámica de baño rápido, en la que las correlaciones dentro del baño se pierden extremadamente rápidamente y equivalen a reemplazarse en el lado derecho de la ecuación. ${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

Si se supone que la interacción hamiltoniana tiene la forma

${\displaystyle H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}}$

para operadores de sistemas y operadores de baños . La ecuación maestra se convierte en ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

que se puede ampliar como

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]}$

Los valores esperados son con respecto a los grados de libertad del baño. Al asumir una rápida caída de estas correlaciones (idealmente ), se logra la forma anterior del superoperador L de Lindblad. ${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$ ${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$

Ejemplos

Para un operador de salto y sin evolución unitaria, el superoperador de Lindblad , que actúa sobre la matriz de densidad , es ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\mathcal {D}}[F](\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)}$

Este término se encuentra regularmente en la ecuación de Lindblad tal como se usa en óptica cuántica , donde puede expresar la absorción o emisión de fotones de un depósito. Si se quiere tener tanto absorción como emisión, se necesitaría un operador de salto para cada una. Esto lleva a la ecuación de Lindblad más común que describe la amortiguación de un oscilador armónico cuántico (que representa, por ejemplo, una cavidad de Fabry-Perot ) acoplado a un baño termal , con operadores de salto.

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

Aquí está el número medio de excitaciones en el depósito que amortiguan el oscilador y γ es la tasa de caída. Si además sumamos la evolución unitaria adicional generada por el oscilador armónico cuántico hamiltoniano con frecuencia , obtenemos ${\displaystyle {\overline {n}}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).}$

Se pueden incluir operadores Lindblad adicionales para modelar diversas formas de desfase y relajación vibratoria. Estos métodos se han incorporado a los métodos de propagación de matrices de densidad basados ​​en cuadrículas .

Ver también

• Ecuación maestra cuántica
• Ecuación de Redfield
• Sistema cuántico abierto
• Método de salto cuántico

Referencias

1. Breuer, Heinz-Peter; Petruccione, F. (2002). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-1985-2063-4.
2. Weinberg, Steven (2014). "Mecánica cuántica sin vectores de estado". Física. Rev. A. 90 (4): 042102. arXiv : 1405.3483 . Código Bib : 2014PhRvA..90d2102W. doi : 10.1103/PhysRevA.90.042102. S2CID  53990012.
3. Manzano, Daniel (2020). "Una breve introducción a la ecuación maestra de Lindblad". Avances de la AIP . 10 (2): 025106. arXiv : 1906.04478 . Código Bib : 2020AIPA...10b5106M. doi : 10.1063/1.5115323. S2CID  184487806.
4. Breuer, Heinz-Peter; Petruccione, Francesco (2007). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . pag. 125. doi :10.1093/acprof:oso/9780199213900.001.0001. ISBN 9780199213900.
5. Preskill, John. Apuntes de conferencias sobre Computación Cuántica, Ph219/CS219 (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de junio de 2020.
6. Alicki, Robert; Lendi, Karl (2007). Semigrupos y aplicaciones de dinámica cuántica . Apuntes de conferencias de física. vol. 717. Saltador. doi :10.1007/3-540-70861-8. ISBN 978-3-540-70860-5.
7. Carmichael, Howard . Un enfoque de sistemas abiertos para la óptica cuántica . Springer Verlag, 1991
8. Este párrafo fue adaptado de Albert, Victor V. (2018). "Lindbladianos con múltiples estados estacionarios: teoría y aplicaciones". arXiv : 1802.00010 [cuántico-ph].

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• Perla, P. (2012). "Derivación simple de la ecuación de Lindblad". Revista Europea de Física , 33 (4), 805.

enlaces externos

• Caja de herramientas de óptica cuántica para Matlab
• mcsolve Solucionador de salto cuántico (monte carlo) de QuTiP.
• QuantumOptics.jl la caja de herramientas de óptica cuántica en Julia.
• La ecuación maestra de Lindblad